15.3.2 等边三角形（等边三角形的性质和判定） 同步评价试题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等边三角形（等边三角形的性质和判定） 同步评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 5．如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 8．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 二、填空题 9．如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 10．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是______． 11．如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 12．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是________．（填序号） 13．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则__________． 三、解答题 14．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 15．如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 16．如图，和都是等边三角形，连接、交于点O．且分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 17．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 18．已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数． (3)求证：； 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B D A B 1．C 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．B 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．D 本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 4．B 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 5．B 由折叠的性质得到，根据外角的定义得到，即可得到结论． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 6．D 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； ， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 7．A 本题考查了等边三角形的判定，方位角的表示，先由题意得出，，（海里），再结合平行线的性质得，然后得证是等边三角形，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地， ∴，，（海里）， ∵， ∴， 即， ∵（海里）， ∴是等边三角形， 则海里． 故选：A． 8．B 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 9．85 本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出，则，由等边对等角可得，则，据此可得答案． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．①②④ 本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解． 解：∵，， ∴． ①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形； ②当时，， ∴， ∴为等边三角形； ③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形； ④当是等腰三角形时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 综上，正确的说法是①②④． 故答案为：①②④． 13． 本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 略 15．3 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵，都是等边三角形， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 16．(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，明确题意，等边三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质结合全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． （1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 17． 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 略 18．(1) 证明：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． (2) (3) 证明：∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中的全等得，结合，和三角形内角和定理即可得出； （3）由全等三角形的性质得出，证出，证明，可得； （1）略 （2）解：由（1）知：， ， ，， ． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $