精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025届高三上学期11月月考数学试题

平罗中学2024-2025学年第一学期第三次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，.若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且， A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 的图像关于直线对称 D. 函数为偶函数 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体P－ACD是鳖臑 B. 阳马P－ABCD的体积为 C. 阳马P－ABCD的外接球表面积为 D. D到平面PAC的距离为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半抽重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则________． 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 14. 已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为___________；的最小值为_________. 四.解答题:本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 16. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. （1）求角C的值： （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，. （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，证明：. 19. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2024-2025学年第一学期第三次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义可知，代入集合可求出的值，从而求解集合. 【详解】因为，所以，则，解得. 则. 故选：D 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出. 【详解】由， 可得， 所以，即得. 故选：C. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且， A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得， 可得 考点：空间线面平行垂直的判定与性质 5. 在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：点是靠近的三等分点， . 故选：D. 6. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 7. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得. 【详解】 解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则 故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时. 故选:A. 8. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，令，可得在上单调递增，进而可得，，可得结论. 【详解】由题意可得，即， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，故与2的大小关系不确定. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的通项公式和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】在等差数列中，由为， 可得， 所以，可得 又由，所以A正确，B正确； 由，所以，所以C错误； 由且，可得当时，；当时，， 所以，当时，取最大值，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 的图像关于直线对称 D. 函数为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先根据得到，根据得到，根据得到，从而得到，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，，所以. 因为，所以，，. 又因为，所以，，. 因为，所以，即，故A正确. 对选项B，令，解得，， 所以的图像关于点对称，故B正确. 对选项C，令，解得，， 所以的图像关于直线对称，故C正确. 对选项D，， 因为，定义域为，， 所以为奇函数，故D错误. 故选：ABC 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体P－ACD是鳖臑 B. 阳马P－ABCD的体积为 C. 阳马P－ABCD的外接球表面积为 D. D到平面PAC的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据鳖臑定义判断A，根据锥体体积公式判断B，通过补形确定阳马P－ABCD的外接球的直径，结合球的体积公式判断C，利用等体积法求D到平面PAC的距离判断D. 【详解】设，，， 由侧棱PD⊥底面ABCD，，，， 可得，解得 即，，． 对于A，由，，可得△PAC不是直角三角形，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，将阳马补形为长为2，宽为1，高为1的长方体， 可知其外接球直径为， 故阳马的外接球半径， 表面积，故C错误； 对于D，设D到平面的距离为h， 由，， 可得的面积为， 由等体积法， 可得， 解得，故D正确． 故选：BD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半抽重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意角三角函数的定义求出，再根据两角和的正弦公式展开即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点坐标是，所以， 故. 故答案为： 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为___________；的最小值为_________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】 因为所以， 由共线，则，解得 作，以为原点建立平面直角坐标系， 设且，则，而的面积为， 则，故， 则， 则， 当且仅当时取“=”， 所以的最小值为 故答案为：；. 四.解答题:本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 期望为2 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出； （2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可． 【小问1详解】 记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． 【小问2详解】 根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 16. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. （1）求角C的值： （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； （2）根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再利用辅助角公式变形，由角的取值范围可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 利用正弦定理化简，得，即， 由余弦定理，得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以，解得：， 因为，由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 所以，则的取值范围为， 所以周长的取值范围.. 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，. （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接、， 由，，故、， 又、平面，， 则平面，又平面，故； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由侧面底面，且，平面， 平面平面，故平面， 又平面，故， 即有、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，，，，， 则，， 即、、、、， 、、， 令，则， 由，故，解得， 故， 令平面的法向量为， 则有，令，则有， 由轴平面，故平面的法向量可为， 则， 故二面角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，证明：. 【答案】（1） （2） 当时，在上是增函数； 当时，在单调递增，在单调递减 （3） 当时，， 令， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ，∴. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）求导可得，分情况讨论：当时，恒成立，得的增区间为；当，由，得增区间，由，得减区间； （3）由题意得到函数，要证明，只需证明，再利用导数求出即可得证. 【小问1详解】 ， 由曲线在点处的切线与直线垂直得， ，. 【小问2详解】 的定义域为， 当时，，在上是增函数； 当时，由，得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 综上：当时，在上是增函数； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，构造函数， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故. 19. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）3；5；9；13 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可； （2）由题意，，再分与两种情况求解即可； （3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，. 【小问2详解】 由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，. 当时，. 所以 【小问3详解】 存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $