第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（基础）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么 （    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】由两空间向量共线求出，再由向量模的坐标公式计算即可. 【详解】因为 ，，且， e则存在，满足，即 也即，解得， 则 ，故. 3．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 4．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 5．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 7．（2027高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点D，则平面与平面所成的二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，设平面和平面的法向量分别为， 则，，取，得， 因此，由图知平面与平面所成的二面角为钝角 所以平面与平面所成的二面角的余弦值为. 8．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知空间向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由 得 解出 ，再逐项计算验证即可. 【详解】对于A，因 ，则 ，解得 ，故A 正确； 对于B，由上分析，得， ，故 B 正确； 对于C，，故 C 正确； 对于D，因，， 则，故 D 错误. 10．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 选项A：根据空间向量加法的法则，， 在平行六面体中，，， 所以 ，A正确； 选项B：因为为 的中点，所以 ，又 ， 所以 ，B正确； 选项C：， 因为 为 的中点，所以 ， 又 ，，所以 ， 这与选项中的 不符，C错误； 选项D：， 因为 ，。， 所以 ， 这与选项中的 不符，D错误. 11．（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到直线的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的特征建立如图所示的空间直角坐标系，利用距离公式可求各选项中距离，故可得正确的选项. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 则，. 又，故. 对于A，，， 故点到直线的距离为，故A正确. 对于B，，， 故点到直线的距离为， 故B错误. 对于C，，，故， 而不共线，故， 因平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面， 故平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故C正确. 对于D，，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 13．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】/ 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面的夹角，计算得结论． 【详解】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 因此是平面的一个法向量． 若与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 16．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 17．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)连接，过作于， 在等腰梯形中，，，，， 因为故， 又， 在直角三角形中，， 在中， 且，故 取的中点，连接，因为为等边三角形，故， 又平面平面，交线为，故平面，则， 因为，，且，又平面， 故平面. (2) 【分析】（1）作高，用勾股定理证；由面面垂直得底面，再用线面垂直判定定理证平面； （2）以中点建系，求平面与底面法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）以中点为原点，为轴，取中点，由且，可知，以为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又，则 又为等边三角形，边长为，故则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 设平面的法向量为，则， 取，得 设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值为. 18．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 【答案】(1)因为平面，且平面， 所以又已知因此两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 又，故 由，，，故平面， 故平面法向量可取， 平面中，， 设平面的法向量为，则， 由第一式得，代入第二式得，取，则，所以 因为所以平面平面. (2) 【分析】（1）由底面得，结合建系；求两平面法向量，由法向量数量积为证面面垂直； （2）设分的比例，用参数表示坐标；求平面与底面法向量，由二面角为列方程解参数，再求比值. 【详解】（1）略 （2）设在棱上，令 则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，故 二面角的大小为，所以 而 因此 两边平方：即 展开整理：， 解得因为，所以 于是故. 19．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）方法一：以中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法三，利用等体积法求解点到平面的距离，进而确定的位置，后续求解与方法一相同. 【详解】（1）略 （2）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法三）设点到平面的距离为， ， 利用等积法可得故， 又，则，， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么 （    ） A． B．6 C． D．12 3．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 7．（2027高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点D，则平面与平面所成的二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知空间向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到直线的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 13．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为__________. 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 16．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 17．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 19．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $