精品解析：河北省石家庄外国语教育集团2025-2026学年下学期九年级中考二模数学试题

2025—2026学年度第二学期九年级数学校模练习 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 关于，用文字语言可以描述为（ ） A. 互为倒数 B. 互为负倒数 C. 是的绝对值 D. 互为相反数 2. 图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. ，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（ ） 小英说：“可以填入．” 小明说：“可以填入．” A. 小英的说法对，小明的说法不对 B. 小英的说法不对，小明的说法对 C. 小英和小明的说法都对 D. 小英和小明的说法都不对 7. 当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 8. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示．则种植鲜花区域的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（ ） A. 只有甲的方案可行 B. 只有乙和丙的方案可行 C. 只有丙的方案可行 D. 甲、乙、丙的方案均可行 11. 如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 12. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 14. 如图，O是的外心，则________． 15. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 16. 如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 18. 完成下列小题； （1）一道习题的解答过程如下： 计算：． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 19. 河北有美丽的风景，热情的河北人民，也有庄严肃穆的革命旧址、星罗棋布的红色遗迹和可歌可泣的红色故事．某学校计划组织学生前往以下5个红色景点中的一个景点进行研学，5个研学景点分别为：A．平山西柏坡；B．晋察冀边区革命纪念馆；C．中国人民抗日军政大学；D．八路军一二九师司令部旧址；E．李大钊故居和纪念馆．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学景点）． （1）请将条形统计图补充完整，意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数是________； （2）若该校共有1800名学生，请你估计全校参加A研学景点的学生人数； （3）甲同学从A，B，D三个景点中随机选择一个参加研学，乙同学从A，B两个景点中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学景点的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； （2）如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 21. 如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． （1）求弦的长度； （2）求阴影部分的面积； （3）过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 22. 情境 如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作 将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现 在图2中， （1）与的数量关系是________． （2）证明：点L，B，N在一条直线上． 探究 （3）将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． （4）在图3中，求证：． 23. 燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； （3）设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 24. 如图1至图3，已知中，，，，点D在边上，． 尝试解决下列问题： （1）求证：； （2）求点D到 的距离； 拓展 如图2与图3，点E在边上（E与B，C不重合），在边上取点F，连接，以，为边作，设，若，与交于点N，解决下列问题． （3）如图2，当点F重合于点D时，求的长； （4）设点G到所在直线距离为d，当阴影为等腰三角形时，直接写出d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期九年级数学校模练习 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 关于，用文字语言可以描述为（ ） A. 互为倒数 B. 互为负倒数 C. 是的绝对值 D. 互为相反数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数．根据互为相反数的两数和为0直接确定答案即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴互为相反数， 故选：D． 2. 图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可判断． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂乘法法则，以及积的乘方法则依次计算各选项，即可得解。 本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方运算法则． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 4. ，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系，计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为，则两根之积 ， ∵原方程为，可得， ∴ ． 5. 嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题思路是先根据速度关系表示嘉嘉的速度，统一时间单位后，利用公式“时间=路程÷速度”得到两人走完全程的时间，再根据时间差列方程． 【详解】解：∵爸爸的平均速度为，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍， ∴嘉嘉的平均速度为． ∴爸爸走完全程的时间为，嘉嘉走完全程的时间为． 统一单位：， ∵嘉嘉比爸爸少用了，即嘉嘉的用时加上少用的时间等于爸爸的用时， ∴可列方程． 6. 在中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（ ） 小英说：“可以填入．” 小明说：“可以填入．” A. 小英的说法对，小明的说法不对 B. 小英的说法不对，小明的说法对 C. 小英和小明的说法都对 D. 小英和小明的说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把小括号内的二次根式化简，再合并同类二次根式得到，再分别代入和计算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当填入时，原式，是有理数，符合题意； 当填入时，原式，是有理数，符合题意； ∴小英和小明的说法都正确， 故选：C． 7. 当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点，代入得， ，，即：， ∵， ∴，即， 观察四个选项，选项B符合题意． 8. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示．则种植鲜花区域的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设阴影部分3块小长方形的长为，宽为，根据所给图形列关于x和y的二元一次方程组，求出x和y即可求出面积． 【详解】解：设阴影部分3块小长方形的长为，宽为， 由图可得， 解得， 因此种植鲜花区域的面积是：， 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是合理设未知数，正确列出二元一次方程组． 9. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点A的纵坐标可求得点A的横坐标，观察图象，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，且点A的纵坐标为2， ∴， ∴， 观察图象知，不等式的解集为． 10. 甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（ ） A. 只有甲的方案可行 B. 只有乙和丙的方案可行 C. 只有丙的方案可行 D. 甲、乙、丙的方案均可行 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行即可判断甲的方案可行，根据外角的性质即可判断乙的方案可行，根据平行四边形的判定和性质即可判断丙的方案可行． 【详解】解：设两直线a，b所成的角（锐角）的大小为， 甲的方案：∵ ∴， 故甲的方案可行； 乙的方案：根据外角的性质得， ∴， 故乙的方案可行； 丙的方案：根据题意可知，所围成的四边形是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等，可得， 故丙的方案可行． 综上所述，甲、乙、丙的方案均可行． 11. 如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 12. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④错误； 综上所述，正确的选项是①③． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 14. 如图，O是的外心，则________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 15. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿元 000元 元， 根据题意计算售出电影票的张数：． 16. 如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形的性质证明四边形是正方形，，再证明可得，由此即可求出两个正方形的面积比． 【详解】解：设，则，， 连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴四边形是正方形， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，代数式求值，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）根据运算程序列出方程，得出的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解； （2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 解得： 乙的计算结果为： 【小问2详解】 解：依题意， ∴ ∴ 解得：． 18. 完成下列小题； （1）一道习题的解答过程如下： 计算：． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】（1）解：原计算第一步开始出错； 原式 ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据乘法分配律计算判断，再写出正确的解题过程即可； （2）先根据绝对值、有理数的乘方法则计算，再根据乘法分配律计算，最后合并即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 19. 河北有美丽的风景，热情的河北人民，也有庄严肃穆的革命旧址、星罗棋布的红色遗迹和可歌可泣的红色故事．某学校计划组织学生前往以下5个红色景点中的一个景点进行研学，5个研学景点分别为：A．平山西柏坡；B．晋察冀边区革命纪念馆；C．中国人民抗日军政大学；D．八路军一二九师司令部旧址；E．李大钊故居和纪念馆．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学景点）． （1）请将条形统计图补充完整，意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数是________； （2）若该校共有1800名学生，请你估计全校参加A研学景点的学生人数； （3）甲同学从A，B，D三个景点中随机选择一个参加研学，乙同学从A，B两个景点中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学景点的概率． 【答案】（1） ； ； （2）540人 （3） A B A B D 共有6种等可能的结果，其中两位同学选择相同研学景点的结果有2种， ∴两位同学选择相同研学景点的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据E的人数除以占比得到总人数，根据D的占比乘以总人数得到D的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得A的人数，进而补全统计图，根据E的占比乘以即可得出意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数； （2）根据样本估计总体，用乘以样本中A的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：(名) (名) (名) 补全统计图略 （度） 【小问2详解】 解：（人） 估计全校参加A研学景点的学生人数为人； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； （2）如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】（1） （2）尺规作图如图： ； 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 21. 如图，射线交于点B，A，的半径为2，圆心O到的距离为1，连接，交于点G，且．一动点P从点G出发，在圆周上顺时针运动，运动一周立即停止． （1）求弦的长度； （2）求阴影部分的面积； （3）过点M作的切线，直接写出P点恰好运动到直线上时走过的路程． （参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）P点恰好运动到直线上时走过的路程为或 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点C，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理即可求解； （2）连接，先求出，然后根据求解即可； （3）当P点恰好运动到直线上时，则点P为切点，连接，则，解直角三角形求出，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：连接，过点O作于点C， 依题意，在中，， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵过点M作的切线，P点恰好运动到直线上， ∴点P为切点，连接，则， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 当点P位于时，运动路程：， 当点P位于时，运动路程：， 综上可知，P点恰好运动到直线上时走过的路程为或． 22. 情境 如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作 将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现 在图2中， （1）与的数量关系是________． （2）证明：点L，B，N在一条直线上． 探究 （3）将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． （4）在图3中，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵旋转， ∴，， 在中，， ∴，即 ∴点L，B，N在一条直线上； （3）矩形 （4）证明：连接，，， ∵D、E分别是、中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，然后根据邻补角的定义求解即可； （2）根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，代入求出，即可得证； （3）根据旋转的性质得出，K、D、I在同一直线上；，H、E、M在同一直线上，同（2）可证，由平移的性质得出，则，故T、N、M在同一直线上，然后根据矩形的判定即可得出结论； （4）连接，，，根据三角形中位线定理得出，，根据已知比例求出，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形， ∴，K、D、I在同一直线上， 同理，H、E、M在同一直线上， 同（2）可证， ∵平移， ∴，， ∴， ∴T、N、M在同一直线上， ∴四边形是矩形； 【小问4详解】 略 23. 燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； （3）设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】（1） （2）不存在安全隐患，理由见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； 【小问3详解】 解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图1至图3，已知中，，，，点D在边上，． 尝试解决下列问题： （1）求证：； （2）求点D到 的距离； 拓展 如图2与图3，点E在边上（E与B，C不重合），在边上取点F，连接，以，为边作，设，若，与交于点N，解决下列问题． （3）如图2，当点F重合于点D时，求的长； （4）设点G到所在直线距离为d，当阴影为等腰三角形时，直接写出d的值． 【答案】（1）证明：，是公共角， ． （2） （3） （4）的值为或或． 【解析】 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定即可； （2）根据可求，进而根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）首先过点A作平行线交延长线于点K， 通过构造“一线三等角”的相似模型，利用相似三角形的性质求解即可； （4）由于阴影为等腰三角形时，腰和底边并不确定，因此需分类讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ． 如图1，作于点H， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，过点D作于点H，过点A作交的延长线于点K， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， 解得（舍去），． 在中，由勾股定理，得 ． 四边形是平行四边形， ； 【小问4详解】 如图3， 过点A作交的延长线于点K， 同（3）的方法可证 ， ，即， ． 当 是等腰三角形时，存在以下三种情况： ①如图3，当时，则有， ， ， 解得（舍去），． ②如图4，当时，则， ． ，， ． ， ，即， ，解得（舍去），． ③ 如图5，当时，则同②方法可得， ． 由，可得 ，即， ， 解得（舍去），． 如图6，点在任意位置时，分别过点作，，垂足分别为． 在和中，， ． 四边形是平行四边形， ， . 在和中， ， ， 当是等腰三角形时，的值分别为 ，， ； 综上可知，当阴影为等腰三角形时，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $