第四章《投影与视图》综合质量能力检测卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第四章《投影与视图》综合质量能力检测卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 2．下列几何体中，主视图为三角形的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度是如何变化的（　　） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变短，后逐渐变长 D．保持不变 5．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同 6．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（    ） A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③ 8．下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 9．将一个长方体切刀，正好可以切成若干个小正方体，增加的表面积是原长方体表面积的（    ） A． B． C． D． 10．一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主（正）视图与俯视图如图所示，则符合下面两个视图要求的几何体有（     ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 12．如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下处，楼前有一堵高墙．小明__________看见亮亮．（填“能”或“不能”） 13．小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________ m． 14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据求得这个几何体的侧面积是_______． 15．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 17．已知下图为一几何体从不同方向看到的图形． (1)写出这个几何体的名称； (2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积． 18．（1）如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的； （2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的体积．（结果保留π） 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图，是用棱长为cm的小正方体组成的简单几何体． (1)请画出这个几何体的三视图； (2)这个几何体的表面积是 ； (3)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 20．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，求木杆在x轴上的投影的长． 21．如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点处的D点，测得自己的影长DE为，此时该塔的影子为，她测得点D与点C的距离为，已知文文的身高DF为，求河南广播电视塔的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上） 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 23 题 14 分） 22．如图所示的是一个几何体的三视图（单位：cm）． (1)说明组成该几何体的两部分分别是什么几何体． (2)求该几何体的体积（取3.14）． (3)制作这个模型的木料的密度为，则这个模型的质量是多少（结果精确到）？ 23．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C B D A C B 11．平行 12．不能 13． 14． 15． 16．(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 17．(1)直三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）侧面积为长方形，它的长和宽分别为、8，计算出一个长方形的面积． 【详解】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）这个几何体的侧面积为（平方厘米）． 18．（1）圆柱，长方体；（2）． 【分析】（1）根据题意得，上面几何体：主视图是长方形、俯视图是圆的几何体是圆柱；下面几何体：主视图是长方形、俯视图也是长方形的几何体是长方体，据此解题； （2）组合几何体的体积=圆柱体体积+长方体体积，据此解题． 【详解】解（1）根据题意得，这个几何体的上面是圆柱体，下面是长方体， 答：这个组合几何体是由圆柱体与长方体组成的； （2）由题意得，组合几何体的体积=圆柱体体积+长方体体积， 即． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图、几何体的体积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19．(1)解：画出三视图如图所示； (2)38 (3)3 【分析】本题考查从不同方向看几何体，掌握三视图的画法是解题的关键． （1）根据三视图的画法，画出三视图即可； （2）利用三视图，求出几何体的表面积即可； （3）根据几何体的主视图和左视图不变，最多可以在底层的第二列加2个小正方体，第3列加一个小正方体，共3个． 【详解】（1）略 （2）解：， 故答案为：38． （3）解：根据几何体的主视图和左视图不变，最多可以在底层的第二列加2个小正方体，第3列加一个小正方体，共3个， 故答案为：3． 20． 【分析】利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：过点P作轴，垂足为M，交于点N， ∵点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故木杆在x轴上的投影长为． 【点睛】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法． 21． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用，先证，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：太阳光是平行光线， ． 由题意得，． ， ， ． ，， ． ，， ， ． 即河南广播电视塔的高度为． 22．(1)组成该几何体的两部分下面的是长方体，上面的是圆柱． (2) (3)这个模型的质量约是14.4kg 【分析】（1）由主视图和左视图可得组成该几何体的两个几何体都是柱体，由俯视图可得上面的几何体是圆柱，下面的几何体是长方体； （2）体积=长方体的体积+圆柱体的体积，把相关数值代入计算即可； （3）先把体积换算为立方米，质量=密度×体积，把相关数值代入计算即可． 【详解】（1）解：组成该几何体的两部分下面的是长方体，上面的是圆柱． （2）解：该几何体的体积是． （3）解：， ∴这个模型的质量约是14.4kg． 【点睛】本题考查了视图的理解、长方体和圆柱的体积公式、单位换算以及密度公式的应用． 23．(1)的投影是，的投影是点，的投影是 (2) 证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． (3)①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ② 【分析】（1）根据投影的定义，即可求解； （2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证； （3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）略 （3）①略 ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键． 答案第4页（共5页） 答案第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $