第五章《二次函数》综合质量能力检测卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第五章《二次函数》综合质量能力检测卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 4．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 6．下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 7．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 8．二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．    9．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 10．二次函数的图象如图所示．那么以下四个结论：①，②，③，④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11． 已知，为二次函数图象上的两点，那么_____（填“>”“<”或“=”）． 12．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为_____________________． 13．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式，则点火后___________s时，火箭能达到最大高度． 14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加________m． 15．二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有________________．（只填写序号） 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 17．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 18．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图，用一段长为 24 m 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 m，花圃面积为 m²． （1）求 与 之间的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）当 时，求花圃的面积． 20．某水果店销售一种水果，当售价为 元/kg（）时，日销售量 （kg）与 满足关系式 ．设日销售额为 元． （1）求 与 之间的函数表达式，并指出它是什么函数； （2）当售价为 20 元/kg 时，求该店的日销售额． 21．如图，有一块长 20 cm、宽 16 cm 的矩形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为 cm 的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子． （1）求盒子底面的面积 （cm²）与 之间的函数表达式，并化成一般形式； （2）写出自变量 的取值范围； （3）当 时，求盒子底面的面积． 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 23 题 14 分） 22．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求的值； (2)不论取何实数，该函数总经过一个定点． ①求这个定点的坐标； ②证明：这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点． 23．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线对称轴交于点M，且点A，B分别在x轴，y轴上，抛物线的顶点为C． (1)求抛物线的解析式和点M的坐标； (2)点N是线段上的动点，交B，C两点之间的抛物线于点P，点P的坐标为，． ①求（用含n的代数式表示）； ②求m与n之间的函数关系式，并求出m的最小值． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A D A B C B C 11． 12． 13．12 14． 15．②③④ 16．【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 17．（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 18．【答案】(1)(或)． (2) 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 19．解：（1）因为垂直于墙的两边长都是 m， 所以平行于墙的一边长为 m． 所以 ． 由 且 ， 解得 ． 即 （）． （2）当 时， （m²）． 20．解：（1）由“销售额＝单价×销售量”，得 （）． 因为二次项系数 ，所以 是 的二次函数． （2）当 时， （元）． 即日销售额为 1200 元． 21．解：（1）剪去四角后，底面的长为 cm，宽为 cm， 所以 ． （2）由 ，，， 解得 ． （3）当 时， （cm²）． 【点拨】三个条件要同时满足，取它们的公共部分，所以上限由较小的宽决定． 22．(1) (2)①； ②证明：， ∴顶点为， ∵， ∴当时，纵坐标有最大值6， 此时，，即抛物线的顶点， 故定点是所有顶点中纵坐标的最大值的点． 【分析】（1）把点当代入中，进行计算即可得； （2）①，令，则，即可得； ②，可得顶点为，根据，得当时，纵坐标有最大值6，则此时，，即抛物线的顶点． 【详解】（1）解：把点当代入中，得 ， ， ， ； （2）解：①， 令，则， 故定点为； ②略 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数的性质． 23．(1)， (2)①；②，的最小值为 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线求解即可得； （2）①将点代入可得，再根据对称轴为直线，可得，由此即可得； ②先求出点的坐标，从而可得，再利用两点之间的距离公式可得与之间的距离公式，然后利用二次函数的性质即可得最小值． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得，即， 当时，，即， 将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， ， 这个抛物线的对称轴为直线， 当时，， 则点的坐标为． （2）解：①将点代入得：， ∵这个抛物线的对称轴为直线，， ； ②， ， ，，是抛物线的对称轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为， 又，点是线段上的动点， ， ，， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为， 所以，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 答案第4页（共4页） 答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $