精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

哈六中2026–2027学年度上学期高三学年第二次质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷58分，第II卷92分，共150分． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. B. -1 C. 1 D. 2 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 当时，函数的最小值是 B. 函数的图象恒过定点 C. 若幂函数是偶函数，则 D. 函数的单调递减区间是 6. 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，有4个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的一个对称中心为 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 10. 等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是　　 A. B. C. D. 使成立的最小自然数等于2021 11. 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________； 13. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________． 14. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5道题，共77分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）若且，求的值． 16. 等差数列的前项和为，且，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）已知数列满足，求数列的前项和． 17. 在中，角的对边分别是，若，且． （1）求角； （2）求边； （3）若点为中点，且，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）数列满足，求数列的前99项的和的值． 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2026–2027学年度上学期高三学年第二次质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷58分，第II卷92分，共150分． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合集合交集运算求解即可. 【详解】，解得， 所以集合， 所以. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的除法运算求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 3. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行列出关于和的关系式，进而求得两者的数量关系及符号特征，从而求出代数式的值. 【详解】因为，所以，故， 因为，所以，， ， 所以. 4. 设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） A. B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 当时，函数的最小值是 B. 函数的图象恒过定点 C. 若幂函数是偶函数，则 D. 函数的单调递减区间是 【答案】C 【解析】 【分析】选项A可利用基本不等式进行判断，注意取等号的条件；选项B注意；选项C先由幂函数的定义确定系数为，再利用偶函数排除一个根；选项D注意函数定义域. 【详解】对于选项A，当时，， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 因此，当时无法取得最小值，选项A错误. 对于选项B，当时，函数，故其图象应经过，选项B错误. 对于选项C，因为函数是幂函数， 所以，解得或， 若，则，是奇函数，不符合偶函数条件； 若，则，是偶函数，因此，选项C正确. 对于选项D，设，，则， 函数在上单调递增， 函数时，，二次函数图象的对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减 因此在上单调递增，上单调递减，选项D错误. 6. 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得： ， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则，​ 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 7. 若函数，有4个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得出，根据题意结合正弦函数的性质可得出关于的不等式，由此得解. 【详解】，又，， 因为函数在有4个零点， 所以，解得， 所以正实数的取值范围为. 8. 已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，令，可得，可得是等比数列，求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由对任意正整数恒成立， 令，得，又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即； ， 所以的前30项和为. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的一个对称中心为 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意和正弦函数的周期性求解参数判断A，结合图象和求出，再代入判断B，先求出，再利用余弦函数的性质得到其为偶函数判断C，利用函数伸缩的性质判断D即可. 【详解】对于A，由图象可得，故， 可得，解得，故A错误； 对于B，由已知得，而， 故，，解得，， 而，可得，故， 则，故B错误； 对于C，由题意得， 由余弦函数性质得是偶函数，故C正确； 对于D，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故D错误. 故选：ABD. 10. 等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是　　 A. B. C. D. 使成立的最小自然数等于2021 【答案】AD 【解析】 【分析】根据．再结合；，易分析出则，，即可判断A、B、C选项．易知；，从而可判断D选项． 【详解】解：由．得或，又，，则，，所以，故A正确． 由，又，所以，故B错误． 由、，，可知当时，；当时，，所以的最大值，故C错误． 因为；，所以使成立的最小自然数等于2021，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出相应的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可求出的范围. 【详解】A、B、C：由题意可得的定义域为， 对于函数，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， 所以在内单调递增，在，内单调递减，故A正确； 当时，，当时，，则， 作出相应图象，如下图， 当方程有个实根时， 所以或，即或，故B错误； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， 因为，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， 当即时，的图象在上方的正整数解为，故C正确； D：设切点为，则切线斜率， 切线方程为， 因为切线过点，所以， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有两个不同的非零实根， 所以且，即且， 解得或或，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________； 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 即，由已知得， 所以向量在向量上的投影向量为 . 13. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解. 【详解】依题意，，得， 设外接圆的半径为，所以外接圆的面积为. 故答案为： 14. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果. 【详解】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有解得. 若不等式有解，所以 因为 . 设， ，故在上单调递增，故， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题. 四、解答题（本题共5道题，共77分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）若且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简，即可利用正弦函数的性质求解， （2）根据和差角公式即可求解. 【小问1详解】 ，           ∵，∴，                                ∴，∴的值域为； 【小问2详解】 ∵，   ∵，∴， ∴，                                                ∴. 16. 等差数列的前项和为，且，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2），所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，即可由通项公式求解， （2）根据等比数列的定义即可求证， （3）利用分组求和，结合等比等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得，，解得， 故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 所以，所以．可得， 所以 17. 在中，角的对边分别是，若，且． （1）求角； （2）求边； （3）若点为中点，且，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由等式及三角函数值求得； （2）代入，由余弦定理整理等式，然后求得； （3）由余弦定理得关于的方程，然后由向量再得到关于的方程，联立方程组求得，由三角形面积的关系求得长. 【小问1详解】 因为，所以， 又，故，，则； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理及正弦定理得， 所以，解得； 【小问3详解】 由余弦定理得， 即有①；设为的中点，即，如图， 又因为，所以，即②， 由①，②得，， 所以，所以， 因为为的平分线，所以， 则，即. 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）数列满足，求数列的前99项的和的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数列的前项和求出； （2）利用错位相减求得数列的前项和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加求和. 【小问1详解】 由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，符合上式，所以对任意的正整数n都有： 【小问2详解】 ， 两式相减得： 整理得： 【小问3详解】 ， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值； （2）原不等式可化为，当时，不等式恒成立，当时，先证明在上单调递增，求出，分和两种情况分别讨论，即可求出答案； （3）由（1）知，当时，，利用放缩得到，代入再通过不等式累加即可证明. 【小问1详解】 由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $