精品解析：上海市蒙山中学2026-2027学年八年级数学第一学期10月学情自测试卷

八年级数学第一学期第一次冲浪 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断． 【详解】A、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； B、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； C、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误； D、正确． 故选D． 【点睛】此题考查二次根式的意义和性质．解题关键在于掌握式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，把不能化简的选出即可． 【详解】A． ，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B． ，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C． ，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D． 无法化简，是最简二次根式． 故选：D 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于化简二次根式． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 3是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的立方根为 D. 在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 4. 若，，，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 5. 下列各式中互为有理化因式的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 6. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. ﹣2的倒数是_____． 【答案】﹣2﹣## 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【详解】解：﹣2的倒数是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义，分母有理化，掌握分母有理化是解题的关键． 8. 在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 9. 若有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不为0． 【详解】解：有意义， ，且， ， 10. 比较大小：______． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 11. 维生素D对骨骼的生长有着非常重要的作用，我国营养学会建议青少年每天维生素D的摄入量为0.000012克，将数据0.000012用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，解题关键是确定和的值． 【详解】解：左边第一个不为零的数字为，它前面有个，且满足， 因此． 12. 若、满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 13. 把的根号外的因式移到根号内等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件确定的符号，再将根号外的因式变形后移入根号，化简即可得． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为， ∴， ∴， ∴ ． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则=______． 【答案】－b 【解析】 【详解】解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且＞，∴a﹣b＜0， 则原式=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b， 15. 将化成分数：________． 【答案】 【解析】 【分析】通过设未知数表示循环小数，根据循环节位数扩倍，消去循环部分后解方程，最后约分得到分数结果． 【详解】解：设，可得， ∵循环节有位， ∴等式两边同时乘以，得， 用减去，得：， 整理得， 解得． 16. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的性质，根据立方根的性质，被开方数的小数点每向右移动三位，立方根小数点就向右移动一位，由此计算即可得解，熟练掌握立方根的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17. 对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25##25或9 【解析】 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的计算推出，即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 三、简答题 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 计算. 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再进行加减计算. 【详解】解：原式= 【点睛】本题考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键. 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案. 【详解】 =4a÷a· =4· = 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 23. 解不等式： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 24. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） 的值为6，的值为6 （2） 【解析】 【分析】(1)根据平方根与立方根的定义分别列出关于的方程，解方程即可； (2)把(1)中求得的值代入，再求算术平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， ∵的立方根是3， ∴，解得， ∴的值为6，的值为6； 【小问2详解】 解：由(1)知， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 25. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 26. 【阅读材料】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示，请解答下列问题： 【理解应用】 （1）若的整数部分是a，小数部分是b，求a和b的值； （2）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值； （3）若，其中x为整数部分，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）估算的取值范围，确定其整数部分，进而得到小数部分． （2）估算的取值范围，推导的整数部分与小数部分，代入代数式计算． （3）估算的取值范围，推导的整数部分与小数部分，代入计算的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵x为整数部分，且， ∴，， ∴． 27. 综合与实践 一、教材理解： （1）如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； （2）如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： （3）如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； （4）若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【答案】（1）； （2）点；； （3）， （4）； 【解析】 【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【小问1详解】 解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； 【小问2详解】 解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； 【小问3详解】 ∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： 【小问4详解】 解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 28. 著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当时，化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据，计算求解即可； 【小问1详解】 解： ． ； 【小问2详解】 解：原式 ． ； 【小问3详解】 解：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一学期第一次冲浪 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 3是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的立方根为 D. 在实数范围内，负数没有平方根 4. 若，，，则的值为（） A. B. C. D. 5. 下列各式中互为有理化因式的是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. ﹣2的倒数是_____． 8. 在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 9. 若有意义，则x的取值范围是_____． 10. 比较大小：______． 11. 维生素D对骨骼的生长有着非常重要的作用，我国营养学会建议青少年每天维生素D的摄入量为0.000012克，将数据0.000012用科学记数法可以表示为________． 12. 若、满足，则_________． 13. 把的根号外的因式移到根号内等于________． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则=______． 15. 将化成分数：________． 16. 已知，，则___________． 17. 对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 三、简答题 19. 计算：． 20. 计算： 21. 计算. 22. 计算： 23. 解不等式： 24. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 25. 先化简，后求值：，其中，． 26. 【阅读材料】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示，请解答下列问题： 【理解应用】 （1）若的整数部分是a，小数部分是b，求a和b的值； （2）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值； （3）若，其中x为整数部分，且，求的值． 27. 综合与实践 一、教材理解： （1）如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； （2）如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： （3）如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； （4）若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 28. 著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当时，化简． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $