宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

平罗中学2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高三数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．“函数是上的奇函数”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题"，"是真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 6．设，，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．在R上单调递增 B．的图象关于原点对称 C． D．当时， 10．已知，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） A．的最小正周期为 B．将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“” 11．已知为的导函数，对，均有，且，则（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，且，则的最大值为________． 13．在中，角所对的边分别为，已知，，，则________． 14．若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间． 16．（15分）已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在R上单调递增； （3）若在区间上有解，求整数的最大值． 17．（15分）在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求的取值范围． 18．（17分）已知函数， （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围． 19．（17分）已知，函数． （1）求函数的零点； （2）证明：函数存在唯一的极值点； （3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 高三数学一轮复习月考·解析版 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】D 【解析】集合为开区间，不包含端点和2。集合。取同时属于A和B的元素：0和1满足，而和2不满足。故。 2．【答案】A 【解析】若是R上的奇函数，则对任意有。令，得，即。故充分性成立。 反之，若，函数不一定是奇函数。例如，满足，但是偶函数，不是奇函数。故必要性不成立。 因此，“函数是R上的奇函数”是“”的充分不必要条件。 3．【答案】C 【解析】命题“”是真命题，即不等式对任意实数x恒成立。 对于二次函数，由于二次项系数，抛物线开口向上，要使恒成立，只需判别式。 解得，即。 4．【答案】B 【解析】逐一判断各选项： A选项：是奇函数，但在定义域上不是单调递增的（在两个区间内分别递增，但整体不具有单调性）。 B选项：，故为奇函数。当时，单调递增；当时，也单调递增，且在处连续，故在R上单调递增。 C选项：是奇函数，但在定义域上不是单调递增的（是周期函数，有增有减）。 D选项：是奇函数，但在定义域上不是单调递增的（在每个周期内递增，但整体不具有单调性）。 综上，正确答案为B。 5．【答案】A 【解析】由，得： 由诱导公式。 6．【答案】A 【解析】分别估算三个值的范围： ：因为，所以，即； ：因为，所以，即； ，即。 再比较b与c：因为为增函数，且，故。 综上，，即。 7．【答案】C 【解析】求导得。 由，得切点为。 在处的切线斜率为： 由点斜式得切线方程：即。 求切线与坐标轴的交点： 与x轴交点：令，得，即； 与y轴交点：令，得，即。 切线与两坐标轴围成的三角形面积为：。 8．【答案】D 【解析】分段讨论零点个数： （1）当时：。 ，故在上单调递增。 当时，。 由零点存在定理，在上恰有1个零点。 （2）当时：。 令，在时； 在处取得最小值； ； 在上递减，在上递增。 要使在定义域上恰有三个零点，由于部分已有1个零点，故部分需要有2个零点，即方程在上有两个不同的解。 由的图像可知： 当时，在上有两个解； 当时，的解为和，均满足，有两个解； 当时，只有一个解，不满足。 综上，a的取值范围为。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分。 9．【答案】BD 【解析】选项A：当时，，在上单调递减，在上单调递增。故在R上不是单调递增函数。A错误。 选项B：因为是奇函数，奇函数的图象关于原点对称。B正确。 选项C：由奇函数性质。计算，故，不是。C错误。 选项D：当时，，则。由奇函数性质。D正确。 10．【答案】BCD 【解析】先化简函数： 选项A：的最小正周期，不是。A错误。 选项B：向左平移个单位： 是偶函数。B正确。 选项C：当时，。在上单调递减，故在该区间上是减函数。C正确。 选项D：当时： 取得最大值2，故“”是“”取得最大值”的充分条件。D正确。 11．【答案】BC 步骤一：判断奇偶性与。 令，得： 故，即为奇函数。 令，得： 故。A错误。 步骤二：判断对称性与周期性。 令得： 故的图象关于直线对称。 结合奇函数性质： 故，即是周期为4的周期函数。 选项B：为奇函数，图象关于对称，向右平移1个单位得，故的图象关于点对称。B正确。 选项C：由周期性，。 故。C正确。 选项D：由两边求导得。 取满足条件的函数验证： 二者不恒等。D错误。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】4 【解析】由基本不等式，得： 当且仅当时取等号。 故xy的最大值为4。 13．【答案】或 【解析】由正弦定理，得： 因为，且，所以。 在范围内，的解为或，两者均满足。 14．【答案】 【解析】求导得。 要使在上单调递增，需在该区间上恒成立，即： 令。 求导得： 在上，，故，即在该区间上单调递增。 因此。 要使对所有恒成立，需。 故实数a的最小值为。 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【解析】（1）求函数的解析式： 由图象可知。 最高点与最低点的横坐标之差为半个周期： 故。 最高点在处，此时 即，故，解得。 由，得。因此，。 【解析】（2）求的单调递增区间： 将的图象向左平移个单位： 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即用2x替换 求的单调递增区间：令 解得： 故的单调递增区间为。 16．【解析】（1）求实数m的值： 因为是奇函数，所以 解得。 验证：当时，确为奇函数。 【解析】（2）证明在R上单调递增： 由（1）知。 求导得： 因为，所以对任意恒成立。 故在R上单调递增。 【解析】（3）求整数n的最大值： 在上有解，等价于在上的最大值，由（2）知 单调递增，故最大值为。 因此：，即，因式分解得，解得。 故整数n的最大值为3。 17．（15分）【解析】（1）求角A： 由余弦定理： 已知，即。 比较得，即。 因为，故。 【解析】（2）求的面积： 由正弦定理，及，得。 已知，故。 。 【解析】（3）求a的取值范围： 由余弦定理： 已知，则，其中。 ， 当时，取得最小值，即a的最小值为。 当或时，，即，但且，故。 因此，a的取值范围为。 18．（17分）【解析】函数定义域为． 求导得： （1）当时：求函数的单调区间： 因为，所以，当且仅当时取等号． 故在上单调递增． （2）讨论函数的单调性： 令，得或． ①当，即时：不在定义域内，故在上只有一个驻点． 当时，，故； 当时，，故． 故在上单调递减，在上单调递增． ②当，即时：在上有两个驻点和． 当时，； 当时，； 当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减． ③当，即时：如（1）所述，在上单调递增． ④当，即时：当时，； 当时，； 当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减． （3）求a的取值范围： 有两个不同的极值点，即在上有两个不同的正根． 的两根为和，需满足： 1．（两根不相等），即； 2．（另一根在定义域内），即． 综合得且． 验证：当时，两根和1都在内，且不相等；当时同理． 故a的取值范围为． 19．【解析】（1）求函数的零点： 令，即： 解得或． 由，得，即． 故函数的零点为和． 【解析】（2）证明函数存在唯一的极值点： 令则． ． 当时，递减；当时，递增． 因为，而当时，故方程的解必在内． 在上，，故单调递增． 又，且当时，故在上有唯一解． 当时，，递增；当时，，递减． 故是的唯一极大值点． 【解析】（3）求实数b的取值范围： 由（2）知的最大值为，其中满足． 要使恒成立，需，即： 令． 求导得． 当时，递减；当时，递增． 故在处取得最小值： 因此，存在a使得不等式恒成立，等价于的最小值． 故实数b的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $