安徽省六安第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

六安一中2026年秋学期高二年级十月 数学试卷 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若经过，两点的直线的方向向量为（1，4），则实数（     ） A． B． C． D． 2．直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 4．若且，直线不通过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 6．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．2 D．1 7．已知实数满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 10．下列关于直线的结论中，正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过平面上不同的两点，的直线方程为 C．直线：，：，则的充要条件是或 D．经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（     ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 14．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 16．（本小题满分15分） 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 17．（本小题满分15分） 已知直线： ，直线： ，其中为实数. （1）当时，求的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 18．（本小题满分17分） 已知为坐标原点． （1）求直线的方程，并求直线中垂线的方程； （2）求的周长与面积； （3）求的外接圆方程与内切圆方程． 19．（本小题满分17分） 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 六安一中2026年秋学期高二年级 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D D A B B ABD BC ABD 1．C【详解】依题意，向量与向量共线，因此，所以. 2．D【详解】由的斜率为，其范围是，设倾斜角为，则，解得，因为倾斜角的范围是，所以. 3．A【详解】两直线 ，平行，则，交叉相乘得.故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意；当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行.因此 . 4．【答案】D【解析】因为且，所以，，又直线可化为，斜率为，在轴截距为，因此直线过一二三象限，不过第四象限.选D. 5．D【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或：当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件；当时，直线的斜截式方程为，斜率为，若，解得；若，解得或，综上，的取值范围是或. 6．A【详解】因为直线，，能构成三角形，所以不平行于且不平行于且，，不共点，当不平行于时，可得，当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得，所以，解得， 所以且且，所以，所以的子集个数为. 7．B【详解】由，得到，，因为表示点到点间的距离，又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行，则两直线，间的距离为，所以的最小值为. 8．B【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 9．ABD【详解】对于A，直线：，由，得，，始终过定点，故A正确；对于B，若，则有，解得，故B正确；对于C，，则，解得或，故C错误；对于D，当时，始终过，因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．故选：ABD． 10．BC【详解】对于选项A，直线方程化为斜截式得，斜率，但倾斜角范围为，且任意时，不一定在范围内，故A错误；对于选项B，经过平面上不同两点，的直线方程，无论两点是否在水平线或竖直线上均成立，故B正确；对于选项C，两直线垂直的充要条件是一般式中，对于：和：，有，解得或，当时，：，：，此时，当时，：，：，此时，故C正确；对于选项D，截距相等的直线分两种情况：①截距为：直线过原点，方程为（过）；②截距不为0：设方程为，代入，解得，所以方程为，所以经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有两条直线，故D错误.故选：BC. 11．ABD【详解】由，得．因为，所以，得． 由，得．因为，所以，得． 所以，A正确．由直线：和直线：，知．所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：ABD． 12．或 【详解】设直线，截距分别为和，因为截距互为相反数，所以.若，，又过点，所以，直线为.若，解得，，所以，直线为. 13．5 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率,由于,所以,所以直线的斜率. 14． 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设，又因为，所以线段的中点为，又因为过点的中线的方程是，所以，解之得，于是，设关于直线的对称点为，所以，解之得，即，因为直线为过点的角平分线方程，所以在直线上，所以直线即直线， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 故答案为：. 15．(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题可得中点坐标为，又，则，从而中线方程为：； （2）当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则，则可为：. 综上可得：为或. （3）因关于对称，则可得，中点在上，设，则， 从而，则. 16．(1); (2); (3)4,. 【详解】（1）由题,因为当变化时,直线过定点,则有, 解得，即定点 （2）由题知当线段时,距离最大,此时最大距离为,又可得,则,解得,则直线 （3）由题可知,则,则,所以,当且仅当时,等号成立,此时,最小值为4,此时的直线. 17．(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为，由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：，由，得，则， ①直线的斜率为，因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为，化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时点到直线的距离等于1，符合题意；若直线的斜率存在且过点，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则，化简得，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或. 18．(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【详解】（1） 因为，所以，所以直线的方程为，整理可得.因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为，整理可得；（2）因为，，.所以的周长为， 的面积为； （3） 设外接圆的圆心为，半径为.由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得，所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径，所以的外接圆方程为. 设的内切圆的圆心为，半径为.由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积，解得. 又因为点到的距离等于，则，解得. 所以的内切圆的方程为. 19．(1) (2)（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得．若且，则，与、不全为零矛盾，故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ，即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线．若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为，故，，均等价于，即（）． 此时：，．若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ．若，即，则：，即上面的情形；若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线；当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除．综上，满足条件的直线为，（）． 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【详解】（1），，则，，故． （2）（i）略 （ii）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $