专题1 解一元二次方程专项（单元复习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题1 解一元二次方程专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、配方法解一元二次方程 3 知识点二、配方法的应用 4 知识点三、公式法解一元二次方程 4 知识点四 因式分解法解一元二次方程 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 6 【题型2 解一元二次方程---配方法】 6 【题型3 配方法的应用】 7 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 7 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 8 【题型6 根据根的情况求参数】 8 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 9 【题型8 换元法解一元二次方程】 9 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 10 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 11 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 15 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · ·配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · 不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】若方程是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-3】关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】用配方法解方程，正确的变形是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-3】用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 【题型3 配方法的应用】 【例3】若，则的值为（     ） A．14 B．16 C．4 D．6 【变式3-1】已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-2】设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-3】多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 【例4】是下列哪个一元二次方程的根（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】丽丽在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的结果比正确结果小，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式4-2】方程的一个根是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】关于的一元二次方程（方程有解）的两个根是（     ） A． B． C． D． 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】关于x的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．无法确定 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式5-1】下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】关于的一元二次方程有实数根，的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-3】如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且． 【变式6-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【变式6-2】若关于x的一元二次方程有实根，则k的非负整数值是（   ） A．0，1 B．0，1，2 C．1，2 D．0，2 【变式6-3】若是关于的一元二次方程，用下面选项中的数替换，可使方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】等腰三角形两边长为方程的两根，则它的周长为（     ） A．12 B．12或9 C．9 D．7或12 【变式7-1】解下列方程：，，，较简便的方法依次是（     ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【变式7-2】一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】若关于的一元二次方程有一个根，则方程，必有一个根为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（     ） A．1，5 B．，3 C．，1 D．， 【变式8-3】若，则的值是（     ） A．或 B． C．或 D． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【变式9-2】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．将一元二次方程配方后可化为（     ） A． B． C． D． 2．将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．方程的根是（     ） A． B． C．， D．， 7．在菱形中，对角线，的长是方程的两个根，则与菱形的面积相等的正方形的边长为（     ） A． B．2 C． D．4 8．若方程是一元二次方程，则方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．以上都不对 9．如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 10．解下列一元二次方程： (1)； (2)； 11．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 (1)小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． (2)请用配方法解一元二次方程：． 12．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是． (1)求代数式的最小值； (2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ (3) 13．已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． (1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； (2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 14．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题1 解一元二次方程专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、配方法解一元二次方程 3 知识点二、配方法的应用 4 知识点三、公式法解一元二次方程 4 知识点四 因式分解法解一元二次方程 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 6 【题型2 解一元二次方程---配方法】 7 【题型3 配方法的应用】 9 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 11 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 12 【题型6 根据根的情况求参数】 14 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 15 【题型8 换元法解一元二次方程】 17 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 19 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 22 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 34 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · ·配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · 不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 【变式1-1】若方程是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，且， 由得，即， 由得， ∴． 【变式1-2】若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 【变式1-3】关于的方程的两个根满足，则的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入得，， 解得． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】用配方法解方程，正确的变形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式2-1】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，求解判断即可． 【详解】解：， ， ． 【变式2-2】亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据用配方法求解一元二次方程的步骤解答即可； 【详解】解：步骤①将常数项移到等号右侧，得到，变形正确； 步骤②，给左侧加1凑完全平方，根据等式的性质，右侧的4也必须同步加1，才能保证等式成立，但亮亮只给左侧加了1，右侧没有加，错误得到，实际正确结果应该是，所以出错的是步骤②； 步骤③、④都是基于步骤②的错误推导的连锁结果，但最初的错误出在步骤②． 【变式2-3】用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法把方程变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方得：． 【题型3 配方法的应用】 【例3】若，则的值为（     ） A．14 B．16 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由方程得，则由原方程得，利用完全平方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 给方程的两边同除以， 得，则， ∴． 【变式3-1】已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据作差法，分别比较和的大小关系，即可求解； 【详解】解：，， ， ； ， ； 最大． 【变式3-2】设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 【例4】是下列哪个一元二次方程的根（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程． 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即； ，即； ， ， 故方程为 ． 【变式4-1】丽丽在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的结果比正确结果小，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意得关于的方程为，然后解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得 ∴， ∴，（舍去）， ∴的值为． 【变式4-2】方程的一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程中 ∴ ∴ ∴ 【变式4-3】关于的一元二次方程（方程有解）的两个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程中，，， ∴， ∴ 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】关于x的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．无法确定 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式5-1】下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，即 ∴，有两个不相等实数根； ∵，即， ∴，没有实数根； ∵， ∴，有两个相等实数根； ∵， ∴，没有实数根． 【变式5-2】关于的一元二次方程有实数根，的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由一元二次方程有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故的值可以是． 【变式5-3】如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可判断出k、b的符号；表示出一元二次方程的判别式，再根据k、b的符号判定判别式的符号，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 一元二次方程的判别式为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且． 【答案】D 【分析】由一元二次方程的根的判别式和二次项系数不为，可得的取值范围． 【详解】解：，要使的一元二次方程有实根， ， 解得且， 且． 【变式6-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据是一元二次方程，进而得到，再根据一元二次方程有实数根，利用根的判别式得到结果． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式6-2】若关于x的一元二次方程有实根，则k的非负整数值是（   ） A．0，1 B．0，1，2 C．1，2 D．0，2 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集并结合一元二次方程的定义即可得到k的范围，即可确定出k的非负整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴（即），， ∴ ， ∴ 解得且， ∴k的非负整数值是0，2． 【变式6-3】若是关于的一元二次方程，用下面选项中的数替换，可使方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式求出原方程没有实数根时需要满足的条件，再逐一验证即可． 【详解】解：当原方程没有实数根时，则， ∴， ∵，，，， ∴时，可使方程没有实数根． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】等腰三角形两边长为方程的两根，则它的周长为（     ） A．12 B．12或9 C．9 D．7或12 【答案】A 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，即可确定三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，，不能构成三角形，舍去； 当2为底时，三边长为5，5，2，周长为， 综上，三角形的周长为12． 【变式7-1】解下列方程：，，，较简便的方法依次是（     ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【分析】第一个方程整理为平方等于常数的形式，选用直接开平方法计算； 第二个方程的判别式不是完全平方数，适合使用公式法； 第三个方程利用因式分解法降次求解． 【详解】解：① 直接开平方法：变形得， 解得，． ② 公式法：判别式， 解得． ③ 因式分解法：提取公因式得， 即， 解得，． 【变式7-2】一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 【变式7-3】三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，求出方程的解后需要验证是否符合该规则，排除无法构成三角形的无效解，最终得到结果． 【详解】解： ，． 若第三边为，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去； 若第三边为，，符合三边关系，可以构成三角形， 因此，此三角形的周长为． 故答案为B． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】若关于的一元二次方程有一个根，则方程，必有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：， ， 一元二次方程有一个根， 必有一根为， 解得． 【变式8-1】若关于的一元二次方程有一解为，则关于的一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法可得一元二次方程必有一解满足，求解即可． 【详解】整理，得， ∵关于的一元二次方程有一解为， ∴一元二次方程必有一解满足， 解得． 【变式8-2】已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（     ） A．1，5 B．，3 C．，1 D．， 【答案】D 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， ∵一元二次方程（）的两根分别为和， ∴或， 解得，． 【变式8-3】若，则的值是（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程求解，结合的非负性筛选结果． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ ，即． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 【变式9-1】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 【变式9-2】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 【变式9-3】在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．将一元二次方程配方后可化为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 2．将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程变形为完全平方式，再对照选项选出答案． 【详解】解：， ， ． 3．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】先确定方程各项系数，然后计算判别式，根据判别式符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一求出四个选项中所给方程的根或判别式的值，进而判断即可． 【详解】解：A、 解得， ∴方程有两个不相等的实数根； B、 或 解得， ∴方程有两个不相等的实数根； C、 解得 ∴方程有两个相等的实数根； D、 ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 6．方程的根是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴或． 7．在菱形中，对角线，的长是方程的两个根，则与菱形的面积相等的正方形的边长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程得到菱形两条对角线的长度，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后根据正方形面积与菱形面积相等，计算正方形的边长即可． 【详解】解：， ， 解得，， 菱形两条对角线长分别为2和4， 菱形面积， 设所求正方形的边长为a，则 解得或（不合题意，舍去）， 正方形的边长为2． 8．若方程是一元二次方程，则方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．以上都不对 【答案】D 【分析】由一元二次方程的定义可知：最高次项的次数为且二次项系数不为零，求出的值，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， ∴方程为， 化简为, ∵， ∴， ． 9．如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】利用配方法解方程求出方程的正根为，利用勾股定理求出的长，结合作图方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的正根为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴，，， ∴方程的一个正根是线段的长． 10．解下列一元二次方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； 11．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 (1)小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． (2)请用配方法解一元二次方程：． 【答案】(1)四 (2)， 【分析】（1）观察小明的解方程步骤，根据平方根的性质判断出错的步骤． （2）按照配方法解一元二次方程的步骤，先化二次项系数为1，再移项、配方，最后开平方求解方程． 【详解】（1）解：， ， 从第四步开始出现错误． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，． 12．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是． (1)求代数式的最小值； (2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ (3) 【答案】(1) (2)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子配方为，再根据非负数的性质得出最小值； （2）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据非负数的性质得出最值即可． 【详解】（1） 的最小值是； （2）解：设花园的面积为，由题意可得， ， ， ， 当时，最大，最大值为50， 此时的长是， 当时，花园的面积最大，最大面积是． 13．已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． (1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； (2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ， ∵将沿翻折后得到． ，， ， ∵，， ∴， ∴； (2)， 理由：点是的中点， ， 折叠， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ，， ． (3) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出； （2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明； （3）根据（1）的结论以及折叠的性质可得，，设，证明求得，进而证明，设，根据勾股定理建立方程，解方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ， ∵折叠， ∴，， ∴，， ， 设， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴ ，， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 14．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $