精品解析：贵州省部分学校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线的斜率，所以． 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意得  ，解得. 4. 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得， ， 对各选项逐一验证： 对于A：，假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B：假设， 比较系数使 由得，方程组无解， 不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确； 对于C：假设， 比较系数使，方程组有解， ，向量共面，不能构成基底，故C错误； 对于D：假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故D错误. 5. 已知非零向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接套用投影向量公式，先算出投影数量，再乘以方向上的单位向量，化简后得到投影向量． 【详解】因为， 所以在上的投影向量为． 6. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平面与平面的法向量分别为，，求出，再结合逐一判断即可. 【详解】，设平面与平面的法向量分别为，. ，令，，. 由平面平面，. 当时，，A错误. 当时，，B错误. 当时，，C错误. 当时，，D正确. 7. 设点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线过定点，计算定点与线段两端点连线的斜率，结合直线与线段相交的几何特征确定斜率范围 【详解】直线的斜率为，所以直线的方程为， 直线恒经过，如下图： 直线的斜率，直线的斜率， 因此要使直线与线段有交点，则 8. 《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，取余弦绝对值，得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】设底面扇环的圆心为，以为坐标原点，为轴，底面内垂直于向上为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 已知底面扇环内外半径为和，圆心角为，曲池高为，为中点． 可得各点坐标：，，， ，，， 是中点，故．，． 计算数量积：， ，， 异面直线所成角范围是，余弦取绝对值： ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则直线的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线的方程可化为，. 对A，由图可知，，，所以，故A有可能； 对B，由图可知，，，所以不成立，故B不可能； 对C，由图可知，，，且，所以，故C有可能； 对D，由图可知，，，所以，故D有可能. 10. 在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平行六面体向量运算法则，结合向量加减法、相等与相反向量对每个表达式拆分合并，判断结果是否为零向量. 【详解】选项A：由平行四边形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项B：由向量减法法则得，再由三角形法则得，符合要求； 选项C：由三角形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项D：，，代入得原式，符合要求. 11. 如图，某日上午10：00，汽车甲在方向的高速公路上以30m/s的速度匀速行驶，汽车乙在方向的高速公路上以的速度匀速行驶，异面直线与的夹角为，为锐角，且与的公垂线段（与，都垂直且都相交的线段）的长度为5m，甲车还有1s就能到达点处，乙车还有0.5s就能到达点处，将两车均视为质点，且两车均在高速公路的正中间行驶，则（ ） A. 经过0.5s后，甲、乙两车之间的距离为15m B. 经过1s后，甲、乙两车之间的距离为 C. 经过2s后，甲、乙两车之间的距离为 D. 在行驶过程中，甲、乙两车之间的距离可能小于10m 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用公垂线段  及直线  的方向建立坐标系，根据速度、时间和初始位置，写出甲、乙两车在  时刻的空间坐标，利用空间两点间距离公式 计算不同时刻的距离，并分析距离函数的最小值即可判断每个选项. 【详解】如图，以  为原点，直线  为  轴，直线  为  轴，建立空间直角坐标系 . 由题意，，，且 ， 故与的夹角为锐角，不妨设  的方向向量为， 则  的方向向量可设为 ， 甲车沿  行驶，速度 ， 当 时，甲车在  点后方  处， 故甲车位置坐标为 . 乙车沿  行驶，速度 ， 注意乙车行驶方向与  相反，故乙车速度方向向量为 ，   时，乙车在  点后方（ 侧） 处， 故乙车初始位置为 ， 乙车位置坐标为 . 两车距离的平方为， 选项A，当  时， . 而距离为 ，故A错误； 选项B：当  时， ， 此时距离为 ，故B正确； 选项C，当  时，  ， 此时距离为 ，故C正确； 选项D：设 ， 这是一个关于  的二次函数，开口向上，有最小值， 得到 ， 当  时， 取得最小值，得到， 因为 ，所以最小距离 ， 即在行驶过程中，两车距离可能小于 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 直接令，即可求出． 【详解】解：对直线令，得． 可得直线在轴上截距是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题． 13. 已知点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造直线的方向向量与点到的连线向量，利用向量投影结合勾股定理求解点到直线的距离. 【详解】由已知得，，， 则， 因为，所以， 所以点到直线的距离为 14. 已知点，，点在轴的正半轴上运动，则的最大值为______，此时直线的斜率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，，利用正切差角公式和基本不等式求出的最大值，并求出直线的斜率 【详解】设，，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为， 此时，直线的斜率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，，点，分别在线段，上，且，．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）直接写出，，，四点的坐标； （2）求的长； （3）求的值． 【答案】（1） ，，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据建立的空间直角坐标系和定比分点公式求出点的坐标即可. （2）根据向量的模的公式求出结果即可. （3）根据向量加法法则和向量数量积的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 正方体棱长为3，由空间直角坐标系定义得，，，. 由，得，由定比分点公式，. 由，得，由定比分点公式，. 【小问2详解】 由，，得. 由空间向量模长公式，，故的长为. 【小问3详解】 由（1）知, 所以. 所以，所以. 16. 已知点，，． （1）求直线AB的斜截式方程； （2）求与直线AB平行，且经过点C的直线的一般式方程； （3）求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【小问1详解】 ，直线在轴截距为1，斜截式方程为. 【小问2详解】 所求直线与平行，斜率，过，点斜式方程为，整理为一般式方程为. 【小问3详解】 当截距不为 0 时，设，代入得，方程为； 当截距为 0 时，直线过原点，设，代入得，方程为. 综上直线方程为或. 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线，结合平行线的传递性，可得，进而根据线面平行的判定求解即可， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知直线恒过点． （1）求点的坐标． （2）已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】（1） （2）① 斜率为或；② 光线路程：； 【解析】 【分析】（1）先整理直线方程，分离参数，分成含参数和不含参数两部分；再根据直线恒过定点的特点，令两部分同时等于零，联立得到二元一次方程组；最后解方程组，求出定点的坐标； （2）①先利用定点写出直线的点斜式并化为一般式，再将原点到直线的距离代入点到直线距离公式建立方程，接着平方化简得到关于斜率的一元二次方程，解方程得到两个斜率，留待下一问根据倾斜角条件筛选；②求光线路程，先根据倾斜角条件筛选符合要求的斜率，再利用反射性质，将路程转化为两个对称点之间的距离，用两点间距离公式计算即可. 【小问1详解】 整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. 【小问2详解】 ① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则直线的图形可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某日上午10：00，汽车甲在方向的高速公路上以30m/s的速度匀速行驶，汽车乙在方向的高速公路上以的速度匀速行驶，异面直线与的夹角为，为锐角，且与的公垂线段（与，都垂直且都相交的线段）的长度为5m，甲车还有1s就能到达点处，乙车还有0.5s就能到达点处，将两车均视为质点，且两车均在高速公路的正中间行驶，则（ ） A. 经过0.5s后，甲、乙两车之间的距离为15m B. 经过1s后，甲、乙两车之间的距离为 C. 经过2s后，甲、乙两车之间的距离为 D. 在行驶过程中，甲、乙两车之间的距离可能小于10m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____. 13. 已知点，，，则点到直线的距离为______． 14. 已知点，，点在轴的正半轴上运动，则的最大值为______，此时直线的斜率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，，点，分别在线段，上，且，．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）直接写出，，，四点的坐标； （2）求的长； （3）求的值． 16. 已知点，，． （1）求直线AB的斜截式方程； （2）求与直线AB平行，且经过点C的直线的一般式方程； （3）求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知直线恒过点． （1）求点的坐标． （2）已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $