专题20 二次函数中的特殊角度存在性问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题20 二次函数中的特殊角度存在性问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中等角存在性问题 题型二、二次函数中倍角存在性问题 题型三、二次函数中特殊角存在性问题 题型四、二次函数中角度和存在性问题 题型五、二次函数中角度和是特殊角存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足30°、45°、60°等特殊角的动点是否存在，常与等腰、直角结合。 - 解题方法：利用特殊角三角函数值（如 tan45°=1）或构造含特殊角的直角三角形，设点坐标列方程；也可借助斜率与夹角公式。 - 易错提醒：忽略角的顶点与边位置多解；特殊角三角函数值记错；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内；角度制与弧度制混用。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中等角存在性问题 典例1 （2026·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． （3）解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成等角，求动点坐标，常分角相等或互补两类。 2.方法：设动点坐标，用斜率（或三角函数）表示角，根据等角条件列方程，解出后验证是否在抛物线上。 变式1-1（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 变式1-2（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)存在点P，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先根据图象的对称轴为直线，得出，再利用待定系数法即可解答； （2）先过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点,进一步得出，，进而得出为等腰直角三角形，进一步得出，根据平行线间的距离相等得出，利用勾股定理得出，进一步得到直线的解析式为，进而得出方程，即，解方程即可解答； （3）先过点作轴于点，过点作轴于点，设，，根据，得到，再根据当时，得出方程，利用根与系数的关系得出，，最后根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， ， 二次函数图象过点， ， 解得，， ． （2）解：存在点P， 如图，过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点, ． 直线l：， 当时，； 当时，即，解得， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 点P到直线l：的距离为，即（平行线间的距离相等）， ， ． 又，即直线l向下平移个单位长度可得到直线， 直线的解析式为， 当时，整理得， 解得，， 当时，； 当时，， 点P的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，． 根据题意，设，， ，，，． ， ， ， ， ，或者， 当时， 整理得， ∵， ∴， 此时点与点重合，不符合题意； 当时， 整理得，， 直线与二次函数图象交于A，B两点， 当时，即， ，， ，整理得，． 无论k取何值，都存在点，使得， 令，解得． 综上，． 题型二、二次函数中倍角存在性问题 典例2 （2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成倍角关系（如2倍角），求动点坐标，需转化角度。 2.方法：设动点坐标，利用正切倍角公式或构造辅助线（如作角平分线），将倍角关系转化为斜率或边长比例方程求解。 变式2-1（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 变式2-2（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，交轴于点． (1)求二次函数的解析式． (2)连接，，抛物线上是否存在点（点在的下方），使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，是线段上的一动点，过点作轴，垂足为，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）根据点P在下方，作A关于y轴对称点L，则易得，，分别求出直线、直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）在上取点D，使，则，先求出长度，进而作点B关于直线对称点E，连接交于点F，过E作轴于点G，易得，所以解即可得解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， ； （2）解：存在． 由可知， ，即， 点P在直线的下方， 如图，作点A关于y轴对称的点L，连接，则，， ， ， ， 由可得直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ； （3）解：如图，在上取点D，使，则， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 作点B关于直线对称的点E，连接交于点F，连接，过点E作轴于点G， 则， ， 当且仅当E，M，N三点共线时，的最小值为， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 的最小值为． 题型三、二次函数中特殊角存在性问题 典例3 （26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线顶点式求出点A的坐标，设点C的横坐标为参数，结合轴与抛物线解析式表示出点B的纵坐标，进而表示出的长度．利用的条件建立方程，结合点B在A左侧的范围求解，得到点B的坐标． （2）以为边构造含角的辅助线，过点A作的垂线，截取等长线段构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出该线段端点的坐标；结合点B的坐标求出直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为， 设点C的坐标为， ∵点B在A的左侧， ∴，； ∵轴，点B在抛物线上， ∴B的坐标为， ∴． ∵， ∴ ， 整理方程： ， ， 解得（对应点A，舍去），． 将代入抛物线解析式， 得， ∴点B的坐标为． （2）解：由（1）知，， 过点A作，交于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过E作轴于F， ∵轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴： 由（1）知，，， ∴，， ∵A点坐标， ∴， ∴， ∴E的坐标为． 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， 因此直线的解析式为． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成特殊角（如30°、45°、60°），求动点坐标。 2.方法：设动点坐标，利用特殊角三角函数值或斜率关系列方程，解出后验证是否满足范围。 变式3-1（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）已知抛物线与轴交于点，与x轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当线段取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)函数表达式为 (2)点的坐标为；的最小值为 (3)当时，点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）先得出直线的函数表达式，用表示点、的坐标，得出的长度，求出当最大时对应的值，得出点的坐标，利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，得出，由此判断的最小值为的长度，结合，可求出的长度，即可得到的最小值； （3）根据点的位置进行分类讨论，对应不同位置的点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，证明，利用参数表示点 的坐标，由边长等量关系得出用参数表示点的坐标，结合二次函数表达式，可求出对应的点坐标，最后即可得出点对应的坐标． 【详解】（1）解：∵点、点在抛物线上， 得，解得， 故函数表达式为． （2）解：当时，， 解得或， 故点， 令直线函数表达式为， 将点、代入， 得，解得， 故直线函数表达式为， 令点，则点， ∴， ∴， 故当时，最大，此时， 此时点的坐标为， 作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，如下图所示： 则，， 则，， ∴， ∴的最小值为的长度， 由，， 得， ∴点的坐标为；的最小值为． （3）解：当点在直线下方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示： ∵，， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， , ∴， 又∵， ∴， ∴，， 点在直线上，令点坐标为， ∴，， 则， 点的横坐标为， 故点的坐标为， ∵点在抛物线上， 故可得， 解得（舍去）或， 当，，， 此时点的坐标为； 当点在直线上方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示： ∵，， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， , ∴， 又∵， ∴， ∴，， 点在直线上，令点坐标为， ∴，， 则， 点的横坐标为， 故点的坐标为， ∵点在抛物线上， 故可得， 解得（舍去）或， 当，，， 此时点的坐标为； 综上，当时，点的坐标为或． 变式3-2（2026·湖北武汉·二模）已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C． (1)当时，直接写出抛物线的解析式； (2)若抛物线上一点D的横坐标为3，且A，D两点关于直线对称，求的值； (3)在（1）的条件下，点P是轴上一点，点Q在第一象限的抛物线上，是否存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有？若存在，求出点P，Q两点的坐标；若不存在，简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有 【分析】（1）先求得两点的坐标，用含的式子表示出点坐标，再由得出，求出值，进而即可得解； （2）如图，连接，先表示出 ，由轴对称性质和两点间的距离公式得，求出值，由得； （3）设，，，，过点P的任意一条直线解析式为，由根与系数关系和相似三角形的性质得出，由总有，得出等式恒成立的条件是含的方程的各项系数为零，得出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：令得，令得， ∴解方程得，，， ∵抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：如图，连接， ∵抛物线上一点D的横坐标为3， ∴， ∴ ， ∵A，D两点关于直线对称，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有，理由如下， 设，，，，过点P的任意一条直线解析式为， ∴， ∴， ∴，，，， 如图，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵总有， ∴， 由①得， 将④代入②变形得， 将④⑤代入③得， ∴，（舍去）， 当时，， ∴存在点，，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有． 题型四、二次函数中角度和存在性问题 典例4 （2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成两角之和等于定角，求动点坐标，需转化角度关系。 2.方法：设动点坐标，用斜率或正切表示两角，利用两角和公式建立方程，解出后验证是否在抛物线上。 变式4-1（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 变式4-2（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 题型五、二次函数中角度和是特殊角存在性问题 典例5 （2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成两角之和为特殊角（如45°、90°），求动点坐标。 2.方法：设动点坐标，用斜率或正切表示两角，利用两角和正切公式列方程，解出后验证范围。 变式5-1（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 变式5-2（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)2； (3)点M的坐标为或， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为， 过点P作于F，交于E，设点，则，可得，然后利用三角形的面积公式结合二次函数的最值求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， ∴， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， 如图，过点P作于F，交于E， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积的最大值为， ∴点； （3）解：由题意得， ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 2．（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得；点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后得出直线的解析式为，设，且，则，然后根据铅垂法表示出四边形的面积，进而问题可求解； （3）由题意可分当点在轴的上方时，当点在轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：，即， 令，则有，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点的坐标为 （3）解：由题意可分：当点在轴的上方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当点在轴的下方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由题意知：， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，过点作射线轴． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点，点，为射线、上的动点，连接、、．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使新得到的抛物线过线段的中点，抛物线与轴交于点，连接，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，得，，代入中，解方程组即可求解； （2）求出直线的表达式为，设点，则，将表示出来，根据二次函数的性质即可求出点的坐标；分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，为线段的长，求出、的坐标即可； （3）分两种情况讨论：①过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时；②作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：设直线的表达式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为：． 设点，则， ∴ ，， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴点． 如图，分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小， ∴． ∵，轴， ∴直线的表达式为：， ∴． ∵， ∴， 过点作，交于点，连接，交于点，连接， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 直线：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． （3）解：， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设平移后的抛物线的解析式为：， ∵为的中点， ∴， 将点代入，得 ，解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点， ∴，， ∴． 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 作点关于直线的对称点，连接，，交于点，交于点，过点作，交轴于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立，解得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 综上所述，点的横坐标为或． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 5．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 6．（2026·重庆巴南·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)解：∵ ，， ∴， ∴ 将抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位， ∴ 新抛物线， 将代入得， ∴ ， ∴ ， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入得， 解得或， ∴ 抛物线与轴负半轴交于点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 点满足条件，即， ②当点在下方时， 作点关于的对称点，连接， 由对称性得，， 由对称性知垂直平分，由对称可知， ∴， 故射线上(除G外)任意一点M均满足 ∴ ， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴ ， 综上，符合条件的点的坐标为或． 点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线顶点，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点． （2）先由抛物线解析式求出对称点的坐标和直线的表达式，设的横坐标为参数，表示的长度并求最大值，确定的位置；再利用轴对称将军饮马模型求的最小值． （3）根据平移向量求出新抛物线表达式，确定点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角度条件转化为；先利用对称性找出一个满足条件的点，再作对称点求出直线与抛物线的另一交点． 【详解】（1）解：∵ 抛物线顶点为， ∴ 设抛物线解析式为， 又∵ 抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ． （2）解：由得，对称轴为直线， ∵ 点与点关于对称轴对称， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 设，过作轴的垂线交于， 则的纵坐标为， 代入得， ∴ ， ∴ 当时，最大，此时， ∴ ， 作点关于直线的对称点， ∵ 在对称轴上， ∴ ， ∴ 的周长， ∵ ， ∴ 周长的最小值为． （3）略 7．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为A，连接、． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图1，点D是线段的中点，连接，若点E在y轴上，使得是以为斜边的直角三角形，则点E的坐标为________________． (3)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，分别交、x轴于点M、N． ①如图2，当时，请求出满足条件的点P的横坐标． ②如图3，连接，将绕点O按顺时针方向旋转得到，连接，线段长度的最小值为________________． 【答案】(1)； (2)或 (3)①；② 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再令，求出点坐标； （2）设，是以为斜边的直角三角形，可得，利用勾股定理分别表示出，，，建立方程求解即可； （3）①过点作，交于点，先求出直线解析式，设，则，利用，，可证明，得出，从而得出点的纵坐标为，由点的纵坐标为，建立方程求解即可；②设，则，过点作轴，垂足为，证明，得出，求出旋转后的点坐标，得出点的轨迹是直线上在之间的一段线段，由垂线段最短可知，当时，长度取最小值，利用三角形面积求出长度即可． 【详解】（1）解：点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得：，解得：或， ∴． （2）解：由（1）得：，，，如图所示： ∵点D是线段的中点， ∴，即， ∵点E在y轴上， ∴设， ∵，，， ∴，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，即，整理得：，解得：或， ∴点E的坐标为或． （3）解：①如图所示，过点作，交于点， ∵点P是直线上方抛物线上的一动点，抛物线解析式为， ∴设，， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为， 又∵点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴，解得：或（舍去）， ∴满足条件的点P的横坐标即为； ②依然可设，， 由①得：直线解析式为，， 过点作轴，垂足为， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 令，，即，消去得：， ∴点的坐标满足解析式， ∵， ∴，即， ∴点的轨迹是直线上在之间的一段线段， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 在中，令，得：；令，得：， ∴，， ∴点的轨迹即是线段， 连接，过点作， ∴当时，长度取最小值，最小值为的长度， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，解得：， ∴长度的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题20二次函数中的特殊角度存在性问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中等角存在性问题 题型二 二次函数中倍角存在性问题 题型三、 二次函数中特殊角存在性问题 题型四、二次函数中角度和存在性问题 题型五、二次函数中角度和是特殊角存在性问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足30°、45°、60°等特殊角的动点是否存在，常与等腰、直角 结合。 解题方法：利用特殊角三角函数值（如tn45°=1）或构造含特殊角的直角三角形，设点坐标列方程；也 可借助斜率与夹角公式。 -易错提醒：忽略角的顶点与边位置多解，特殊角三角函数值记错，未检验所求点是否在抛物线或给定范 围内；角度制与弧度制混用。 夙题型归纳精讲典型题法，夯失解题根基 题型一、二次函数中等角存在性问题 奥例1(2026山东东苦中考真题)如图，抛物线'=+x-3a≠0)与轴交于40)，B(3,0)两点， 与y轴交于点C 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)若P为直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥BC于点N,当△PBC的面积最大时，求线段 PN的值. (3)抛物线上是否存在一点卫，使得∠QAB=∠ABC?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由. 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成等角，求动点坐标，常分角相等或互补两类。 2方法：设动点坐标，用斜率（或三角函数）表示角，根据等角条件列方程，解出后验证是否在抛物线上。 1 变式11(26-27九年级上重庆阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=4+hx+c与x轴交 4 于点A,B(40,与'轴交于 C(0,3) 连接4C,BC 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC,垂足为D,M是直线AC上一动点，N是x 轴上一动点，连接PM,MN,NP,当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及△PMN周长的最小值： (3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位长度得到抛物线y,点A的对应点为F,K是平移后抛物线y上 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一点，直线AF交射线CK于点N,且∠ANC=∠CAB.请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出 求解点K的其中一种情况的过程. 变式1-2(2026黑龙江大庆中考真题)如图，己知二次函数y=2 x+bx+c图象的对称轴为直线x=0,且 C(4,5) 过点 直线人，y=-x+ 与y轴交于点F. y= -x+1 x十1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (②)在直线↓：y=-x+1下方的抛物线上是否存在点P,使得点P到直线1：y=-x+1的距离为V2?若存在， 求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由： ③)过点卫的直线y三+与二次函数y=)P+x+C图象交于A,B两点，无论k取何值，都存在玉 H(0,m) 使得∠AHF=∠BH,请直接写出m的值. 题型二、二次函数中倍角存在性问题 奥例2(2026四川巴中中考真题)如图，抛物线'=a+x+2(a≠0与产销交于1(-2,0)、B(,0) 两点，与y轴交于点C. 3/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值； (3③)在第二象限内的抛物线上是否存在点2，使得∠4C2=2∠0CB？若存在，求点的坐标：若不存在， 说明理由， 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成倍角关系（如2倍角)，求动点坐标，需转化角度。 2方法：设动点坐标，利用正切倍角公式或构造辅助线（如作角平分线），将倍角关系转化为斜率或边长 比例方程求解。 东烟台一模)如图，抛物线y三+4x+C与x轴相交于点A仁 C(0,3) 交于点 作直线BC A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2②若在直线B C上方的抛物线上有一动点P,连接OP交直线BC于点D,若氵 BC SPCo S.CDO=7:4 P 求点的 坐标； 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若在直线BC上存在一点2，使∠AQB=2∠OCB,求点2的坐标. 变式2-2(2026甘肃平凉·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(《-少+k(k为常数)的图象 与轴交于410)，日两点，交》轴于点C VA 备用图 (1)求二次函数的解析式。 (2)连接AC,BC,抛物线上是否存在点P(点P在BC的下方)，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. (③)在x轴上方的抛物线上找一点2，作射线A犯，使∠BA犯=2∠AC0,M是线段A0上的一动点，过点 M作M⊥x轴，垂足为N,连接BM,求BM+MN的最小值. 题型三、二次函数中特殊角存在性问题 典例3(26-27九年级上吉林松原阶段检测)如图，抛物线y=(x+)的顶点为A,过点A左侧抛物线上 点B,作BC⊥x轴于点C,且BC=2AC AO (1)求点B的坐标： 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若D是抛物线上一点，且∠ABD=45°，求直线BD的解析式. 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成特殊角（如30°、45°、60°），求动点坐标。 2方法：设动点坐标，利用特殊角三角函数值或斜率关系列方程，解出后验证是否满足范围。 变式31(2526大年级上更庆宋昌剪末)已知抛物线)+bx+c与y轴交F点C0,2引，与轴交于 点1(L,0)和B点，连接BC 图1 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (②)如图1，点P是线段BC下方抛物线上的一动点，过点P作PEI‖y轴交线段BC于点E,点M是y轴上 一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当线段PE取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+CN的最 小值： (③)点卫是抛物线上一动点，当∠BC=45°时，请直接写出所有符合条件的点2的坐标，并写出求解点2 坐标的其中一种情况的过程. 变式3-2(2026湖北武汉：二模)已知抛物 y=心2-4ar-5aa<0)与'轴交于A、B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C. B 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当∠ABC=45°时，直接写出抛物线的解析式； (2)若抛物线上一点D的横坐标为3，且A,D两点关于直线BC对称，求a的值； (3)在(1)的条件下，点P是y轴上一点，点Q在第一象限的抛物线上，是否存在点P,Q,使得过点P的 任意一条直线交抛物线于M,N两点（不与点Q重合），总有∠MQN=90°？若存在，求出点P,Q两点 的坐标；若不存在，简要说明理由. 题型四、二次函数中角度和存在性问题 典例4 (2026天津西青·二模)已知抛物线y=x2-2mx-2m-1(m是常数且m>0)与x轴交于点A,B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为D,O是坐标原点. (1)若m=2, ①求该抛物线的顶点D和点C,B的坐标： ②抛物线上一点P在直线CB下方，其横坐标为t,过点P作直线I∥CB,当直线I与直线CB之间的距离取 得最大值时，求点P的坐标. (②)当CB+CD取得最小值时，该抛物线上存在一点M,满足∠CBM=∠ACB-2∠ACO,求点M的坐标. 题型模版 1特征：抛物线上动点与两定点构成两角之和等于定角，求动点坐标，需转化角度关系。 2方法：设动点坐标，用斜率或正切表示两角，利用两角和公式建立方程，解出后验证是否在抛物线上。 变过41(2627力年级上重状开学考试)图。在平百百角坠标系中，浆物线少=+加+“与轴交 于1(1,0) C1,4 B两点，且经过 ,连接AC.BC VA 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的表达式： 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC,垂足为D,E,F是线段BC上动点(E在F 上方)，且EF=V2,连接PE,PF,当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+PF的最小值： (3)将抛物线沿射线CB方向平移√2个单位长度得到抛物线y,点C的对应点为G,M是平移后抛物线' 上一点，射线BM交直线AG于点N,且∠ANB=∠CAB-∠CBA.请直接写出所有符合条件的点M的横坐 标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程， 变式42(25-26八年级下重庆期末)如图L,在平面直角坐标系中，抛物线与*轴交于4(-3,0小B(,0) 两点，与'轴交于 (0,3 ,连接4C 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP.抛物线的对称轴为直线I,点Q为y轴 上的动点，OH⊥I于点H,当△APC面积取得最大值时，求点P的坐标及PQ+HQ的最小值： )如图2，将抛物线沿射线CA方向平移32 CA 个单位长度得到新抛物线”，点M为抛物线”与”轴的左侧 y 交点，点W为抛物线”上的一动点。若∠MC+∠C1B=∠MC0,诗直接写出所有符合条件的点N的横 坐标 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、二次函数中角度和是特殊角存在性问题 典例5(2026九年级上·全国专题练习)如图，抛物线y=+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 3 C,抛物线的对称轴是直线x=一2，己知点BL,0),C(0,-2) (1)求抛物线的解析式： (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作EDLx轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值及此 时点E的坐标： (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成两角之和为特殊角（如45°、90°)，求动点坐标。 2方法：设动点坐标，用斜率或正切表示两角，利用两角和正切公式列方程，解出后验证范围。 变式5-1(26-27九年级上四川成都开学考试)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3与x 轴交于1(-1,0)，B(3,0 两点，与'轴交于点C B 图1 图2 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1.点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E,过点P 作x轴的平行线PF交直线BC于点F,求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点2，使∠CB0+∠AC0=45°？若存在，请直接写出点卫 的坐标；若不存在，请说明理由 变式5-2(25-26八年级下黑龙江大庆期末)如图，抛物线y=- +bx+c与x轴交于点A、B(4,0),与 4 C(0,1 y轴交于点 ,连接ACBC 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接PB、PC,求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标： (3)将抛物线沿射线CA方向平移√2个单位长度得到抛物线y,点B的对应点为F,M是平移后抛物线y上 一点，直线AM交直线BF于点N,且∠ANB=∠ACB-90°.请直接写出所有符合条件的点M的坐标， ◆◆ 同压轴挑战一支克离难压轴，突破思维上保 1.(2026宁夏中考真题)如图，抛物线 =+r-6与”轴交于A,B两点(4在8左侧)，与'轴交 于点c,0A=0c 2 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线表达式： (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过D作DE∥y轴交直线AC于E.求 E+ LEC 5的最大值； (3)抛物线上是否存在点P,使得∠PBA=∠BAC.若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由. 2。〈206矿系清延二视)已知=次硒数=+r+0的图交产指于48两点，交'箱于点9，点巴坐 C 标为30 ,对称轴是直线=l,点P是轴上一动点，PMLx轴，交直线BC于M,交抛物线于点N. 备用图1 备用图2 (1)求二次函数解析式. (2)若点P在线段BO上运动（不与O,B重合），求四边形ABNC面积的最大值，并求此时点P坐标. (3)设点D是抛物线上一动点，是否存在点D,使得∠BCD=15°？若存在，请直接写出所有符合条件的点 D坐标；若不存在，请说明理由。 3.(2526八年级下重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线’=四++C与‘轴交于4，C两 点，与y轴交于点B,连接BC,OB=OC=3,过点B作射线BH‖x轴， 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y M D (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F,交线段BC于点E,点M,N为 、BC上的动点，连接PM、PN、N,当PE一取得最大值时，求点P的坐标 长的最小值： ③)在(2)的条件下，连接OE,将抛物线'=+x+ C沿射线BC方向平移，使新得到的抛物线 过线段 BC的中点D,抛物线y与y轴交于K点，连接KC,点G为抛物线y上的一动点.若 ∠OEG=∠OCK+∠E0C,请直接写出所有符合条件的点G的横坐标. 4(2026四川甘孜中考直题)如图，抛物线”=(x+12儿x-6a≠0)与轴负半轴交于点4，与'轴 交于B0,6V5) D B E E :O 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)将原点O,点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C,点D,连接CD,AD,作∠OAD的平分线 交CD于点E. ①求点E的坐标； ②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G,连接DG交抛物线于点H, 连接EH,当∠DEH=∠DEF时，求点H的横坐标. 12/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. (2026福建三明模拟预测)已知二次函数'=+hx+C(a<0)的图象与*轴交于 (-1,0)、B两点， 与y轴交于点C,其对称轴为直线x=1. (1)当a=-l时，求该二次函数的表达式： (2)求证：5a+c<0: (3)若点C的坐标为 ,3)，且点P为直线BC上方的抛物线上的一点，过点P作PD)轴，交直线BC于点 D ①若以C,P,D为顶点的三角形与△BOC相似，请求出所有满足条件的点P的坐标： ②是否存在点P,使得∠PBC+∠AC0=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. y=x+bx+c A(1,0) 6.(2026重庆巴南模拟预测)抛物线 与x轴交于 ,B两点，与y轴交于点C,抛物线 的顶点为点D(2,-).点C与点E关于抛物线的对称轴对称. OA代B D 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线DE下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交DE于点H. 当线段PH的长度最大时，求△PFE周长的最小值： )在第(2)问的条件下，将抛物线沿射线BB方向平移0 个单位长度得到新抛物线，新抛物线’与y 轴交于点G,点M为抛物线y上一动点.若∠PGM-45°=∠OCA,请直接写出所有符合条件的点M的坐 标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程. 7.(2026四川广元中考真题)定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交 点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”· 13/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点。 % B B 图1 备用图 )如图L,若点P为线段B的中点，二次函数'=a+x+c(a≠0 的“顶点弦”为线段PB,且点P为 顶点，求该二次函数的解析式： (2)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BA0=45°，求点E的坐标： )点C在线段MB上，若抛物线F:y=a4r+x+4(a≠0) hE:y=ax2+bx+C2(a2≠0） 和抛物线 的“顶点 GA 弦”分别为GA和GB,点G为E和E的顶点，且a+2a=0,求GB的值. 8.(2026黑龙江齐齐哈尔·二模)综合与探究 如图，抛物线y=-2+r+c经过点B(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为4，连接4C、BC, 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式及点A的坐标： (2)如图I,点D是线段AC的中点，连接BD,若点E在y轴上，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形， 则点E的坐标为 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作POy轴，分别交BC、x轴于点MN ①如图2，当∠PCM=2∠OBC时，请求出满足条件的点P的横坐标. ②如图3，连接OM,将OM绕点O按顺时针方向旋转90°得到OG,连接AG,线段AG长度的最小值为 15/15