专题 26.6 二次函数复习专题（1）——二次函数解析式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理模块系统构建二次函数解析式的复习体系，以要点提示、适用场景对比等工具呈现定义判定条件、三种解析式特征及转化方法，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导创新，基础题型如顶点式求解析式强化运算能力，综合题型含参数求解培养推理意识，同步检测覆盖选择填空解答题，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题 26.6 二次函数复习专题（1）——二次函数解析式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数的定义 1 【知识点2】二次函数三种解析式（中考必考） 2 【知识点3】三种解析式互相转化 3 【知识点4】二次函数特殊点坐标 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】二次函数定义辨析 3 【题型2】利用一般式求解析式（三点型） 4 【题型3】利用顶点式求解析式（顶点型） 5 【题型4】利用交点式求解析式（双交点型） 5 【题型5】解析式配方转化（必考基础） 6 三.题型精析（综合提升） 6 【题型6】含参数二次函数参数求解 6 【题型7】三种解析式综合互化 7 【题型8】已知最值或对称轴求解析式 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理 【知识点1】二次函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 核心判定条件（缺一不可）： （1）自变量最高次数为2；（2）二次项系数 ；（3）解析式为整式。 易错提醒：、、 都是二次函数，均满足二次函数定义。 【要点提示】 1. 快速判定三步法：先判断解析式是否为整式，再确认自变量最高次数为2，最后核验二次项系数不为0，三者缺一不可； 2. 凡解析式含分式、根式、负指数幂的函数，均不是二次函数； 3. 含参数的二次函数判定，需同时满足“自变量次数为2”和“二次项系数不为0”两个条件，联立求解参数。 【知识点2】二次函数三种解析式（中考必考） 1. 一般式： 适用场景：已知函数图像上任意三个点的坐标，求解函数解析式。 2. 顶点式（核心考点）： 顶点坐标：，对称轴：直线 适用场景：已知抛物线顶点、函数最值、对称轴等相关条件。 3. 交点式（两根式）： 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，外加图像上任意一点坐标。 注意：抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，无法因式分解，不能使用交点式。 【要点提示】 1. 解析式选择优先级：已知顶点/对称轴/最值优先选顶点式，已知x轴双交点优先选交点式，无特殊条件选用一般式，可大幅简化计算； 2. 顶点式符号为高频易错点：解析式为 时，可转化为 ，顶点横坐标为； 3. 交点式的使用前提是一元二次方程 有实数根，即判别式 。 【知识点3】三种解析式互相转化 1. 顶点式、交点式展开化简后，均可化为一般式； 2. 一般式可通过配方化为顶点式： 3. 当一般式对应方程判别式 时，可因式分解化为交点式。 【要点提示】 1. 配方核心步骤：二次项系数不为1时，先提取二次项系数，再对一次项配方，最后整理常数项； 2. 考试中可直接利用一般式公式求顶点，无需每次配方，提升解题速度； 3. 三种解析式可灵活互化，解题时可根据题干条件和求解需求自由切换。 【知识点4】二次函数特殊点坐标 1. 与y轴交点： 2. 顶点坐标： 3. 与x轴交点：令 ，解方程 ，方程的根即为交点横坐标。 【要点提示】 1. 求y轴交点无需解方程，直接令，交点纵坐标即为解析式常数项； 2. x轴交点个数由判别式决定，两个交点，一个交点，无交点； 3. 顶点是抛物线的极值点，顶点纵坐标对应函数的最大值或最小值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】二次函数定义辨析 解题技巧：紧扣定义三大条件，依次核查解析式是否为整式、自变量最高次数是否为2、二次项系数是否不为0。 【例题1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【题型2】利用一般式求解析式（三点型） 解题技巧：无特殊条件时设一般式，将三个点的坐标依次代入解析式，构建三元一次方程组，求解参数即可。 【例题1】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【变式1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点的坐标为 ，的面积为 ． 【题型3】利用顶点式求解析式（顶点型） 解题技巧：题干给出顶点、对称轴、最值等条件，优先设顶点式，仅需代入一个点坐标求解参数，计算简便、准确率高。 【例题1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，且过点．求这个二次函数的表达式． 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【题型4】利用交点式求解析式（双交点型） 解题技巧：已知抛物线与x轴两个交点横坐标，直接设交点式，代入图像上任意第三个点坐标，求解参数即可。 【例题1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线分别经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （3，0），B （﹣1，0），求抛物线的解析式． 【题型5】解析式配方转化（必考基础） 解题技巧：按照“提系数、配平方、调常数、做整理”四步走，将一般式标准化为顶点式。 三.题型精析（综合提升） 【题型6】含参数二次函数参数求解 解题技巧：严格依据二次函数定义，联立“自变量最高次数为2”的等式和“二次项系数不为0”的不等式，求解参数并检验。 【例题1】（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式2】（2025九年级上·四川眉山·专题练习）若函数的图象是抛物线，则m的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【题型7】三种解析式综合互化 解题技巧：熟练掌握展开、配方、因式分解三种核心变形方法，实现一般式、顶点式、交点式自由转化，同步推导顶点、对称轴、交点等核心信息。 【例题9】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的图象过点，． （1）当时，求a的值； （2）求证：． 【变式3】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【题型8】已知最值或对称轴求解析式 解题技巧：函数最值、对称轴条件可直接转化为顶点坐标，优先选用顶点式，简化求解流程。 【例题9】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值，求该二次函数的表达式． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B．此抛物线对应的函数表达式； 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 7．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（   ） A．，，2 B．，4，2 C．，4，2 D．无法确定 9．（23-24九年级上·福建厦门·期末）抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 12．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 13．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 14．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ____________________． 15．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______． 16．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在正方形中，点B，D的坐标分别是，，点A在抛物线的图象上，则a的值为________． 18．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·海南·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，其图象经过点，求抛物线的函数关系式． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式． （2）利用函数图象，求当时，y的取值范围． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.6 二次函数复习专题（1）——二次函数解析式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数的定义 1 【知识点2】二次函数三种解析式（中考必考） 2 【知识点3】三种解析式互相转化 3 【知识点4】二次函数特殊点坐标 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】二次函数定义辨析 3 【题型2】利用一般式求解析式（三点型） 5 【题型3】利用顶点式求解析式（顶点型） 8 【题型4】利用交点式求解析式（双交点型） 10 【题型5】解析式配方转化（必考基础） 12 三.题型精析（综合提升） 12 【题型6】含参数二次函数参数求解 12 【题型7】三种解析式综合互化 15 【题型8】已知最值或对称轴求解析式 18 四.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 一.知识梳理 【知识点1】二次函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 核心判定条件（缺一不可）： （1）自变量最高次数为2；（2）二次项系数 ；（3）解析式为整式。 易错提醒：、、 都是二次函数，均满足二次函数定义。 【要点提示】 1. 快速判定三步法：先判断解析式是否为整式，再确认自变量最高次数为2，最后核验二次项系数不为0，三者缺一不可； 2. 凡解析式含分式、根式、负指数幂的函数，均不是二次函数； 3. 含参数的二次函数判定，需同时满足“自变量次数为2”和“二次项系数不为0”两个条件，联立求解参数。 【知识点2】二次函数三种解析式（中考必考） 1. 一般式： 适用场景：已知函数图像上任意三个点的坐标，求解函数解析式。 2. 顶点式（核心考点）： 顶点坐标：，对称轴：直线 适用场景：已知抛物线顶点、函数最值、对称轴等相关条件。 3. 交点式（两根式）： 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，外加图像上任意一点坐标。 注意：抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，无法因式分解，不能使用交点式。 【要点提示】 1. 解析式选择优先级：已知顶点/对称轴/最值优先选顶点式，已知x轴双交点优先选交点式，无特殊条件选用一般式，可大幅简化计算； 2. 顶点式符号为高频易错点：解析式为 时，可转化为 ，顶点横坐标为； 3. 交点式的使用前提是一元二次方程 有实数根，即判别式 。 【知识点3】三种解析式互相转化 1. 顶点式、交点式展开化简后，均可化为一般式； 2. 一般式可通过配方化为顶点式： 3. 当一般式对应方程判别式 时，可因式分解化为交点式。 【要点提示】 1. 配方核心步骤：二次项系数不为1时，先提取二次项系数，再对一次项配方，最后整理常数项； 2. 考试中可直接利用一般式公式求顶点，无需每次配方，提升解题速度； 3. 三种解析式可灵活互化，解题时可根据题干条件和求解需求自由切换。 【知识点4】二次函数特殊点坐标 1. 与y轴交点： 2. 顶点坐标： 3. 与x轴交点：令 ，解方程 ，方程的根即为交点横坐标。 【要点提示】 1. 求y轴交点无需解方程，直接令，交点纵坐标即为解析式常数项； 2. x轴交点个数由判别式决定，两个交点，一个交点，无交点； 3. 顶点是抛物线的极值点，顶点纵坐标对应函数的最大值或最小值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】二次函数定义辨析 解题技巧：紧扣定义三大条件，依次核查解析式是否为整式、自变量最高次数是否为2、二次项系数是否不为0。 【例题1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 【变式2】（2024·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 解：A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 【变式3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 解：根据题意得，， 故答案为：． 【题型2】利用一般式求解析式（三点型） 解题技巧：无特殊条件时设一般式，将三个点的坐标依次代入解析式，构建三元一次方程组，求解参数即可。 【例题1】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得， ， 解得， 则二次函数解析式为． 【变式1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点的坐标为 ，的面积为 ． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了二次函数待定系数法求解析式，二次函数的性质以及三角形面积． （1）代入点的坐标可求，，进而可求解析式；（2）利用二次函数顶点坐标公式即可求解，求的面积找到底和高即可求解． 解：（1）解：把，代入， 得， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 则对称轴为， 当时，， 故点坐标为， 由，可知， 点到距离为， 故． 【题型3】利用顶点式求解析式（顶点型） 解题技巧：题干给出顶点、对称轴、最值等条件，优先设顶点式，仅需代入一个点坐标求解参数，计算简便、准确率高。 【例题1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，且过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据对称轴得到，进而将代入求出，即可得到二次函数的表达式． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线为， 又∵抛物线过点， ∴， 即， 解得， 所以该抛物线的解析式为． 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 【变式2】（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】（或） 解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴（或） 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 【题型4】利用交点式求解析式（双交点型） 解题技巧：已知抛物线与x轴两个交点横坐标，直接设交点式，代入图像上任意第三个点坐标，求解参数即可。 【例题1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线分别经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 【变式1】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知：抛物线经过、两点，顶点为．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）若点和点在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系． 【答案】（1）；（2）的面积为27；（3）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数的性质． （1）利用交点式得到，然后展开即可求解； （2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到点坐标为，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）由于抛物线的对称轴为直线，开口向下，则根据二次函数的性质可确定与的大小关系． 解：（1）解：设抛物线的解析式为， 所以； （2）解：， 点坐标为， 所以的面积； （3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下， 所以当时，． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （3，0），B （﹣1，0），求抛物线的解析式． 【答案】y＝﹣x2+2x+3 【分析】直接利用交点式写出抛物线解析式． 解：抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1）， 即y＝﹣x2+2x+3． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【题型5】解析式配方转化（必考基础） 解题技巧：按照“提系数、配平方、调常数、做整理”四步走，将一般式标准化为顶点式。 三.题型精析（综合提升） 【题型6】含参数二次函数参数求解 解题技巧：严格依据二次函数定义，联立“自变量最高次数为2”的等式和“二次项系数不为0”的不等式，求解参数并检验。 【例题1】（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 解：是关于的二次函数， ，且， . 【变式2】（2025九年级上·四川眉山·专题练习）若函数的图象是抛物线，则m的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据题意可得函数是二次函数，根据二次函数的定义可得且，即可求解． 解：依题意是二次函数， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． （1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 【题型7】三种解析式综合互化 解题技巧：熟练掌握展开、配方、因式分解三种核心变形方法，实现一般式、顶点式、交点式自由转化，同步推导顶点、对称轴、交点等核心信息。 【例题9】（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 解：（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：由表格知二次函数的图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为，故A正确，不符合题意； ∴当时，，故B正确，不符合题意；     故选：C． 【变式2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的图象过点，． （1）当时，求a的值； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明：根据题意，，， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意当时，将点代入即可得出a的值； （2）首先，把点，分别代入函数，得，，然后，再将代入，得，最后，由，可证得结论． （1）解：∵， ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴， 解得； （2）略 【变式3】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 【题型8】已知最值或对称轴求解析式 解题技巧：函数最值、对称轴条件可直接转化为顶点坐标，优先选用顶点式，简化求解流程。 【例题9】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； （3）根据（2）得出C点坐标为，由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． （1）解：∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为． 故答案为：． （2）将A点坐标代入函数解析式得， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． （3）解：将代入函数解析式得，， ∴C点坐标为， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将代入即可确定出解析式． 解：由题意，可设二次函数的表达式为． 将代入，得， 解得， 二次函数的表达式为． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B．此抛物线对应的函数表达式； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知条件代入求解． 先由对称轴可得，由此可求解b的值；再将点A的坐标代入函数解析式求解c的值即可． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用．根据二次函数的顶点式即可求解． 解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同， ， 则， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象的顶点为，设出二次函数顶点式，代入点求得答案即可． 解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为，由于抛物线过点，则有： ，解得； 因此抛物线的解析式为：． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 5．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解． 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大， ∵， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 故选：D． 6．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 7．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 先利用交点式写出抛物线解析式，再把解析式化为一般式，从而可对选项进行判断；然后把一般式配成顶点式，从而根据二次函数的性质可对B、C、D选项进行判断． 解：抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， 即， ，所以A选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，所以B选项符合题意，C、D选项不符合题意． 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（   ） A．，，2 B．，4，2 C．，4，2 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式．根据该二次函数的图象与轴的一个交点，结合函数图象的对称轴，可得该二次函数的图象与轴的另外一个交点，再将该二次函数的图象与轴的交点，三点代入，解方程组即可． 解：根据函数图象可知， 该二次函数的图象与轴的一个交点， ∵函数图象的对称轴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴的另外一个交点， ∵该二次函数的图象与轴的交点， ∴， 解得：， 故选：A． 9．（23-24九年级上·福建厦门·期末）抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意画出图形，设的长为m，由含30度的直角三角形的性质可得出，，，，把A，C两点代入上求解再化解即可得出答案． 解：根据题意画出图形，设的长为m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵A，C都在抛物线上， ∴ 解得： ①②得： ， 故选：A． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 12．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案． 解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即． 设二次函数解析式为，其中为顶点坐标， 代入，得． 取，得． 故答案为． 13．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再将点的坐标代入，得出函数解析式． 解：轴于点，， ， 将代入， 得， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点代入函数解析式中即可得到答案． 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在正方形中，点B，D的坐标分别是，，点A在抛物线的图象上，则a的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与正方形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确求出点坐标． 连接，过点作轴，轴，垂足分别为，先得到点为正方形的中心，然后证明，求出点坐标，再由待定系数法求解即可． 解：连接，过点作轴，轴，垂足分别为，则 ∵正方形，点B，D的坐标分别是，， ∴关于点对称， ∴点为正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·海南·阶段检测）已知抛物线的对称轴是直线，其图象经过点，求抛物线的函数关系式． 【答案】抛物线的函数关系式为 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式． 由二次函数的图象和性质，结合已知可得，把代入，可得，即可得抛物线的函数关系式． 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 又∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数关系式为． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式． （2）利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，结合函数图象可得到当时，y的取值范围为． （1）解：（1）把分别代入得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴时，y的取值范围为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 【答案】二次函数的表达式为；直线的函数表达式为 【分析】本题考查二次函数的解析式和一次函数的解析式，列出方程组并正确计算是关键． 利用待定系数法，将点坐标代入解析式，并解方程即可． 解：将，，代入抛物线， 得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数图象的平移，掌握平移法则是解题的关键． （1）根据两条抛物线顶点相同，可得，，再求出点A的坐标，代入抛物线解析式求出a值即可； （2）根据“上加下减，左加右减”平移法则求解． 解：（1）解：抛物线的顶点与抛物线的顶点相同， ，， ， 对于，当时， ， 将代入，得：， 解得， 这条抛物线的函数解析式为； （2）解：把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式为： ， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $