25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点梳理 1. 韦达定理（根与系数的关系） 对于一元二次方程 ，当 时，设方程两根为 ，则 特别地，对于简化二次项系数为1的方程 ，有 2. 常用代数式变形（高频考点） 已知是方程两根， 3. 由根构造一元二次方程 若已知两个根 ，则对应的一元二次方程为： 4. 重要易错提醒 · 韦达定理使用前提：方程必须是一元二次方程，即，且（方程有实数根）； · 两根之和是，负号极易漏掉； · 使用前务必确认是一般形式； · 含参数题目，求出参数后必须带回检验判别式。 典型题型 题型1：直接利用韦达定理求两根和、两根积 核心：化为一般式，确定，直接套用。 例1 已知方程的两根为，求，。 举一反三 1. ，两根，求； 1. ，两根，求； 1. ，两根，求； 1. ，两根，求； 1. ，两根，求； 题型2：利用韦达定理求代数式的 思路：把目标代数式变形为只含与的式子整体代入。 例2 设是方程两根，求的值。 举一反三 1. 是方程两根，求； 1. 是方程两根，求； 1. 是方程两根，求； 1. 是方程两根，求； 1. 是方程两根，求； 题型3：已知方程一根，求另一根与参数 思路：两根积/两根和建立等式，求出未知根，再求参数；最后检验判别式。 例3 已知方程一个根是，求另一根和的值。 举一反三 1. 方程一根为，求另一根与的值。 1. 方程一根是，求另一根与的值。 1. 方程一根为，求另一根和的值。 1. 方程一根为，求另一根与的值。 1. 方程一根是，求另一根与的值。 题型4：已知两根构造一元二次方程 思路：，化简得到方程。 例4 已知一元二次方程两根是和，写出这个方程。 举一反三 1. 两根为，写出一元二次方程 ； 1. 两根为，写出一元二次方程 ； 1. 两根为，写出一元二次方程 ； 1. 两根为，写出一元二次方程 ； 1. 两根为，写出一元二次方程 ； 题型5：韦达定理与判别式综合 思路：含参数方程，既要满足韦达关系，又要满足，注意二次项系数不为0。 例5 已知是方程的两个实数根，且，求的值。 举一反三 1. 方程两实根满足，求的值。 1. 方程两根，，求的值。 1. 方程两实根满足，求的值。 1. 方程两实根，满足，求的值。 1. 方程两实根，若，求的值。 课后练习 一、选择题（10道） 1. 方程两根，则等于（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 方程两根，则等于（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 已知方程一根为，两根之和为，则另一根为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 一元二次方程两根是，该方程为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 是两根，则的值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 方程有两个实数根，则取值范围（ ） A. ​ B. 且 C. ​ D. 且 1. 是两根，则（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 若方程两根相等，则的值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 方程两根，下列说法正确的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 是两根，则（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 二、填空题（5道） 1. 方程两根，。 1. 两根，。 1. 已知方程一根是，两根积为，另一根为 。 1. 是两根，则。 1. 若方程两实根满足，则。 三、解答题（5道） 1. 已知是方程的两个实数根，求的值。 1. 已知方程一个根是，求的值以及另一根。 1. 已知一元二次方程两根为和，写出这个一元二次方程（化成整数系数）。 1. 已知是方程的两实数根，求的值。 1. 已知关于的一元二次方程有两个实数根。 （1） 求的取值范围； （2） 若，求的值。 参考答案与详细解析 题型1 例题解析 例1：方程， 举一反三 1. ​ 1. ​ 1. 整理， 1. ​ 1. ， 题型2 例题解析 例2： 举一反三 1. ​ 1. ， 1. ， 1. ， 1. ， 题型3 例题解析 例3：设另一根为，由，； 。另一根，。 举一反三 1. 另一根， 1. 另一根， 1. 另一根， 1. 另一根， 1. 另一根， 题型4 例题解析 例4： 方程：。 举一反三 1. ​ 1. ​ 1. ​ 1. ​ 1. ​ 题型5 例题解析 例5： 条件，化简，无解，不存在满足条件的。 举一反三 1. ，，，解得；检验，均符合。 1. ，检验，。 1. ，，，，或，均满足。 1. ，，检验，。 1. ，检验。 课后练习解析 一、选择题 1. A，。 1. C，。 1. B，。 1. A，。 1. B，，。 1. B，，二次项系数。 1. A，。 1. D，。 1. C，。 1. A，，。 二、填空题 1. ​ 1. ​ 1. ； 1. ； 1. ； 三、解答题 1. 解： 1. 解：设另一根，，。 ，另一根。 1. 解： 1. 解： 1. （1）​ （2）， ，解得；结合，。 学科网（北京）股份有限公司 $