1.3空间向量及其运算的坐标表示章节练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《1.3 空间向量及其运算的坐标表示》章节练习卷 （满分100分，考试时间45分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4. 本试卷考查内容：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章第1.3节《空间向量及其运算的坐标表示》（空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示）。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在空间直角坐标系中，点 P(1,−2,3) 关于 yOz 平面的对称点坐标为（　　） A. (−1,−2,3)　　B. (1,2,3)　　C. (1,−2,−3)　　D. (−1,2,3) 2. 已知向量 a=(1,2,−1)，b=(−1,0,3)，则 2a＋b 的坐标为（　　） A. (1,4,1)　　B. (2,4,1)　　C. (0,4,−1)　　D. (1,2,2) 3. 已知向量 a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，则 cos⟨a,b⟩＝（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 1 4. 已知向量 a=(2,−1,3)，b=(1,m,−1)，且 a⊥b，则 m＝（　　） A. 1　　B. −1　　C. 5　　D. −5 5. 已知向量 a=(1,λ,2)，b=(2,−2,−4)，且 a∥b，则 λ＝（　　） A. 1　　B. −1　　C. 2　　D. −2 6. 已知向量 a=(1,0,1)，b=(0,1,−1)，则 |a−2b|＝（　　） A. 2　　B. 　　C. 4　　D. 7. 已知空间两点 A(1,1,2)、B(3,−1,4)，则 |AB|＝（　　） A. 2　　B. 2　　C. 3　　D. 8. 如图1，正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，以 D 为原点，DA、DC、DD₁ 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，E 为 A₁C₁ 的中点，则 cos⟨AE, AC₁⟩＝（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 图1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 9. 已知向量 a=(2,1,−1)，b=(1,−2,1)，则 a·b＝____。 10. 与向量 a=(1,−1,2) 方向相同的单位向量为____。 11. 已知向量 a=(1,2,3)，b=(m,−2,4)，若 a⊥b，则 m＝____。 12. 已知向量 a=(2,−1,1)，b=(1,3,−2)，则 a 在 b 方向上的投影数量为____。 三、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11. （本小题满分20分） 如图2，正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，E、F 分别为 A₁D₁、BC₁ 的中点，以 D 为原点，DA、DC、DD₁ 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 （1）求点 E、F 的坐标，并求向量 EF 的坐标；（6分） （2）求 |EF|；（6分） （3）求 cos⟨EF, DB₁⟩。（8分） 图2 12. （本小题满分20分） 已知向量 a=(1,0,1)，b=(0,1,−1)。 （1）求 2a−3b 的坐标及 |2a−3b|；（6分） （2）求 cos⟨a,b⟩；（6分） （3）求与 a、b 都垂直的单位向量。（8分） 参考答案与评分标准 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. A　　2. A　　3. A　　4. B　　5. B　　6. B　　7. A　　8. A 二、填空题（每小题5分，共20分） 9. −1 10. (, −, ) 11. −8 12. − 11. （20分）解：（1）A₁(2,0,2)，D₁(0,0,2)，E 为 A₁D₁ 中点，故 E(1,0,2)；B(2,2,0)，C₁(0,2,2)，F 为 BC₁ 中点，故 F(1,2,1)。　　（3分）EF=F−E=(0,2,−1)。　　（6分） （2）|EF|＝。　　（6分） （3）B₁(2,2,2)，DB₁=(2,2,2)，EF·DB₁=0+4−2=2，|DB₁|＝2，　　（4分）故 cos⟨EF, DB₁⟩＝2/(·2)＝1/＝。　　（8分） 12. （20分）解：（1）2a−3b=(2,0,2)−(0,3,−3)=(2,−3,5)，　　（3分）|2a−3b|＝。　　（6分） （2）a·b=−1，|a|＝，|b|＝，故 cos⟨a,b⟩＝−1/2。　　（6分） （3）设 n=(x,y,z)，由 n⊥a、n⊥b 得 x＋z=0，y−z=0，　　（2分）取 x=1，得 n=(1,−1,−1)，|n|＝，　　（4分）所求单位向量为 (1/)(1,−1,−1)，即 (, −, −) 或 (−, , )。　　（8分） 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查内容 难度 1 单选题 5 空间点的对称坐标（关于坐标平面） 基础 2 单选题 5 空间向量线性运算的坐标表示 基础 3 单选题 5 向量夹角余弦的坐标公式 基础 4 单选题 5 垂直的坐标判定（点积为0）求参数 中档 5 单选题 5 平行的坐标判定（成比例）求参数 中档 6 单选题 5 向量线性运算与模长的坐标计算 中档 7 单选题 5 空间两点间距离公式 基础 8 单选题 5 建系求夹角余弦（中点） 较难 9 填空题 5 空间向量数量积的坐标计算 基础 10 填空题 5 与向量同方向的单位向量 中档 11 填空题 5 垂直条件求参数 中档 12 填空题 5 向量在另一向量方向上的投影数量 较难 11 解答题 20 建系、中点坐标、模长、夹角余弦 中档 12 解答题 20 线性运算、夹角、与两向量垂直的单位向量 较难 难度配比（按分值统计）：基础题25分（约占25%），中档题45分（约占45%），较难题30分（约占30%）。 命题说明：本卷按云南高中课时练习卷体例命制（满分100分、考试时间45分钟，单选题8题＋填空题4题＋解答题2题），应要求不含多项选择题；教材目录原文（电子课本网人教A版选择性必修第一册目录）为「1.3 空间向量及其运算的坐标表示」，与用户所写「1.3空间向量及坐标运算」同指本小节，卷名按教材目录原文书写；考查范围与教材第1.3节完全对应（空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示：加减、数乘、数量积、模长、夹角、平行垂直判定、两点间距离），不含1.4节空间向量的应用；本套为全新命制的章节练习卷，坐标数值、建系顶点、中点位置与设问均为原创变式，取材2024—2026年高考立体几何与空间向量坐标运算真题方向（2026全国一卷、2026天津卷、2025年高考数学分类汇编、2024—2025真题分类汇编），不与学科网原题重复；分数与根号使用Word原生数学公式（规范横式分数线，根式√2、√3、√5、√6、√14、√15、√38等），图形均为含X/Y/Z轴标清的建系配图，向量箭头清晰、与题目位置匹配。 1 学科网（北京）股份有限公司 $