精品解析：上海市田园中学2025-2026学年八年级上学期数学第一 次学情自测

2025学年第一学期八年级数学作业评价一 一、选择题（每小题2分，满分12分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是9 B. 立方根等于它本身的数有两个，0和1 C. 是49的算术平方根 D. 4是16的一个平方根 3. 如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 4. 下列说法正确的是（　　） A. 无理数与无理数的和为无理数 B. 一个数的算术平方根不比这个数大 C. 实数可分为有理数和无理数 D. 数轴上的点和有理数一一对应 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 4的算术平方根是__________． 8. 用科学记数法表示是______． 9. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 10. 的立方根是_______________ 11. 化简：______． 12. 若 ， 则________________ ． 13. 已知与互为相反数，则的值为___________． 14. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 15. 一个正数的两个平方根为和，则_________． 16. 等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 17. 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数（p，q是整数，）的形式，以为例：设，即，则，，可得，即，类比上面的做法，______． 18. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______． 19. 如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 20. 若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 三、简答题（共4小题，满分30分） 21. 计算： （1） （2） 22. 计算： 23. 解方程： （1）； （2）． 24. 已知，b是9的算术平方根，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的平方根． 四、解答题（共5小题，满分30分） 25. 如图，已知AE∥DF ，求证：． 26. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）若a是的整数部分，b是的小数部分．求的算术平方根； （2）若，其中x是整数，且，求的值． 27. 已知、、在数轴上的位置如图，化简：． 28. 哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 29. 【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数， 30. 阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：______，_________； （2）计算：； （3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 31. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请简单说出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学作业评价一 一、选择题（每小题2分，满分12分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，先化简，再根据无理数是无限不循环小数进行判断各数即可，掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：是分数，，是整数，它们不是无理数， （相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是9 B. 立方根等于它本身的数有两个，0和1 C. 是49的算术平方根 D. 4是16的一个平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、立方根等于它本身的数有三个，0和，原说法错误，不符合题意； C、是49的平方根，原说法错误，不符合题意； D、4是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键． 根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可． 【详解】解：根据题意得：被阴影覆盖的数在1和3之间， ∵，， ∴，， ∴， ∴符合题意的为B． 故选：B 4. 下列说法正确的是（　　） A. 无理数与无理数的和为无理数 B. 一个数的算术平方根不比这个数大 C. 实数可分为有理数和无理数 D. 数轴上的点和有理数一一对应 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； D．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件先求的值，再计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， ∴， 将代入，得， ∴． 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 8. 用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 11. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，判断的符号后去绝对值得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得： ∵ ∴ ∴． 12. 若 ， 则________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13. 已知与互为相反数，则的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 一个正数的两个平方根为和，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数两个平方根互为相反数计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握一个正数两个平方根互为相反数是正确解答的前提． 16. 等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍． 根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍列式计算即可． 【详解】解：等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米， 圆锥的体积是（立方米）， 故答案为：． 17. 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数（p，q是整数，）的形式，以为例：设，即，则，，可得，即，类比上面的做法，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，循环小数和循环节，设，即，则，然后列出方程，求解即可，读懂题意，理解并掌握转化方法是解题的关键． 【详解】解：设，即，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】把135分解因数即可确定． 【详解】∵135=32×3×5=32×15， ∴n的最小值是15． 故答案是：15． 【点睛】此题考查乘除法法则和二次根式有意义的条件．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 19. 如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 20. 若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查平方根以及阅读信息取整符号等知识，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先计算出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解： ， ， ， … ， ∴原式， ∴， 故答案为：11． 三、简答题（共4小题，满分30分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，有理数的加减运算，解答即可． （2）根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，绝对值的化简，二次根式的加减运算，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 23. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 或 ； （2）． 【解析】 【分析】 先移项化简方程，再根据平方根的定义解方程即可； 先系数化为化简方程，再根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴或； 【小问2详解】 解： ∴． 24. 已知，b是9的算术平方根，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 四、解答题（共5小题，满分30分） 25. 如图，已知AE∥DF ，求证：． 【答案】 证明： 【解析】 【分析】先证明得到 再证明从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明是关键的桥梁． 26. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）若a是的整数部分，b是的小数部分．求的算术平方根； （2）若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）4 （2）18 【解析】 【分析】本题考查二次根式的估算与加减运算，根据被开方数在哪两个平方数之间，表示出二次根式的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）与80相邻的两个平方数是64，81，与5相邻的两个平方数是4，9，表示出，的取值，代入代数式中计算，再求算术平方根； （2）与11相邻的两个平方数是9，16，整理使结果满足是整数，，表示出，的值，代入代数式计算． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分为8， 即， ， ， 的小数部分为， 即， ， 算术平方根为； 【小问2详解】 中， 为的小数部分， ， ， 的整数部分为3，小数部分为 ， ，， ． 27. 已知、、在数轴上的位置如图，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，且，则可推出，，，据此化简求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴，，， ∴， ∴ ． 28. 哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【解析】 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【小问1详解】 解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． 【小问2详解】 略 29. 【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数， 【答案】（1）①表示的代数式；②表示的代数式 （2） 设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【解析】 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【小问1详解】 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【小问2详解】 略 30. 阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：______，_________； （2）计算：； （3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算； （2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算； （3）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算． 【详解】解：（1）∵，∴，． 故答案为：； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题． 31. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请简单说出理由． 【答案】 解：理由如下： ∵ ，，， ∴ 59319的立方根是两位数， ∵ 仅个位数字为9的正整数的立方的个位数字为9， ∴ 59319的立方根的个位数字为9， 划去59319的后三位319，剩余部分为59， ∵ ，，， ∴ 59319的立方根的十位数字为3， 综上，59319的立方根为39． 【解析】 【分析】先根据10与100的立方确定立方根为两位数，再利用立方数的个位特征确定个位数字，最后通过划去后三位后所得数介于的连续整数的立方范围确定十位数字． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $