精品解析：陕西西安市西光中学等校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

西安市西光中学2026-2027学年第一学期10月质量检测 初三数学试卷 一．选择题（共8小题．每题3分，共24分） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（ ） A. 25岁 B. 30岁 C. 35岁 D. 36岁 8. 如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每空5分，共30分） 9. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 10. 在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 11. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 13. 若，则的值为 ______ ． 14. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 三．解答题（共12小题，共66分） 15. 已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值． 16. 解方程：． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 19. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点（为位似中心）成位似图形． （1）则点的坐标为__________ ； （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 20. 如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是，，若，求的值． 22. 如图，中，D，E分别为的中点，于点F，点G在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 23. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 24. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 26. 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学2026-2027学年第一学期10月质量检测 初三数学试卷 一．选择题（共8小题．每题3分，共24分） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足：为整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：选项A的方程未说明，当时不是二次方程； 选项B的方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程； 选项C的方程含、两个未知数，不是一元方程； 选项D的方程是一元二次方程． 2. 如图，在菱形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求出角的度数，再结合等腰三角形的性质计算． 先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又， 是等腰三角形，， ． 故选：B． 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三视图逐一分析选项：主视图下半部分为矩形，上半部分是直角边在左下的直角三角形（斜边左上到右下）；左视图为上下拼接的两个矩形；俯视图是正方形． 【详解】解：A、主视图会得到顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图的直角三角形特征，排除； C、主视图上半部分为顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图，排除； D、主视图会得到上下两个矩形，没有上半部分的三角形，不符合题干，排除； B、从正面看，得到“下方矩形+上方直角三角形（斜边左上到右下）”，符合题干中的主视图；从左面看，得到上下两个拼接矩形，符合左视图；从上方看，得到正方形，符合俯视图，完全匹配． 4. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴； 故选D． 5. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，再由垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 7. 阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（ ） A. 25岁 B. 30岁 C. 35岁 D. 36岁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄，说明周瑜去世时年龄是大于30岁的.设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论. 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，由题意得： 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 故选：D 8. 如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出和，根据同高三角形面积比的关系得出面积都与的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可． 【详解】解：过E作，交于H，交于G，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（共6小题，每空5分，共30分） 9. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影的分类，需明确平行投影与中心投影的区别：平行投影是由平行光线(如太阳光)形成的投影，中心投影是由点光源(如灯光)形成的投影． 【详解】解：太阳光可看作平行光线，晷针在晷面上的投影是由平行光线形成的，根据平行投影的定义，可知该投影属于平行投影． 故答案为：平行． 10. 在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 11. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接、，可得与垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，，即， 轴，， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为： ． 13. 若，则的值为 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可得，，，即可得，再分和两种情况解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 14. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 三．解答题（共12小题，共66分） 15. 已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质列等式，联立已知方程得到方程组，求解方程组即可． 【详解】解：由四条线段依次成比例可得，根据比例的基本性质得：， 联立已知条件，得方程组：， 将代入中，得： 解得． 将代入，得： 解得． 所以，，． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， ． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，菱形即为所求作．（作法不唯一） 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及尺规作图，熟练掌握菱形的判定及尺规作图是解题的关键；先作出的角平分线，然后作线段的线段垂直平分线，进而问题可求解． 【详解】略 18. 某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 【答案】（1）； （2）每件商品应降价 22元 【解析】 【分析】本题考査了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据每件降价2元，则销量增加20个，可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意：设每件商品降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， ∵要更有利于减少库存， ， 答：每件商品应降价 22元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点（为位似中心）成位似图形． （1）则点的坐标为__________ ； （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】（1） （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）连接、、，交点即为点，写出坐标即可； （2）连接、、，分别取各自的中点，即为所求点、、，依次连接即可． 【小问1详解】 解：点如图所示， 由图可知，点的坐标为． 【小问2详解】 略 20. 如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】（1）解：由题意作图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是，，若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由一元二次方程有两个不相等的实数根得出，计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由完全平方公式可得，整体代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个不相等实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 22. 如图，中，D，E分别为的中点，于点F，点G在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵D、E分别是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和判定证明四边形是平行四边形，再结合垂直的定义，即可证明四边形是矩形； （2）根据三角形内角和定理，以及等腰三角形性质推出，再结合矩形性质，以及三角形中位线性质求出，进而求出，利用勾股定理求出，进而即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 24. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ． 25. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 26. 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点P为的“相似点”； （2） （3）解：，证明如下： ∵点G是的“相似点”，点与点对应，且， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和角平分线的定义可推出，证明即可； （2）由题意得，可推出，再证明即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，可证明四边形是平行四边形得到，进而推导出，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $