25.2 第4课时一元二次方程的根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

(x+2)(x-2）=0.“(x-号)[2(x-2）-(x 2)】-0.(-3)(x-名)=0，解得1=2x 2.4)(x-102-4(x-10=-4,G-12- 4(x一1)十4=0...(x一1-2)2=0..(x一3)2=0，解得 x1=x2=3. 7.D(x1-2)(x1-x2)=0,.x1-2=0或x1一x2 0.①如果x1一2=0，那么x1=2,将x=2代人x2十(2k十 1)x十k2-2=0,得4+2(2k十1)+k2-2=0,整理，得 k2十4k十4=0，解得k,=k2=一2；②如果x1一x2=0,那 么△=(2k十1)2-4(k2-2)=0,解得k=-2.25.∴.k的 值为-2或一2.25. 8.D2x2-4x=5(2-x),∴.2x(x-2)+5(x-2)= 0.4(-2(2x+5)=0,第得4=2,2=-号AE 的长是一元二次方程2x2一4.x=5(2一x)的一个根，AE> 0,∴.AE=2.∠B=45,AE⊥BE,∴.易得AE=BE= 2.:'AE垂直平分线段BC,∴.BE=CE=2.∴.在Rt△ABE 中，AB=√BE+AE=2√2，BC=BE+CE=4.四边 形ABCD是平行四边形，∴·□ABCD的周长为2(AB十 BC)=8+4√2」 9.2x2-x-1=(x+1)°，∴.x+1≠0，(+1)"=1. .x2-x-1=1..x2-x-2=0..(x+1)(x-2)=0, 解得x,=一1（不合题意，舍去），x2=2. 易错警示 忽略零次幂的底数不能为0而致错 解决含零指数幂的方程时，必须先明确零指数幂的 底数不能为0，再进行方程求解，最后要根据限制条件检 验所有的解，舍去不符合条件的解。 10.5或-3：x2-0m+3)x+2m+2=0,.(x-2)… [x-(n+1)门=0，解得x1=n+1,x2=2.方程x2- (n十3)x十2n十2=0是“一元二次三倍根方程”，∴.分两种 情况讨论：①当3(n+1)=2时，n=一3，@当n十1= 2X3时m=5.综上所述，m的值为5或-子 11.(1)原方程化为x2-23x+3=0,则△=(-23)2一 4×1X3=0,∴.x= 230=3,即x1=x2=5. 2×1 (2)原方程化为(3y-1)2=(y-5)2,.3y-1=y-5或 .3 3y-1=一y十5，解得1=一2，=分·(3》原方程化为 (5x+1)(2x-3)十2(2x-3)=0,∴.(5x+3)(2x-3)=0. 15x十3=0或2x-3=0.解得=-号x:=是 12.32+8y-3y2=0,.(3x-y)(x+3y)=0. 1 3x-y=0或x+3)y=0.x=3y或x=-3y.·当 1 x=3y时，+-3yty x-y 1 =-2：当x=-3y时，十y x一y 33-y -3y+y=1. 1 3y-y2的值为一2或2 x-y 13.x1=4,x2=-1设x2-3x=y,.y2-y-12=0,即 (y-4)(y十3)=0，解得y1=4,y2=-3.当y=4时，x2 3x=4,解得x1=4,x2=-1;当y=一3时，x2-3x=一3， 即x2-3.x+3=0,由△=b2-4ac=(-3)2-4×1×3= 一3<0，可知此方程无实数根.综上所述，方程的解为x,= 4,x2=-1. 14.x=1是方程x3十x2一3x十1=0的一个解，∴.多 项式x3+x2一3x十1的一个因式为x-1.设x3十x2 3x+1=(x-1)(x2+ax-1),∴.x3+x2-3x+1=x3+ ax2-x-x2-ax+1=x3+(a-1)x2+(-a-1)x+1. .1=a-1,-3=-a-1,解得a=2..x3+x2-3x十 1=(x-1)(x2+2x-1). 第4课时一元二次方程的根与系数的关系 1.C由题意，得a+b=1,ab=-6,∴.(a十1)(b+1)= ab+(a+b)+1=-6+1+1=-4. 2.B由题意，得a十B=2,3=-2026,a2-2a-2026= 0,∴.a2=2a+2026.∴.a2+23+a3=2a+2026+23+ (-2026)=2(a+3)=4. 3.B关于x的一元二次方程x2+2x十1-2m=0的 (△=22-4×1×(1-2m)>0, 两个实数根之积为负数，∴. 1-2m0, 解得m>号实数m的取值范园是m>分 4.x2一6x十6=0根据题意，得2×3=c,1十5=一b,解 得b=一6，c=6,∴.正确的一元二次方程为x2一6x十 6=0. 5.4a,b是一元二次方程x2+2x一1=0的两个根， ∴.a2+2a-1=0,a+b=-2.∴.a2-1=-2a,a2= -2a+1原式=-2a+1+2。-2%=-2a十+1-1 2b=-2(a+b)=-2×(一2)=4. 6.(1)关于x的一元二次方程x2-(2m一1)x十m2=0 有两个实数根，∴.△=[-(2m-1)]-4m2=4m2一4m十 1-4m=一4m+1≥0，解得m≤}“实数m的取值范 围是m<（2)由题意.得十=2m-1,x1 m2,∴.(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4=m2 2(2m-1)+4=m2-4m+6..(x1-2)(x2-2)=11, .m2-4m+6=11..m2-4m-5=0,解得m1=5, m=-1.又：m<子4m=-1 7.D设菱形的两条对角线长分别为a,b,则2ab=12, ∴.ab=24.a,b是关于x的一元二次方程x2一10x十 m=0的两个实数根，∴.a十b=10..菱形的边长为 √()'+(2)-√a+)=号a+br-2= 20-2X2i=E. 8.B由题意，得m2-2m-2=0,m1=一2，m十n=2, .m2=2m+2.∴.4m2+8n+2mm+2025=4(2m+ 2)+8n+号m+2025=8m+8+8n+合mm+2025= 1 8(m+)+2mm+2033=8X2+2×(-2)+20332 16-1+2033=2048. 且D5+5二2=0，“2m-5m-1=0.2m2」 5m-1=0,m≠n,.m,n是一元二次方程2x2-5.x-1= 5 ,111_n十m 0的两个根“m十n三2nm三二2：m一m 5 2 =-5. 10.7,a,b是方程x2一3x-1=0的两个根，.a十b= 3,a2-3a-1=0..a2-3a=1..(2a2-6a-1)(3a+ 3b-2)=[2(a2-3a)-1][3(a+b)-2]=(2×1-1)× (3×3-2)=7 11.一1解法一：方程x2一2026x十1=0的两个根分 别为x1,x2,.x1十x2=2026,x7-2026x1+1=0,x2 2025,+=0.Fx2≠0，-2026+1=0.1月 x3-2026.-2026-2026,-2026..x-2026 J2 2026.x1-1+2026x2-20262=2026(x1+x2)-1 2026=20262-1-2026=-1.解法二：方程x2 2026.x+1=0的两个根分别为x1,x2,.x1x2=1,x号一 20261+1=0.·x号-2026x,=-1..x号-2026- x月-20264=x7-2026x,=-1 x1x3 2-号 :x是关于x的一元二次方程x2十 (3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，∴.△=(3a-1)2- 4(2a2-1)=a2-6a+5≥0，x1+x2=1-3a,x1x2=2a2- 1.(3x1-x2)(x1-32)=-80,∴.3x-10x1x2十3a= -80..3(x1+x2)2-16x1x2=-80..3(1-3a)2- 16(2a2-1)=-80,整理，得5a2+18a-99=0..(5a+ 3a-3》=0·a,=-3.a,=3a2-6a十5≥0. ∴.当a=3时，32-6×3+5=-4<0，不合题意，舍去. .a=- 33 13.(1)原方程有两个不相等的实数根，.△=[一(2k一 3)]2一4(k2+1)=4k2一12k+9-4k2-4=-12k+5>0, 解得6< 12 (2) 思路导引 k< 5 x+x22k-3 xx2k2+1>0 x1<0,x2<0 x+x=2xx2-3 代入 x1-x22x1x23 (2k-3)=2(k2+1)-3 求得k的值，并检验 由题意，得x,十，=20-3=2+1.由1).得<是， 4十=2张-3<-片<0又：=发+1>0， ∴.x1<0,x2<0.|x1|+|x2|=2lx1x2|-3,∴.-x1 x2=2x1x2-3..-(x1十x2)=2x1x2-3..-(2k- 3)=2(k2+1)一3，即k2+k一2=0..k1=1,k2=-2.又 ”长是6=-2 14.(1).x2-(m+1)x+3(m-2)=0,.∴.△=[-(m+ 1)]2-4×1X3(m-2)=m2+2m+1-12m+24=m2- 10m十25=(m一5)2..对于任意实数m都有(m一5)2≥ 0,∴△≥0..无论m为何值，方程总有两个实数根 (2)边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2 (m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根，.AB+AC m+1,AB·AC=3(m-2)(m>2..△ABC是以BC为 斜边的直角三角形，∴.BC2=AB2十AC2.∴.AB2十AC2= (AB+AC)2-2AB·AC=(m+1)2-2X3(m-2)= m2-4m十13=25..m=6或m=-2(不合题意，舍去) ∴.当m=6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 15.k>子由题意，得△=[-(2k-3)]2-4(2k-4)= 4k2-20k+25=(2k一5)2≥0，∴.无论k取何实数，方程都 有两个实数根.设该方程的两个根为xx2,则x1十x2 2k一3，x1x2=2k一4.：一根大于3，一根小于3，∴.不妨 设x1>3,x2<3..(x1-3)(x2-3)<0,即x1x2 3(x1+x2)+9<0..2k一4-3(2k一3)+90. 7 .k>2: 16.(1)x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.(2):a≠ b,∴.a2≠b2或a2=b2(a=一b).①当a2≠b2时，令a2= m,b2=n,则2n2-7m十1=0,2n2-7n+1=0,m≠n. .m,n是方程2x2一7x十1=0的两个不相等的实数根， 7 六m十n=2m=2.a4+6=m2+n2=(m+n)2- 2m=华.@当a2=公(a=-b)时，易得a2=6 7±④，此时a+6=2a=2a)2=45±7y 4 .综上所 4 述a'+6的值为9或6+①或5-① 4 (3)令 m=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.>0, -,即a≠b.∴.a,b是方程x2+x-7=0的两 不相等的实数根.a十b=-1,b=一7..1十m2 a2+b2=(a+b)2-2ab=15. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.B设垂钓通道的宽度为xm,则两块垂钓鱼塘可合成 长为(130一3x)m、宽为(60一2x)m的矩形.根据题意，得 (130一3x)(60一2x)=5750,整理，得3x2一220x十 102%=0,部得，罗（不台题意，合去）=5垂的 通道的宽度为5m. 2.C设劳动基地中的道路的宽度为x米由题意，得(34一 2x)(18-x)=480,整理，得x2一35x十66=0，解得x1=2, x2=33(不合题意，舍去).∴.劳动基地中的道路的宽度为 2米 3.2设道路的宽度为x米.根据题意，得(20一x)(12一 x)=180,解得x1=2,x2=30(不合题意，舍去).∴.道路的 宽度为2米. 4.(1)设裁去的小正方形的边长为xcm.由题意，得(32- 2x)(14一2x)=280,解得x1=2,x2=21(不合题意，舍 去).∴.裁去的小正方形的边长为2cm.(2)能.设左侧 的小正方形的边长为ycm根据题意，得(14一2y)· 322y-180,解得1=1，y=22(不合题意，舍去).盒 2 于的体积为180×1=180(cm). 5.B:'四边形ACDB与四边形AENM都是正方形， ∴.AB=BD=2,∠M=∠N=∠B=∠D=90°..EF⊥ CD,∴.∠NFC=∠EFD=90°..四边形EFDB与四边 形MNFC都是矩形.：'正方形ACDB与四边形MNFC 的面积相等，∴.易得正方形AENM与矩形BDFE面积相 等.设AE=x,则BE=2-x.由题意，得x2=2(2-x),整 理，得x2十2x-4=0,解得x1=√5-1，x2=-5一1（不 合题意，舍去).∴.AE的长为5-1. 65-1 2 由题意，得(a十b)2=b(b+a十b),整理，得 a2+ab-b=0,方程两边同时除以b2,得（分）+（号）- 1=0号-5负值含去 2 7.(1)34.由题意，得DG=MN=CH=60cm,AB= AE=BF=EF=GH=CD=x cm,EG=FH,.'.EG= 680-6-3X60=(250-3x)cm..当x=72时，BG= 250-3×72=34(cm).(2)(310-2x).由题意，得AD= IC-680-AB-EF-GH-CD-MN_680-4z-60 2 2 (310-2x)cm.(3)由题意，得x(310-2x)=12000,整 理，得x2-155.x十6000=0，解得x1=75,x2=80.,EG 的高度不小于22cm,即250-3x≥22，∴.x≤76.∴.x2= 80不合题意，舍去.∴.x的值为75.拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第4课时一元二次方程的根与系数的关系 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知a,b是方程x2-x一6=0的两个实数根，则(a十1)(b十1)的值为 () A.6 B.-6 C.-4 D.8 2.已知&，3是一元二次方程x2一2x一2026=0的两个实数根，则aα2+23十a3的值为 ( A.2026 B.4 C.2024 D.0 3.若关于x的一元二次方程x2+2x+1一2m=0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范 围是 () A.m>0 Bm号 Cm< D.m<0 4.解一元二次方程x2十bx十c=0时，小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看 错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.正确的一元二次方程为 5已知a,b是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，则a2+2a a2726= 6.已知关于x的一元二次方程x2一(2m一1)x十m2=0有两个实数根 (1)求实数m的取值范围. (2)若一元二次方程的两个根为x1,x2,且满足(x1一2)(x2一2)=11，求实数m的值. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2一10x十m=0的两个实数根，且其 面积为12，则该菱形的边长为 () A.23 B.2√/13 C.2√6 D.√/13 已知m,n是关于x的方程x2-2x-2=0的两个根，则4m2+8m十7n+2025的值为℃ A.2016 B.2048 C.2050 D.2056 9.已知2m2-6m-1=0,2+员-2=0，且mn则品+}的值为 n A号 C.5 D.-5 10.已知a,b是方程x2-3x一1=0的两个根，则(2a2-6a-1)(3a十3b一2)的值为 1.一题多解已知方程x2-2026x十1=0的两个根分别为1，x2,则x202的值为 10 第二十五章一元二次方程 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2十(3a一1)x+2a2-1=0的两个实数根，且(3.x1一x2)· (x1一3x2)=一80，则实数a的值为 13.已知关于x的方程x2一(2k一3)x十k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围. (2)若x1,x2满足|x1|+x2=2x1x2|一3，求k的值. 14.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2一(m+ 1)x+3(m一2)=0的两个实数根， (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根， (2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维。 15.若方程x2一(2k一3)x十2k一4=0有两个实数根，其中一根大于3、一根小于3，则k的取值范 围是 16.新考向阅读理解题阅读材料，解决问题. 材料1：解方程(x2)2一13x2+36=0时，若把x2看成一个整体，设y=x2,则原方程可化为 y2-13y十36=0，经过运算，原方程的解为x1=2,x2=一2，x3=3,x4=一3.我们把以上这种解 决问题的方法叫作换元法 材料2：已知实数m,n满足m2一m一1=0，n一n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2一x 1=0的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系，可知m十n=1,m=一1. (1)直接应用：方程x4一5.x2+6=0的解为 (2)分类讨论思想间接应用：已知实数a,b满足2a4一7a2+1=0,2b4-7b2十1=0，且a≠b,求 a4十b4的值. (3》拓展应用：已知实数m,0清足动十记=-”=7，且>0，水十的直 “答案与解析”见P5