精品解析：黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2026-2027学年高三上学期第三次检测数学试题

高三数学第三次检测卷 一、单选题（共8个小题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 所以． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 3. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 因为，所以， 所以 5. 若，，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的包含关系及条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 从而． 由条件概率公式，. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】构造表示正面向上次数的二项分布随机变量，建立总得分与该变量的线性关系，结合期望的线性运算性质求解. 【详解】设为4次抛掷中正面向上的次数，由题意得，所以， 设总得分为，则， 所以 . 7. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解. 【详解】，故， 由于的周期均为， 因此也是以3为周期， 由于， 因此. 8. 若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数 的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令,所以由可得, 设,,当时, ,所以函数单调递减, 当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, ，因此函数的图象如下图所示： 要想关于的方程有三个不等的实数解,且, 结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且, , , . 故选B. 【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题. 二、多选题（共3个小题，每题5分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，所以A正确； B选项：可知，因为，解得，可得， 函数图像过点，则，可得， 因为，所以，可得，所以B错误； C选项：函数单调递减区间为， 解得，所以C正确； D选项：函数的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70百分位数是7 B. 数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数为17，方差为18 C. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据 ，其中 ，设，变换后的经验回归方程为 ，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，故第百分位数为，故A错误； 对于B，根据平均数的性质可得的平均数为， 根据方差的性质可得的方差为，故B正确； 对于C，当时，预测值为，残差为，故C错误； 对于D，因为 ，故，故， 则，即，故.故D正确. 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为边长为4的等边三角形，则的最小值为 C. 若点为的垂心，且，则 D. 若，则点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正余弦定理判断即可；对于B，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示，进而求最值即可；对于C，根据向量数量积运算律，结合已知条件及向量夹角的计算公式求解即可；对于D，根据向量的数量积，结合垂直关系的向量表示判断即可． 【详解】对于A，由正弦定理和，得， 由余弦定理，可得， 因为，所以，则为钝角三角形，故A正确； 对于B，如图1，构建以中点为原点的直角坐标系，则， 设，所以，， 由，则， 当，时，的最小值为，故B正确； 对于C，如图2，因为为垂心，故，故，即， 所以，同理可得， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， 故C错误； 对于D，如图3所示，设中点为，则， 所以， 则， 所以，即，所以， 故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D正确． 三、填空题 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，. . 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则，，的大小关系是_________．（从小到大顺序） 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数的对称性得到，再根据对数函数和指数函数的性质得到，再根据偶函数的对称性得到在的单调性，进而即可得到答案． 【详解】由是定义在上的偶函数，即， 则， 又在上是增函数，则， 又在上是减函数，则， 则， 又在上是减函数，则在上是增函数， 所以，即． 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项相邻（即）的概率，最后即可根据期望的定义计算． 【详解】二项式的通项公式为， 显然该二项式展开共有项，且当时，即第项系数为负数， 所以存在系数为负数的项相邻的排列数为, 又排列总数为，所以， 因此． 四、解答题（写出必要步骤文字说明） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和已知条件可求得，进而确定角的大小；（2）利用余弦定理和基本不等式确定的最大值，再利用面积公式求得最大值 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又因为，所以，则， 因为是三角形的一个内角，所以， 因此. 【小问2详解】 由余弦定理得，，即， 由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立， 的面积，当且仅当时等号成立， 因此面积的最大值为 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，证明：当时，． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2） 因为在处取得极值，所以， 所以， 令， 则， 因为，所以，函数单调递增， 所以，所以， 【解析】 【分析】（1）求导，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）利用极值点求出的值，令，求导进行证明； 【小问1详解】 ， 令，因为恒成立，所以或， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 17. 已知函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原式中替换为得到新的等式，联立两个等式构成关于和的方程组，通过消元法求解； （2）通过的解析式求出的表达式，通过换元将转化为二次函数，结合二次函数单调性求出给定区间上的值域. 【小问1详解】 由，，得，解得； 即的解析式为. 【小问2详解】 由，，得. . 当时，，则. 令，则. . 二次函数开口向上，对称轴为，在上单调递减； 当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； ，则在上的值域为. 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） 因为， 所以， 又，所以，那么， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2） （3） 由， 则， 故． 所以， 假设数列中存在不同的三项构成等差数列， 则，即，两边同时乘以得到， 因为，所以，，故上述等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立． 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【解析】 【分析】（1）通过变形给定的递推公式，构造出目标数列相邻两项的比值为常数，从而证明其为等比数列； （2）将第一问得出的等式两边同除以构造出等差数列，进而推导出的通项公式； （3）运用裂项相消法求出及的表达式后，采用反证法并利用整数方程两边的奇偶性矛盾来完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以，得， 设，则，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，故． 【小问3详解】 略 19. 在概率统计中，常常用频率估计概率. 已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球 次，白球出现 次. 假设每次摸出白球的概率为 ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率 的估计值为 . （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多. 有放回地随机摸取 3 个球，设摸出的球为白球的次数为 ，则 . (注: 表示当每次摸出白球的概率为 时，摸出白球次数为 的概率) （i）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ii）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的 ，作为 的估计值，记为 ，请写出 的值. （2）把(1)中“使得 取值达到最大时的 作为 的估计值 ”的思想称为最大似然原理. 基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计. 具体步骤: 先对参数 构建对数似然函数 l，再对其关于参数 求导，得到似然方程，最后求解参数 的估计值. 已知的参数 的对数似然函数为，其中求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 【答案】（1）（i） 0 1 2 3 （ii）当 时，，当 时， . （2）由， 则， 令 ， 即 ， 故，即当 时， ， 当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 故当 时，即 时，对数似然函数取得最大值. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项分布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【小问1详解】 因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且， 所以的值为或， （ⅰ）当时，，， ，， 当时，， ，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第三次检测卷 一、单选题（共8个小题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 若，，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.9 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3个小题，每题5分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 10. 下列选项正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70百分位数是7 B. 数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数为17，方差为18 C. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据 ，其中 ，设，变换后的经验回归方程为 ，则 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为边长为4的等边三角形，则的最小值为 C. 若点为的垂心，且，则 D. 若，则点的轨迹经过的外心 三、填空题 12. 已知，则__________． 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则，，的大小关系是_________．（从小到大顺序） 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 四、解答题（写出必要步骤文字说明） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，证明：当时，． 17. 已知函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若，求在上的值域． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 在概率统计中，常常用频率估计概率. 已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球 次，白球出现 次. 假设每次摸出白球的概率为 ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率 的估计值为 . （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多. 有放回地随机摸取 3 个球，设摸出的球为白球的次数为 ，则 . (注: 表示当每次摸出白球的概率为 时，摸出白球次数为 的概率) （i）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ii）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的 ，作为 的估计值，记为 ，请写出 的值. （2）把(1)中“使得 取值达到最大时的 作为 的估计值 ”的思想称为最大似然原理. 基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计. 具体步骤: 先对参数 构建对数似然函数 l，再对其关于参数 求导，得到似然方程，最后求解参数 的估计值. 已知的参数 的对数似然函数为，其中求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $