精品解析：陕西西安市第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年度高二年级第一学期月考试题 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部选对得6分） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图所示，已知直四棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 18. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 19. 在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． （1）求证：； （2）在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级第一学期月考试题 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 5. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确. 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部选对得6分） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，判断A，对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 11. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参. 【详解】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）由题意得平面，平面，则， 由正方形性质得，而，平面， 所以平面， 而平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再结合并利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面， 得到，，所以建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，得到， 而为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为θ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 如图所示，已知直四棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明： 设，，如图所示，以为原点，为轴， 为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则. . ，所以. 因为平面，底面，所以. 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】设，建立空间直角坐标系，对于（1），利用垂直向量数量积为零证明，结合直四棱柱性质得，再结合面面垂直判定定理证明； 对于（2），由平面，得与平面内两条相交直线、的方向向量点积为0，求解出的值；再分别求平面和平面的法向量，利用两平面法向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题干条件可得， 因为平面，平面，则， ， 故，，， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得. ， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得， 故. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . 【小问3详解】 由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 19. 在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． （1）求证：； （2）在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； （3）求的面积． 【答案】（1）证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得， 由题意得， 因此， 而，因此，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间向量数量积计算得证. （2）确定点的位置，再利用空间向量的线性运算求解. （3）利用空间向量的夹角公式及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的位置如图所示，则点为的中点， 连接，由题意得 ， 所以. 【小问3详解】 设，由（1）得， 则， 因此，， 所以的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $