精品解析：江苏宿迁市沭阳县初二上学期第一次月考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期八年级第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ） A. 5cm B. 4cm C. 2cm D. 3cm 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图已知，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（ ）． A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，在四边形中，与相交于点E，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共10题，每题3分，共30分） 9. 一个等腰三角形有一个角的度数是，则它的顶角的度数是___________． 10. 已知，，点D是的中点，则___________． 11. 如图，，，，则的长是 _______ ． 12. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为___________． 13. 如图，E是延长线上一点，已知，，则图中全等三角形有___________对． 14. 如图，在中，边上的点在的垂直平分线上，连接，是的中点，连接，若，，，则的长为___________． 15. 如图所示，，，，，．则__________． 16. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 17. 已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 18. 已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则________． 三、解答题（共10大题，计96分） 19. 如图，是的角平分线，．求证：． 20. 已知：如图，，．求证：． 21. 如图在中，点O是和的平分线交点，过点O且平行于的直线分别交于点D、E．， 求的周长． 22. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 23. 如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中，画出一个与全等（不包含）的． （2）在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 24. 如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 25. 如图四边形中，，E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 26. 小南对发声物体的振动实验做了进一步探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题：发声物体的振动实验的探究 工具：测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案：如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D，当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 任务一： （1）求证：． 任务二： （2）经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长是，求的长． 27. 【情景回顾】 已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到 【问题提出】 小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响． 【探究任务】 （1）如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”） （2）如图3，若时，求证：． （3）如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由． 28. 如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期八年级第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较每组中较短两边长度之和与最长边的大小，即可判断能否摆成三角形． 【详解】解：A.，不能摆成三角形； B.，不能摆成三角形； C.，不能摆成三角形； D.，能摆成三角形． 2. 若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ） A. 5cm B. 4cm C. 2cm D. 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等得出MQ=NP即可． 【详解】解：∵△MNP≌△NMQ，NP=4cm， ∴MQ=NP=4cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能正确运用全等三角形的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4. 如图已知，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定已知条件：因为，，所以，且两个三角形有公共边，两个三角形均为直角三角形．逐一分析每个选项给出的条件，结合直角三角形全等判定定理（），判断是否能满足全等判定的要求． 找出不符合全等判定条件的选项即可． 【详解】解：，， ∴， 且两个三角形和有公共斜边， 逐一分析选项： 选项A： ， 只能证明和的三个内角对应相等，没有对应边相等， 和中：，公共，， 无法推出或者一组直角边相等， 不能判定． 选项B： ， 两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等， 符合直角三角形全等的判定定理， 可证． 选项C： ， 同理，斜边和另一条直角边对应相等， 符合判定， 可证两个三角形全等． 选项D：， 结合已知的、公共边， 符合全等判定， 可证． 5. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 6. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（ ）． A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：∵点E是的中点，的面积为6， ∴的面积为， ∵为边上的中线， ∴的面积的面积为12． 故选：D． 7. 如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，与相交于点E，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，证明，从而说明②正确；延长交的延长线于点，说明为等腰三角形，根据三线合一说明点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半说明，故③正确；根据角度关系计算即可说明①正确． 【详解】解：过点作于点， 平分，，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长交的延长线于点， ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ， ， 垂直平分， 是中点， ， ， ， 即，故③正确； ，， ， ， ， ， ，故①正确． 二、填空题（共10题，每题3分，共30分） 9. 一个等腰三角形有一个角的度数是，则它的顶角的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理验证情况是否成立，即可得到顶角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论：若为顶角，则顶角度数为； 若为底角， ∵ 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴两个底角的和为， ∵，不符合三角形内角和定理， ∴ 该情况不成立，舍去； 因此，这个等腰三角形顶角度数为． 10. 已知，，点D是的中点，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据含角的直角三角形的性质求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算的长． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵，为的中点， ∴． 11. 如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 12. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，，，推出，设与交于点，借助全等三角形面积相等做等积替换，消去空白，将阴影面积转化为直角的面积求解． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， 如图，设与交于点， 阴影部分的面积为． 13. 如图，E是延长线上一点，已知，，则图中全等三角形有___________对． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据已知，，结合公共边证，再用同样条件、公共边证；得到、，结合公共边证，数出一共对全等三角形． 【详解】解：在和中， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ． 14. 如图，在中，边上的点在的垂直平分线上，连接，是的中点，连接，若，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线定理得，再根据勾股定理直接计算即可． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 在中，，， 根据勾股定理得， ， ∵， ∴． 15. 如图所示，，，，，．则__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】根据等式的性质得出，再利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出． 16. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别利用等边对等角和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，，，， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 17. 已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 【详解】解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 18. 已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角， ∴，，， 又∵线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， 当时， ∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，连接 ∵， ∴ ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 补充说明：∵，， ∴， ∴. ∴点三点共线，此时的图形应修正为下图： 综上所述，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确找出两种情况并利用两种情况推导角度是解题的关键． 三、解答题（共10大题，计96分） 19. 如图，是的角平分线，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线的定义，可得到与的数量关系，计算出的度数．对比和的度数，如果二者相等，那么根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明． 【详解】略 20. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 21. 如图在中，点O是和的平分线交点，过点O且平行于的直线分别交于点D、E．， 求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为． 22. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理即可得的度数；先根据直角三角形的性质可得，再根据角的和差即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴，， ∴． ∵在中，是高，， ∴， ∴． 23. 如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中，画出一个与全等（不包含）的． （2）在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 【答案】（1）如图，或或即为所求（画一个即可） （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）由图可得，四边形是正方形，则点P到所在直线的距离相等，然后根据勾股定理求解，故点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 【答案】证明：连接， ∵，点M是中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】连接，先根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】略 25. 如图四边形中，，E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）证明： 如图，作垂足为M， ∵平分， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）证明：由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作垂足为M，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可； （2）通过证明和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 小南对发声物体的振动实验做了进一步探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题：发声物体的振动实验的探究 工具：测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案：如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D，当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 任务一： （1）求证：． 任务二： （2）经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长是，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 27. 【情景回顾】 已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到 【问题提出】 小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响． 【探究任务】 （1）如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”） （2）如图3，若时，求证：． （3）如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由． 【答案】（1）=，= （2）证明：作于点E，于点F，则 ∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； （3），理由如下： 在上取点M，使，连接， ∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）作于点E，于点F，证明即可； （3）在上取点M，使，连接，证明，则，再由三角形的三边关系证明即可． 【小问1详解】 解：∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）求证：． 【答案】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴同理，， ∴， ∴平分； （3）证明：过点A作于点H， 由（2）可知， 由（2）同理可得，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴点A在垂直平分线上， ∴． ∵，平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理分别求出即可； （3）过点A作于点H，先证明点A在垂直平分线上，然后根据角平分线的性质定理可得，再由直角三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $