29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”中“反证法”知识点，以“王戎不取道旁李”故事导入，从生活推理过渡到数学方法，通过作图探究共线三点不能作圆，逐步引出反证法四步流程，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用历史故事培养数学眼光，通过“假设-推理-矛盾-结论”步骤发展推理意识，结合等腰三角形底角锐角证明等实例强化逻辑思维，帮助学生感悟“正难则反”思想，教师可借助结构化流程提升教学效率。

29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 第2课时 反证法 第二十九章 圆 人教版2026·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能用自己的语言描述反证法的基本思想，知道反证法是一种间接证明方法.能准确说出反证法的四个基本步骤，并能在具体证明中按步骤规范书写. 能用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”，并能解释每一步的逻辑依据. 在证明过程中，体会“正难则反”的思维策略，感受数学证明的严谨性和逻辑力量，发展理性思维. 导入新课 还记得小学学过的这篇课文吗？ 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？ 他运用了怎样的推理方法？ 矛盾 推论 导入新课 王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？ 王戎的推理方法 假设:李子是甜的. 树在“道”边，如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子 但树上结满了李子，这样“树在道边而多子” 与“早被人摘光”相矛盾 结论：所以假设不成立，李为苦李. 导入新课 王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？ 这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法. 今天我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论. 树在道边而多子，此必苦李. 反 证 法 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 画一画 如图，在纸上先画一条直线，在直线上取三点A、B、C，尝试过这三点作圆，能作出来吗？试一试 A B C l 作图分析 （1）过A、B两点作AB的垂直平分线l₁ （2）过B、C两点作BC的垂直平分线l2 找圆心 l1 l2 ∟ 不 能 l₁与l2没有交点 过直线上的三点A、B、C画不出圆 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 议一议 如图，在直线上取三点A、B、C，过这三点为什么作不出来圆？ （1）圆心如何确定？ A B C l l1 l2 ∟ 过A、B的圆心在AB的垂直平分线l₁上； 过B、C的圆心在BC的垂直平分线l₂上； ∵A、B、C在同一直线l上， ∵l₁⊥AB，l₂⊥BC ∴AB和BC在同一直线l上 ∴ l₁∥l₂ （垂直于同一条直线的两直线平行） ∵l₁∥l₂ ∴l₁与l2没有交点 ∴无法作出一个圆，使得这个圆同时过同一条直线上的三点A、B、C （2）l₁和l₂是什么关系？ ∴l₁⊥ l ，l₂⊥ l ∴找不到同时满足过点A、B、C的圆的圆心 （3）l₁和l₂的位置关系对作图由什么影响？ 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 议一议 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 已知：A、B、C是直线l上的三个点. 求证：经过A、B、C三点不能作圆. 问题分析 第1步——假设，假设结论不成立，设结论的反面成立 假设经过A、B、C三点可以作圆，设圆心为O。 A B C l l1 l2 ∟ O 第2步——推理，在假设成立条件下结合已知条件进行推理 ∵ A、B、C三点在在⊙O上 ∴ OA = OB，OB = OC（ 圆心到圆上各点的距离相等）。 ∴点O在线段AB的垂直平分线上l₁且点O在线段BC的垂直平分线l2上 （到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 即l₁ 与l2交于点O 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 议一议 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 已知：A、B、C是直线l上的三个点. 求证：经过A、B、C三点不能作圆. 问题分析 A B C l l1 l2 ∟ O 第3步——找矛盾： 根据推理找出所得的新结论与已知条件或事实相矛盾 由假设推得l₁ 与l2交于点O ∵ l₁⊥ l ，l₂⊥ l ∴过O点有两条直线l₁ 与l2都垂直与直线l 这与几何事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 第4步——下结论：由矛盾推出假设不成立，原结论成立 ∴经过同一直线上的三个点不能作圆. 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 议一议 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 已知：A、B、C是直线l上的三个点. 求证：经过A、B、C三点不能作圆. 规范证明 A B C l l1 l2 ∟ O 证明：假设经过A、B、C三点可以作圆，设其圆心为O. ∵ A、B、C三点在在⊙O上 ∴ OA = OB = OC（ 圆心到圆上各点的距离相等） ∴ 点O在线段AB的垂直平分线上；点O在线段BC的垂直平分线上. ∴点O是线段AB的垂直平分线上l₁与线段BC的垂直平分线l2的交点. ∵ l₁⊥ l ，l₂⊥ l ∴过O点有两条直线l₁ 与l2都垂直与直线l 这与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 经过同一直线上的三个点不能作圆. 新知探究 探究点1 过共线三点能否作圆 （1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。 （2）经过一个已知点能作无数个圆。 （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这无数个圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 注 意 议一议 这个结论与上一节课的定理有什么关系？ 三点定圆 定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. 隐含了“共线三个点不能作圆”这一反面情况 新知探究 探究点2 反证法的概念与步骤 议一议 证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明有什么不同？ ►然后由矛盾断定所作假设不正确，是错误的,从而得到原命题成立.即所求证的命题正确. ►在证明一个命题时先假设命题不成立，即先提出与结论相反的假设, 不是直接去证明它不是直接去证明命题的结论 ►从假设出发,经过推理，再得出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果 反证法 假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 新知探究 探究点2 反证法的概念与步骤 归一归 1.反证法概念 提出假设：假设命题结论不成立 引出矛盾 （即命题结论反面成立） 与已知条件矛盾 由假设出发 推理得出的结论 与定理，定义，基本事实矛盾 所证命题成立 假设不成立 2.反证法说理流程 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 新知探究 探究点2 反证法的概念与步骤 议一议 王戎推理过程 1. 假设：假设命题的结论不成立 2. 推理：从假设出发，结合已知条件进行推理 3. 矛盾：推出矛盾 4. 结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论成立 反证法四步： 假设 → 推理 → 矛盾 → 结论. 新知探究 探究点2 反证法的概念与步骤 议一议 反证法与我们以前学过的证明方法有什么不同？ 以前：从已知条件直接推出结论.（直接证明） 反证法：先假设结论不成立，推出矛盾，从而间接确认结论成立（间接证明） 反设 1.先假设命题的结论不成立； 2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾；从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果 归谬 3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 结论 新知探究 议一议 探究点3 反证法的适用情境 结论以否定形式出现 如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 什么情况下适合用反证法？ 2. 结论的反面情况较少： 结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳，较为繁琐. 平行线不相交 ——结论是否定形式，适合反证法 在一个三角形中，至少有一个角大于等于60°” ——结论的否定是“三个角都小于60°”，反面情况单一，也适合反证法 新知探究 议一议 探究点3 反证法的适用情境 什么情况下适合用反证法？ 3. 直接证明困难时： 从已知条件难以直接推出结论，但假设结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等。直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. “共线三点不能作圆” ——结论是“不能”，适合反证法. 新知探究 试一试 探究点3 反证法的适用情境 “两直线平行，同位角相等”由“两直线平行”直接推导较困难，试采用反证法说明 A B C D E F O A' B' 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2 ， 过O作直线A′B′，使∠1=∠2. ∴A′B′//CD（同位角相等，两直线平行） ∴过点O就有两条直线AB， A′B′平行于直线CD， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾 ∴ ∠1≠∠2的假设不成立，原命题结论正确， 即 ∠1=∠2. 已知：如图，AB//CD ，∠1、∠2是同位角 ， 求证：∠1=∠2 新知探究 试一试 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角. 分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论. 探究点3 反证法的适用情境 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角， 那么底角，是直角或者钝角。 ∵ ，∴ 。 情况①：假设底角为直角， 即 ∴ ， 这与 “三角形内角和等于” 矛盾。 已知：在中，，、是底角。 求证：，都是锐角。 A B C 情况②：假设底角为钝角， 即 那么 ， 可得 ， 同样与“三角形内角和等于” 矛盾。 综上，假设不成立。 ∴ 等腰三角形的底角一定是锐角。 典例分析 例1.利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 证明：假设三角形的三个内角中有两个钝角， 不妨设∠A＞90°，∠B＞90°， ∴， 这与三角形内角和为相矛盾， ∴，∠B＞90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角． A B C 已知： 为△ABC的内角 求证： 中不能有两个角是钝角 新知巩固 1.用反证法说明:400人中至少有两个人的生日相同. 课本P119 证明：假设 400 人中没有任何两个人的生日相同。 ∵一年最多有366天（闰年）。 ∴如果所有人的生日都互不相同，那么最多只能有366个人，每个人分别占一年中不同的一天。 ∵现在总共有400人， 400>366 ∴400人里还有人没有日期对应，多出的人的生日日期要与366个人中某些日期重合，这与假设“400 人中没有任何两个人的生日相同”产生矛盾 ∴不可能有 400 个人，生日全都互不相同。 ∴假设不成立，400 人中至少有两个人的生日相同。 新知巩固 2.用反证法说明:一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设△ABC中 中有两个直角， 不妨设∠A=∠B=90°， ∴ ∴， 这与“三角形内角和为” 相矛盾， ∴B=90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是直角． A B C 课本P119 已知： 为△ABC的内角 求证： 中不能有两个角是直角 O 图2 拓展提升 1．如图，已知中，， (1)用尺规作的外接圆O； (2)若的半径为4，求扇形的面积． （1）解：如图1，即为所求； （2）解：如图2，连接，AO ∵ 是的外接圆 ∴=AO ∴ ， ∵， ∴ += ， O 图1 ∴． 真题感知 1．（2026.经开校考）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 这与“三角形三个内角的和等于180°” 相矛盾. 所以假设 不成立，所求证的结论成立.原命题正确 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 证明: 假设所求证的结论不成立，在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，都小于；即 ∠A < 60° ，∠B<60° ，∠C <60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 真题感知 2.（2026.聊城统考）已知：a∥b，b∥c.求证：a∥c. 证明：假设a与c不平行， 则a与c相交，设交点为P. ∴直线a过P点，直线c过P点 ∵ a∥b ∴ 过点P有一条直线a与b平行。 又 ∵ c∥b， ∴ 过点P还有一条直线c与b平行。 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴ 假设不成立，即a∥c. a b c P 课堂小结 反证法 ——先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立的间接证明方法. 四个步骤： 假设 → 推理 → 矛盾 → 结论（缺一不可）. 用反证法证明了“经过同一直线上的三个点不能作圆”. 知识与技能 课堂小结 ＊正难则反：当直接证明困难时，转向证明结论的反面不成立，从而间接肯定结论. ＊转化思想：将“证明结论成立”转化为“证明结论不成立会导致矛盾”. ＊逻辑推理：反证法的核心是逻辑的严谨性——每一步推理都必须有依据. 思想与方法 课堂小结 ＊假设错误：假设必须是“结论的反面”，不能把结论的某种特殊情况作为假设. ＊矛盾不明确：推理的最后一定要明确指出“与XX矛盾”，不能含糊带过. ＊推理跳步：从假设到矛盾，每一步推理都要有依据，不能凭空想象. ＊适用范围：并非所有命题都适合用反证法，直接证明简便时应优先使用直接证明. 易错点提醒 已知：在同一平面内，直线，直线与直线相交于A点。 求证：直线与直线也相交。 8.用反证法说明:在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交. 习题 29.1 课本p120页 课后练习 证明：假设结论不成立，即与不相交。 ∵ 在同一平面内，两条直线不相交，则两直线平行， ∴ 。 ∵直线与直线相交于A点 ∴直线经过点A，直线经过点A 又∵ ， ∴过点A有两条直线平行于直线b， 这与平行事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾 ∴ 假设不成立，直线与直线相交 ∴在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。 A 课后练习 9.在⊙O中，点C，D在弦AB上，且AC=BD. (1)如图(1)，弦AB经过圆心O，求证OC=OD; (2)如图(2)，弦AB不经过圆心O，OC与OD是否仍相等?说明理由. 习题 29.1 课本p120页 （1）证明： ∵弦AB经过圆心O ∴ OA=OB ∵ AC=BD ∴ OA-AC=OB-BD 即OC=OD; （2）证明：连结OA，OB ∴OA=OB ∴ ∠A=∠B ∵ AC=BD ∴△AOC≌△BOD （SAS） ∴OC=OD（全等三角形对应边相等） 课后练习 探索发现 等宽曲线 课本p121页 探究性作业 1.什么是等宽曲线？ 如果一条凸闭曲线在任意方向上的宽度都相等，就称它为等宽曲线（Curve of Constant Width）。 1. 必须是凸曲线（凹曲线不存在支撑线） 2. 任意方向宽度都等于同一个常数 d 3. 圆是最平凡的等宽曲线 4. 但圆不是唯一的等宽曲线！ 课后练习 课本p121页 2.关键特征 探索发现 等宽曲线 课后练习 探索发现 等宽曲线 3.还有哪些等宽曲线？ 构造规律 以奇数边正多边形为骨架，用同样的方法可以构造无穷多种等宽曲线；偶数边正多边形则不行。 课后练习 探索发现 等宽曲线 4.等宽曲线性质 巴比埃定理 所有宽度为 d 的等宽曲线， 周长都等于 πd。与形状无关！ 面积极值 同宽度 d 的等宽曲线中： 圆面积最大，莱洛三角形面积最小 周长相同的情况下，形状可以千差万别 ——这正是等宽曲线最迷人的地方。 5.等宽曲线在生活中的应用 莱洛方孔钻头 利用莱洛三角形的等宽性，钻头在方形导向框内旋转可钻出近似正方形的孔。 等宽曲线硬币 部分国家硬币采用等宽曲线外形，投币机只需测量一个方向的宽度，即可识别硬币面值。 防坠落井盖 任何等宽曲线形状的井盖，都不会从井口掉下去，圆形只是其中最常见的一种。 课后练习 探索发现 等宽曲线 谢谢聆听 $