第二十七章 反比例函数 章末评价试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 章末评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（　　） A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 4．在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（    ） A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多 6．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是2个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为，顶点在反比例函数的图像上，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数），函数的图象为曲线L，若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知函数是反比例函数，则k的值为______． 12．若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是__． 13．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 14．一次函数和反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集 _____．    16．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 三、解答题 17．已知反比例函数，其中是常数． (1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？ 18．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．      (1)请求出这个反比例函数的解析式； (2)蓄电池的电压是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 19．小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 (1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 20．如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点． (1)求k和a的值； (2)根据图象直接写出的自变量x的取值范围； (3)当AB长为时，求点A的坐标． 21．【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 22．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 23．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 24．阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B A A B D B D 1．B 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，先根据反比例函数的定义求出n可能的值，再根据反比例函数的性质确定答案． ∵是反比例函数， ∴， 解得． ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图象一支位于第一象限， 则， ∴． 故选：B． 2．C 因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 3．C 由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定．本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函数关系式． 解：设点的坐标为， 轴于点，点是轴正半轴上的一个定点， 四边形是个直角梯形， 四边形的面积， 是定值， 四边形的面积随着的增大而减小，即点的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐减小． 故选：C． 4．B 本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方公式， 先根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式的特点求得，进而求得k即可求解 解：∵在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大面减小 ∴， 则， ∵整式可以用完全平方公式进行因式分解． ∴， 则， 故， ∴该反比例函数的表达式为． 故选：B． 5．A 根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可． 解：由题意，得 ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式． 6．A 设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=﹣（﹣）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选A． 7．B 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 8．D 根据图象可知，点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，设点A的坐标为，则点B的坐标为，再根据点A、B在函数的图象上，列出关于m的方程，解方程得出m的值，最后求出k的值即可． 解：根据图象可知，点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A、B在函数的图象上， ∴， 解得：， 点A的坐标为， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是求出点A或点B的坐标． 9．B 本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点作轴于点G，证明，推出，进而得到，得到，代入反比例函数的解析式式，即可求解． 解：过点作轴于点G， ∵点、的坐标分别为， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 故选：B． 10．D 先求出四个点的坐标，分别求出过个点时的值，可得结果． 解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴当过点时，， 当过点时，， ∴若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是：； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，求出各点的坐标，是解题的关键． 11．1 根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点、指数特点是解题的关键． 12．x≤﹣2或x＞0 根据题意可求点A的坐标；画出草图，运用观察法求解． 解：∵点A（m，-2）在反比例函数的图象上， ∴-2m=4，m=-2． ∴A（-2，-2）． ∴当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是 x≤-2或x＞0． 故答案为x≤-2或x＞0． 13．/ 此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 14． 一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据原点对称点的坐标特征即可求解． 解：∵一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数图象的交点也关于原点中心对称， ∵已知其中一个交点坐标为， ∴另一个交点为关于原点的对称点，坐标为． 15．和 从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而求解． 解：从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为和． 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象所给条件应用反比例函数与一次函数的交点问题进行求解是解决本题的关键． 16． 待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可． 解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∵， ∴时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，， 即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 17．(1) (2) 本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． （1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：； （2）解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 18．(1) (2) (3) （1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点带入表达式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可得到答案； （2）根据电压电流电阻即可求解； （3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． （1）解：由题意知电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，设， 由图像可知，过点，则， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：根据题意，电压为定值，即（1）中， 蓄电池的电压是； （3）解：由（1）知， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则，解得， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在范围． 【点睛】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，正确理解反比例函数模型，并利用函数知识解实际问题是解决本题的关键． 19．(1) (2)物距是5厘米； (3) （1）根据题中数据，可以发现像高y与物距x的乘积为常数12，因此像高y与物距x之间满足反比例函数关系即可； （2）当时，代入求得x的值即可； （3）由于物距x不能超过，即，根据反比例函数性质即可得出答案． （1）解：∵像高y与物距x之间满足反比例函数关系， ∴设像高关于物距的函数关系式为， ∴， ∴像高关于物距的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴物距是5厘米； （3）解：由于物距x不能超过，即， 根据反比例函数性质，当x增大时，y减小， 因此，当时，， ∴像高的范围为． 20．(1)， (2) (3) 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入两个解析式可得、值； （2）根据函数图象和点横坐标可得不等式的解集； （3）先确定两个函数解析式，再设则，根据点在反比例函数图象上，列出关于的方程解出值即可知道点坐标． （1）解：反比例函数的图象与直线交于点， ，； （2）解：根据图象可知，的自变量的取值范围为：； （3）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：， 设则， 点在反比例函数图象上， ， 解得或（舍去）， ． 21．（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． 解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． 22．(1) (2) （1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． （1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 23．(1)； (2)米； (3)米． （1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． （1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 24．(1)2，1.5 (2) ①画图如下： ②不断减小 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． （1）解：由题意，， 解得，； （2）解：①略 ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 学科网（北京）股份有限公司 $