精品解析：天津市南开区美达菲学校2025-2026学年九年级上学期 第二次月考数学试卷（期末模拟1）

2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟1 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中必然发生的事件是（ ） A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C. 100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D. 经过任意三点一定可以画一个圆 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，随增大而减小 C. 若在该函数图象上，则 D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 5. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 某农场每个月都会收获一批南瓜，随着天气转暖，产量逐月增加．4月份的产量是，第二季度的总产量是，若设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 3 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点； （3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 12. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 14. 如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于______． 15. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 16. 如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则___________． 17. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆过格点A，B，C． （1）的面积等于______； （2）若点E，F为格点，且满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切线，并简要说明的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 三、解答题（共66分） 19. 在4张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于1的概率是多少？ （2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，请用列表法或画树状图法，求点在第三象限的概率． 20. 已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． （1）______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； （2）判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． （3）当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． （4），，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 21. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 22. 在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． （1）如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； （2）如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 23. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 24. 将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在轴正半轴上，连接． （1）填空：如图①，的长为_____________，的度数是_________________； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别是，设，与重合部分面积为． ①如图②，的边分别与相交于点，即与重合部分为时，请用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； （2）点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期末模拟1 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中必然发生的事件是（ ） A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C. 100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D. 经过任意三点一定可以画一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念；关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意； C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意； D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，随增大而减小 C. 若在该函数图象上，则 D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 5. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 6. 一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象可知，随的增大而减小，可得，一次函数的图象与轴的交点为，可得，据此可判断一次函数与反比例函数的图象． 【详解】根据一次函数的图象可知，随的增大而减小，可得 ． 一次函数的图象与轴的交点为，可得 ． 则在一次函数的图象中，随的增大而减小，一次函数的图象与轴的交点为，位于原点下方． 则反比例函数的图象中，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 7. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：D． 8. 某农场每个月都会收获一批南瓜，随着天气转暖，产量逐月增加．4月份的产量是，第二季度的总产量是，若设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．据此即可得出五月和六月的产量，再根据总产量等于三个月产量之和，即可列出方程． 【详解】解：设5，6两个月的月平均增长率为x， 则可以列出方程， 故选：C． 9. 如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 11. 如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点； （3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明判断即可； 【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点， ∴， ∴， ∴BD平分∠ABC，故①正确； 连接DC，AC， ∵OD垂直平分AC， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴BC∥OD，故②正确； ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴CE＝OE，故③正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 14. 如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，轴对称的性质．设点，则， 连接，由点B与点A关于y轴对称得到，从而，因此，再根据点在函数的图象上可得． 【详解】解：设点， ∴， 连接， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：7． 17. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴， ∵为圆心，半径为2， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为；． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆过格点A，B，C． （1）的面积等于______； （2）若点E，F为格点，且满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切线，并简要说明的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 【答案】（1） （2） 如图，在以为对角线的矩形内确定两对角线的交点S，连接并延长交格点R；在正上方取两个小正方形，并确定其中心分别为,作直线交于O，O即为圆心；然后确定格点，连接，则即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、圆的切线的定义、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所需知识成为解题的关键． （1）根据方格可以确定三角形的底和高，然后根据三角形的面积公式计算即可解答； （2）先确定圆心，然后再根据相似三角形和正切的定义、切线的定义即可解答． 【小问1详解】 解：如图：的面积为： 【小问2详解】 证明：由图可知：,即， ∵S为矩形的对角线的交点， ∴， ∴ ∴垂直平分， 由作图可知：垂直平分， ∴直线交的交点O为圆心， 设交、于M，N， ∴， ∴， ∴， 在中，， 取格点，形成,， ∴， ∵， ∴，即, ∴为圆O的切线． 三、解答题（共66分） 19. 在4张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于1的概率是多少？ （2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，请用列表法或画树状图法，求点在第三象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）通过列表展示所有12种等可能情况，利用第三象限的点的坐标特点得到点在第三象限的结果数，然后根据概率公式求解； 本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法展示所有可能的结果是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴只有 ∴绝对值不大于1的概率是． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能情况，其中在第三象限的点有，共2个． 所以点在第三象限的概率． 20. 已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． （1）______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； （2）判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． （3）当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． （4），，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 【答案】（1）；二、四 （2）A，C （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，比较反比例函数值大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将代入即可求出；然后得到反比例函数，根据即可得到该反比例函数的图象在第二、四象限； （2）分别将点A，B，C的横坐标代入求解判断即可； （3）分别求出时和时的函数值，然后根据增减性求解即可； （4）首先判断出点D，E在第二象限，点F在第四象限，然后根据该反比例函数的图象在第二、四象限和增减性求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得； ∴反比例函数， ∵， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限； 【小问2详解】 解：将代入， ∴点在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点不在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点在该反比例函数的图象； ∴在该反比例函数的图象上的点是A，C； 【小问3详解】 解：∵该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，； ∴该反比例函数的函数值的取值范围为； 【小问4详解】 解：∵，，在反比例函数图象上，且， ∴点D，E在第二象限， ∵， 又∵该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴点F在第四象限， ∴， ∴． 21. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，利用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ， ∴，， ∴，， ∴的面积． 22. 在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． （1）如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； （2）如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求解； （2）连接，根据切线的性质可得，根据，可得，再证得为等边三角形，可得，结合，可得，然后在中，利用勾股定理解得即可． 【小问1详解】 解：在中，弦于点E， ， ∴， ， ， 是的直径， ∴， ； ， ， 又弦于点E，即， ． 【小问2详解】 解：连接， 直线切于点D， ，即， ， ， ， 同（1）得， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【答案】（1）；； （2）10m （3）168000元 【解析】 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m， ∴花卉A的面积为：， 花卉B的面积为：， 花卉C的面积为：， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元， ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴， ∴， 解方程得（舍去）或， ∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等； 【小问3详解】 解：∵花卉A与B的种植面积之和为：， ∴， ∴， ∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y随x的增加而减小， ∴当时，y最大，且（百元）， 故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式． 24. 将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在轴正半轴上，连接． （1）填空：如图①，的长为_____________，的度数是_________________； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别是，设，与重合部分面积为． ①如图②，的边分别与相交于点，即与重合部分为时，请用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得答案，再根据，可得； （2）①过点作于，则，可得，设，由，得，，根据，即，，当点C与点E重合时，即，解得，得； ②第一种情况，当时，过点作轴于，连接，可得点D此时刚好在上，；第二种情况，当时，设与，分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则，由题设可得，直线的关系式为，易得，由，得，，即，即当时，；第三种情况，由（2）①得，当时，，随的增大而增大，即当时，，综上所述，的取值范围为． 【小问1详解】 解：点，点， ，, 在中，， 由旋转性质，可得， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图所示，点，点， ，, 在中，， 由旋转性质，可得，， ， ， ， ， 过点作于，则， ， ， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 即， ， ； 当点C与点E重合时，即，则，解得， ； ②第一种情况，如图3-1所示，当时，过点作轴于，连接， ， ， 由旋转的性质可得， ， ，， ， 在中，， 点D此时刚好在上， ； 第二种情况，如图3-2所示， 当时，设与，分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则， 设直线关系式为，则， 解得， 直线的关系式为， 在中，当时，则，解得， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即当时，； 第三种情况，由（2）①得，当时，，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 即当时，； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合问题，考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、平面直角坐标系内的动点问题、旋转的性质等，熟练掌握以上知识点能够分情况讨论并画出图形是解题的关键． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； （2）点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据的值，求出的值，待定系数法求出函数解析式，进而求出点P和点B的坐标即可；②求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点E为，F为，分别求出，将转化为二次函数求最值即可； （2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接，证明，得到点M在直线上运动，证明，得到，进而得到则的最小值即是的最小值，作点G关于直线的对称点，得到当P，M、三点共线时，的值最小，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ， 则抛物线的解析式为， 把代入上式得， ， 则点P的坐标为． 令，解得，， 点B的坐标为． ②， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 直线的解析式为 设点D的坐标为，则点E为，F为， 则，， ， ， ，则， ∴当时，取最大值， 故当取最大值时，点D的横坐标为． 【小问2详解】 作轴于点H，轴于点N，取点，连接． ，， ， ，， ； ，， ． 点M在直线上运动， ，，， ， ， 则的最小值即是的最小值． 作点G关于直线的对称点． 当P，M、三点共线时，的值最小． 即 ， 顶点P为， 则，解得，（舍）， 则． 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线解析式为，令，则， ， ． 综上：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $