3.2.2双曲线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质同步练 一、单选题 1,(25-26高二上福建厦门期)双曲线y-=1的浙近线方程为《） 4 A.y=±4x B.y=±2x C D.y=±V2x 2.(25-26高二下·广东珠海·期中)已知双曲线的两个焦点分别为0，-2,0,2，点-3,2在该双曲线上， 则该双曲线的离心率为() A.4 B.3 C.2 D.2 3.(25-26高二上·江苏泰州·期中)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世 界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 兰-士=1la>0,b>0的一部分，且此双曲线的一条渐近线为2x+5y=0:则该双曲线的离心率为 () 2 3 A.3 B.2 c.5 D.35 3 5 4.(25-26高二上河南期中)已知双曲线y_x2 口？21（a0,b≥0)的渐近线方程为2，则其离心 率为() 5 A.5 B.2 C.3 D.95 62526高青惑)器超青瓷外为单双出面，可看双出线C:齐争 a>0,b>0绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为6， 试卷第1页（共3页） 则该花瓶的高为() A.5a B.V5b C.2V5a D.2V5b 6.(25-26商二浙江期中)若双曲线C:之+广=1m∈R.房心*为e,则“m=-1”是“ 3+mm-5 e=2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(25-26高二湖北期中)设椭圆x+y b3二1a>b>0写双曲线x-y=1的离心率分别为e1e,: a2 b2 曲线一条渐近线的倾斜角为g当θ∈匹，工时，则1的取值范围是（） 6’4 e2 in. B. c. D.23 22 8.(25-26高二上·江苏扬州期中)双曲线的渐近线方程是y=±2x,虚轴长为4，则双曲线的标准方程 为() A.x-=1或y-=1 4 4 B.x2-v2 1或 -x2=1 4 4 c.y 416 1或 461 D.2-少=1或兰-义=1 ×164 二、多选题 9.(2627商二上河北保定期中)已知双面线C:号-兰1，则下列说法正确的是（) 9271 A.双曲线实轴长为3 B.双曲线虚轴长为6V3 C.双曲线离心率为2 D.双曲线的两渐近线夹角的正切值为3 试卷第2页（共3页） 10.(25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测)已知双曲线C关于x轴、y轴均对称，若C过点2,3引，则C的离 心率可能为() B.23 c.213 3 D.V3 5 山(252G高上相2门)双连线C荒若-16o的条线的方为y子× 4 若点p在双曲线上，F~F,分别是左、右焦点，若△PF,E,的面积为20，则下列判断正确的有（） A.点P到x轴的距离为了 20 B.F C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠FPF= 三、填空题 2s26高上山东纺阶段检)与双线名丫有相同獅近线，耳经过点32.2的 线的方程是 13.(25-26高二上·河北衡水·期中)记双曲线E:x2-3y2=1斜率为正的渐近线为l,则E虚轴的上端点 到的距离为 26高三上河张家知阶段橙测》已知双曲线义一1b>0的左、有焦点分别为。 为右支上一点且直线PE,与x轴垂直，若PF,=2PF,则△PF,E,的面积为一 四、解答题 15.(25-26高二上广东深圳期中)已知双曲线C:Y-y m3=1(m>0) (1)若双曲线的离心率e=2,求实数m的值： (②)若双曲线的离心率e的取值范围为e∈3,6？求实数m的取值范国： (3)直线y=x+1与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 16.(2627高二上河南期中)已知双曲线C:-Y=1a>0)的渐近线方程为y=±2x a261 试卷第3页（共3页） (1)求a的值 (2)设O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线l与C交于A,B两点. (i)若直线l的斜率为2，求AB: (i)若直线OA,OB的斜奉之积为~5求直线I的方程 试卷第4页（共3页） 3.2.2双曲线的简单几何性质同步练 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点以及定义求解即可. 【详解】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此. 设焦点，，已知点在双曲线上， 则，， 因此，得. 所以离心率为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用渐近线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为，即， 故，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：B. 4．（25-26高二上·河南·期中）已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程求得的关系，进而求得离心率. 【详解】∵双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为， ∴，即， ∴， ∴离心率. 故选：B 5．（25-26高二·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C： 绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 6．（25-26高二·浙江·期中）若双曲线，离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由表示双曲线，可得，解得， 当时，双曲线方程为，则，其离心率为，即“”是“”的充分条件； 由上分析知双曲线方程为，则， 当时，由，解得，即“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充分必要条件. 7．（25-26高二·湖北·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用椭圆和双曲线的离心率公式可得出，即可得解. 【详解】由题意可知，且， ，， 所以. 8．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D 二、多选题 9．（26-27高二上·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 10．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，把点代入得到关系求出离心率范围即可． 【详解】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以 ， 从而离心率； 若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以， 从而离心率． 综上可知． 11．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的一条渐近线的方程为，若点在双曲线上，、分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（   ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】先确定双曲线焦点所在的轴，再根据渐近线方程确定双曲线的参数，对于A，由，可得的值，即点到轴的距离，对于B，由的值确定点的坐标，使用两点间距离公式计算的值即可，对于C，由中最长边所对的角的余弦值的正负即可判断是否为钝角三角形，对于D，直接求的余弦值是否等于即可判断是否等于. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，因为双曲线的一条渐近线的方程为， 则有，则， 则，此时有， 对于A：因为的面积为20， 则有，解得， 即到轴的距离为，故A错误； 对于B：由，解得或， 将之代入到，解得或， 即点的坐标可以是， ，取点， 则，， 则，同理代入其它点也满足此结论，故B正确； 对于C：仍取，由B得，，， 则在中，为最长边，则设的对角为， 则有，则有为钝角， 同理代入其它点也满足此结论，故C正确； 对于D：仍取，由B得，，， 则有，则有， 同理代入其它点也满足此结论，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 13．（25-26高二上·河北衡水·期中）记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 【答案】/0.5 【分析】根据双曲线方程求得其虚轴的上端点和渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由：可得实半轴，虚半轴， 故：，即， 则双曲线虚轴的上端点到直线的距离为． 故答案为：． 14．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______. 【答案】 【详解】由题意得，所以， 所以， 所以. 四、解答题 15．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【详解】（1）由已知，可得，解得； （2）由已知，可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 16．（26-27高二上·河南·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. 【详解】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $