精品解析：河北省廊坊市大城县2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题

2026年初中毕业年级质量检测 数学试卷 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 年除夕当天，北京及其他四个春晚分会场所在城市的最低气温如下表所示，则最低气温与合肥最接近的城市是（ ） 城市 北京 合肥 宜宾 哈尔滨 义乌 气温/℃ 1 5 A. 哈尔滨 B. 宜宾 C. 义乌 D. 北京 3. 如图是可以形成“牟合方盖”的一种模型，由两个相同的圆柱和一个正方体组成，则该模型的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算时，2和4直接相乘的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用绳子悬挂在点处的小球绕点转动，小球的运动轨迹是一个直径的圆，则绳子的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，连接，点，，恰好在同一直线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，始终在反比例函数的图象上滑动，且斜边经过原点，与轴负半轴交于点．当的面积等于的面积时，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某光伏电站设计了一款正六边形太阳能板，将其镶嵌在等边三角形支架上，使正六边形的顶点，，落在等边三角形的三边上．已知，，则对下列结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长为2； 结论Ⅱ：点，之间的距离为 A. 结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B. 结论Ⅰ错误，结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都错误 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的相反数是，则____________． 14. 甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，质检员随机各抽取100袋，测得其实际质量并进行统计分析，得到数据如下表所示，则包装糖果的质量更稳定的是____________（填“甲”或“乙”）包装机． 包装机名称 平均质量（g/袋） 方差 甲 乙 15. 已知关于的方程的两个不相等的实数根为，，若，则的值为______________． 16. 如图，的顶点是坐标原点，点，点，动点沿从向运动，连接，过点作，垂足为，连接，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为． （1）若“”内填入的数为，求的值； （2）若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 19. 廊坊市2026年中考体育考试现场测试抽考项目为“引体向上或掷实心球（男生），仰卧起坐或掷实心球（女生）”．某校为掌握全体九年级学生对掷实心球项目的备考情况，某次测试后，随机抽取40名九年级学生掷实心球的测试成绩作为样本，从高到低分成A，B，C，D四个等级进行统计，并将结果制成如图所示的统计图． （1）所抽取学生的成绩的中位数会落在________等级； （2）若该校九年级有800名学生，则此次测试成绩达到A级的学生约有________人； （3）已知样本中的A级成绩来自2名男生和2名女生，老师随机从中选取2名学生在体育课上展示，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男一女的概率． 20. 【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） （1）线段的长为________米； （2）计算大剧院的高度（）． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 22. 【综合与实践】某数学小组研究如何将一个三角形裁剪拼接成一个特殊四边形． 【理论支持】如图1，是的边的中点，为边上任一点（不与点重合），延长至点，使，连接． （1）求证：； 【动手操作】 （2）解答（1）后该小组发现，在图1中只需将剪下来拼到处，就可得到一个与等面积的梯形，根据这样的理论，解决下列问题． ①如图2，小组将沿剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形，则与之间的数量关系为__________； ②如图3，小组发现将剪两刀后，可将得到的三块图形拼成矩形，小组内的珍珍已画好其中的一条剪切线（，分别为，的中点），请你将另一条剪切线和拼成的矩形画在图3上（画出一种方法即可）； ③如图4，在中，，，分别是边，的中点，小组同学将剪拼成直角梯形，，，求的值． 23. 圆周角定理及其推论是初中数学中很重要的定理，反映了圆心角和圆周角及圆周角之间的关系． 【回顾】 （1）如图1，为的弦，且．点，在弦所对的优弧上，则的度数为________，的度数为________； 【应用】如图2，已知线段．点在所在直线的上方，且．要求：用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形． （2）嘉嘉经过思考后进行了下面的操作，求优弧的长； 如图3． 1．以为边画正方形，连接，，交于点； 2．以点为圆心，长为半径画圆，则位于线段上方的圆弧就是满足条件的点所组成的图形． （3）请你用另一种不同于（2）中的方法按要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）； 【拓展】 （4）如图4，已知建筑物宽为30米，一名摄影师从距点30米的点（点在直线上）出发，沿大桥方向前进（），当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点（最大）时，求他前进的距离． 这个问题可以通过“米勒定理”解决：过点，作，与直线相切于点时，最大，此时的为最佳拍摄点．连接并延长交于点，连接．请你完成解答（求的长）． 24. 在平面直角坐标系中，我们定义纵坐标为横坐标的4倍的点为“倍横点”，例如点，，⋯，都是“倍横点”．如图，抛物线的顶点是“倍横点”，并且抛物线的开口方向和大小均与抛物线相同．设点的横坐标为． （1）若． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，若是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，当的面积最大时，求点的坐标； （2）若抛物线交轴于点． ①随着值的增大，点在轴上的变化情况是否持续向上？若是，请说明理由；若不是，请说明点位置的变化情况； ②将直线，与轴围成的封闭区域（不含边界）记为，设，当随的增大而增大，且抛物线将中的整点（横、纵坐标均为整数）分成个数相同的两部分时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级质量检测 数学试卷 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它是轴对称图形； D、它不是轴对称图形． 2. 年除夕当天，北京及其他四个春晚分会场所在城市的最低气温如下表所示，则最低气温与合肥最接近的城市是（ ） 城市 北京 合肥 宜宾 哈尔滨 义乌 气温/℃ 1 5 A. 哈尔滨 B. 宜宾 C. 义乌 D. 北京 【答案】C 【解析】 【分析】温差的绝对值越小，代表着温度越接近；用合肥的气温分别减去各个城市的气温，计算差值的绝对值，比较大小即可． 【详解】解：与北京温差：；与宜宾温差：；与哈尔滨温差：；与义乌温差：，因此义乌的最低气温与合肥最接近． 3. 如图是可以形成“牟合方盖”的一种模型，由两个相同的圆柱和一个正方体组成，则该模型的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形可得答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上下两个部分，下面是一个正方形，正方形里面有一个面积最大的圆，上面是一个长方形，即看到的图象如下： 4. 下列各式运算时，2和4直接相乘的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式幂的运算规则，需要判断每个选项中2和4的运算类型，找出2和4直接相乘的选项． 【详解】对于A选项 ，是合并同类项，系数2和4做加法运算，不是相乘，不符合要求； 对于B选项 ，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， 原式，这里2和4直接相乘，符合要求； 对于C选项 ，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 原式，2和4做加法运算，不符合要求； 对于D选项 ，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 原式，2和4做减法运算，不符合要求． 5. 实数在数轴上的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴的值可以是． 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义化简，再表示成负整数幂的形式即可． 【详解】解： ． 7. 如图，用绳子悬挂在点处的小球绕点转动，小球的运动轨迹是一个直径的圆，则绳子的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点C，由三线合一定理可得，再根据直角三角形中斜边长大于直角边长可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点C， 由题意得，， ∴， ∵在中，， ∴绳子的长度不可能是． 8. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重，列出方程组即可． 【详解】解：根据“六鸡、七鸭共重24千克”可得， 根据“互换其中一只，恰好一样重”可得， 故可列方程组为． 9. 生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，连接，点，，恰好在同一直线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，则可得，再求出，据此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，始终在反比例函数的图象上滑动，且斜边经过原点，与轴负半轴交于点．当的面积等于的面积时，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式可证明，由反比例函数的对称性可推出，则是的中位线，据此可证明轴，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵的面积等于的面积，且， ∴， ∴； ∵斜边经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点A与点C关于原点对称， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，即轴， ∵在等腰直角三角形中， ， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 12. 如图，某光伏电站设计了一款正六边形太阳能板，将其镶嵌在等边三角形支架上，使正六边形的顶点，，落在等边三角形的三边上．已知，，则对下列结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长为2； 结论Ⅱ：点，之间的距离为 A. 结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B. 结论Ⅰ错误，结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都错误 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明，得到，进一步证明是等边三角形，得到；证明，可得，故结论Ⅰ正确；过点M作于点F，证明，，得到，则，利用勾股定理求出的长，可得结论Ⅱ错误． 【详解】解：如图所示，连接， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，故结论Ⅰ正确； 如图所示，过点M作于点F， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论Ⅱ错误． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的相反数是，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵的相反数是，， ∴． 14. 甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，质检员随机各抽取100袋，测得其实际质量并进行统计分析，得到数据如下表所示，则包装糖果的质量更稳定的是____________（填“甲”或“乙”）包装机． 包装机名称 平均质量（g/袋） 方差 甲 乙 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵甲包装机和乙包装机包装糖果的平均质量相同，而乙包装机的包装糖果质量的方差小于甲包装机的包装糖果质量的方差， ∴包装糖果的质量更稳定的是乙包装机． 15. 已知关于的方程的两个不相等的实数根为，，若，则的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得到，，，结合求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为，， ∴，即， ，， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴． 16. 如图，的顶点是坐标原点，点，点，动点沿从向运动，连接，过点作，垂足为，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点C，连接，根据中点坐标公式求出点C的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长，根据直角三角形的性质得到，根据，得到当O、C、H三点共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点C，连接， ∵，， ∴，即， ， ∴； ∵，即， ∴； ∵， ∴当O、C、H三点共线时，有最小值，最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为． （1）若“”内填入的数为，求的值； （2）若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘法法则先计算乘法，再计算减法； （2）设“”内填入的数为，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设“”内填入的数为， 由题意得， 解得：， ∴“”内所填的最大整数为0． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【解析】 【详解】略 19. 廊坊市2026年中考体育考试现场测试抽考项目为“引体向上或掷实心球（男生），仰卧起坐或掷实心球（女生）”．某校为掌握全体九年级学生对掷实心球项目的备考情况，某次测试后，随机抽取40名九年级学生掷实心球的测试成绩作为样本，从高到低分成A，B，C，D四个等级进行统计，并将结果制成如图所示的统计图． （1）所抽取学生的成绩的中位数会落在________等级； （2）若该校九年级有800名学生，则此次测试成绩达到A级的学生约有________人； （3）已知样本中的A级成绩来自2名男生和2名女生，老师随机从中选取2名学生在体育课上展示，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男一女的概率． 【答案】（1）B （2）80 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义判断即可； （2）将该校九年级的人数乘以样本中成绩达到A级的学生比例即可解答； （3）画树状图或列表求出所有等可能的结果数和所选2名学生恰好为一男一女的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵抽取40名学生进行测试， ∴中位数是将频数从小到大排序后，第20，21个数据的平均数， ∵， ∴第20，21个数据落在B等级， ∴所抽取学生的成绩的中位数会落在B等级． 【小问2详解】 解：（人）， 所以此次测试成绩达到A级的学生约有80人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中所选2名学生恰好为一男一女的结果为8种， ∴所选2名学生恰好为一男一女的概率为． 20. 【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） （1）线段的长为________米； （2）计算大剧院的高度（）． 【答案】（1）60 （2）51.75米 【解析】 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 【答案】（1）②，④，10，5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对应的状态读数即可； （2）先设直线解析式，再将两点代入解析式求出即可； （3）将代入函数解析式，求出对应的值，再根据求值即可． 【小问1详解】 解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力 一直在减小 点 对应状态为②，点 对应状态为④ 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ， 【小问2详解】 解：设 ， 将，的坐标分别代入，得，解得， ∴当 时， 关于 的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当 时， ， （N）． 即此时圆柱体所受浮力为 ． 22. 【综合与实践】某数学小组研究如何将一个三角形裁剪拼接成一个特殊四边形． 【理论支持】如图1，是的边的中点，为边上任一点（不与点重合），延长至点，使，连接． （1）求证：； 【动手操作】 （2）解答（1）后该小组发现，在图1中只需将剪下来拼到处，就可得到一个与等面积的梯形，根据这样的理论，解决下列问题． ①如图2，小组将沿剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形，则与之间的数量关系为__________； ②如图3，小组发现将剪两刀后，可将得到的三块图形拼成矩形，小组内的珍珍已画好其中的一条剪切线（，分别为，的中点），请你将另一条剪切线和拼成的矩形画在图3上（画出一种方法即可）； ③如图4，在中，，，分别是边，的中点，小组同学将剪拼成直角梯形，，，求的值． 【答案】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）由点D是的中点得到，根据“”即可证明； （2）①根据题意可得，，即可推出； ②过点A沿着与垂直的方向剪一刀，将分为两个直角三角形，即和，分别放在和处即可； ③过点A作于点P，证明四边形为矩形，得到．在中，由得到，结合N是的中点，可得出．在中，，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①沿剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形， ∴，， ∴； ②∵点D，E分别是，的中点， ∴， 由剪切与拼接可得，， ∴，，，，， ∴， ， ∴点M，E，D，N在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ③过点A作于点P， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵在中，， ∴． ∵N是的中点， ∴． ∵在中，， ∴． 23. 圆周角定理及其推论是初中数学中很重要的定理，反映了圆心角和圆周角及圆周角之间的关系． 【回顾】 （1）如图1，为的弦，且．点，在弦所对的优弧上，则的度数为________，的度数为________； 【应用】如图2，已知线段．点在所在直线的上方，且．要求：用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形． （2）嘉嘉经过思考后进行了下面的操作，求优弧的长； 如图3． 1．以为边画正方形，连接，，交于点； 2．以点为圆心，长为半径画圆，则位于线段上方的圆弧就是满足条件的点所组成的图形． （3）请你用另一种不同于（2）中的方法按要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）； 【拓展】 （4）如图4，已知建筑物宽为30米，一名摄影师从距点30米的点（点在直线上）出发，沿大桥方向前进（），当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点（最大）时，求他前进的距离． 这个问题可以通过“米勒定理”解决：过点，作，与直线相切于点时，最大，此时的为最佳拍摄点．连接并延长交于点，连接．请你完成解答（求的长）． 【答案】（1）50°；50° （2）π （3）所求图形，如图所示； （4）米 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理求解即可； （2）由作图过程可知四边形是正方形，得到，，可求出的半径，根据弧长公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交于点C，在垂直平分线上取点O，使得，以点O为圆心，的长为半径画弧，则优弧为所求； （4）由切线的性质得到，由是直径，得到，则，从而有，再由得到，结合，可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，在弦所对的优弧上， ∴． 【小问2详解】 解：由作图过程可知四边形是正方形，， ∴，即， ，，， ∴的半径， ∴优弧的长为． 【小问3详解】 解：连接，， 由作图可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即优弧为所求． 【小问4详解】 解：∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为米． 24. 在平面直角坐标系中，我们定义纵坐标为横坐标的4倍的点为“倍横点”，例如点，，⋯，都是“倍横点”．如图，抛物线的顶点是“倍横点”，并且抛物线的开口方向和大小均与抛物线相同．设点的横坐标为． （1）若． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，若是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，当的面积最大时，求点的坐标； （2）若抛物线交轴于点． ①随着值的增大，点在轴上的变化情况是否持续向上？若是，请说明理由；若不是，请说明点位置的变化情况； ②将直线，与轴围成的封闭区域（不含边界）记为，设，当随的增大而增大，且抛物线将中的整点（横、纵坐标均为整数）分成个数相同的两部分时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①（或）；② （2）①不是，点的位置先向上后向下； ②解：当点C在x轴上方或与点O重合时，； 当点C在x轴下方时，， ∴， 当d随k的增大而增大时，或， 一次函数和的图象如图所示，M中的整点有，，，，，共6个． 结合图象，当或时，抛物线的对称轴在y轴右侧，当点C在和之间时，抛物线L将M分成的两部分中各有3个整点． 解方程，得，（不合题意，舍去）； 解方程，得，（不合题意，舍去）． 综上所述，的取值范围为． 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：①由题意可设抛物线的解析式为， ∴当时，抛物线的解析式为（或）； ②对于，当时，； 当时，得，解得，， ∴，，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 当的长最大时，的面积也最大， 设直线的解析式为，将点，的坐标分别代入，解得，， ∴， 设点，则点， ∴． ∵， ∴当时，最大，此时点的坐标为； 【小问2详解】 解：①不是； 当时，， ∴． 令，则，当值增大时，的值先增大后减小， ∴点C的位置先向上后向下； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $