期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共80题）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共80题）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　期中复习　第一章 勾股定理　第二章 实数　第三章 位置与坐标 含 12 个考点例题　/　共 80 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能用勾股定理a²+b²＝c²由两边求第三边，会用“面积算两遍”求斜边上的高；会用a²+b²＝c²判别直角三角形，认识28，45，53这类勾股数；会把圆柱、长方体表面的最短路线和折叠问题转化成直角三角形。 2．能说清平方根、算术平方根、立方根的区别，会开平方、开立方解方程；能把实数分成有理数与无理数，会在数轴上作出表示这类数的点，会用相邻平方数估算无理数、求整数部分与小数部分。 3．会用二次根式的乘法、除法法则化简，能把结果化成最简二次根式，完成含乘法公式的混合运算。 4．会用有序数对和“方位角＋距离”描述位置；会由点的坐标判断象限、求点到坐标轴的距离；会写出关于x轴、y轴对称的点的坐标；会用勾股定理求两点间距离，用割补法求坐标系中三角形的面积。 学习重难点 重点：勾股定理及直角三角形的判别条件；折叠、展开中的勾股方程；平方根与立方根、实数的分类与估算；二次根式的化简与混合运算；点的坐标特征、关于坐标轴对称的点的坐标；坐标系中两点间距离与割补法求面积。 难点：两边求第三边时要分清斜边还是直角边，题目没指明时必须分类；折叠问题要找准对应相等的线段再设未知数列方程；＝|a|去掉根号要看a的符号；开平方漏负根、把拆成+是最常见的两类错误；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，已知距离求坐标要考虑多个象限。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　勾股定理：直角三角形三边之间的数量关系 3 知识点 02　用面积验证勾股定理（拼图法） 3 知识点 03　直角三角形的判别条件与勾股数 3 知识点 04　勾股定理的应用：展开、折叠与实际测量 4 知识点 05　平方根、算术平方根与立方根 4 知识点 06　实数的分类与数轴 4 知识点 07　估算：用两个相邻整数夹住一个无理数 5 知识点 08　二次根式的化简与运算 5 知识点 09　确定位置：有序数对与方位角加距离 6 知识点 10　平面直角坐标系：象限与点到坐标轴的距离 6 知识点 11　轴对称与坐标变化 7 知识点 12　坐标系中求线段长与图形面积 7 考点 1　勾股定理求边长与斜边上的高 8 考点 2　直角三角形的判别与勾股数 9 考点 3　折叠求长与立体表面最短路径 10 考点 4　用勾股定理解决航海与测量问题 12 考点 5　平方根与立方根的计算与开方解方程 13 考点 6　实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 14 考点 7　无理数的估算、整数部分与比较大小 15 考点 8　二次根式的化简与混合运算 15 考点 9　有序数对与“方位角＋距离”确定位置 16 考点 10　点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 17 考点 11　关于坐标轴对称的点的坐标 18 考点 12　坐标系中的割补法求面积与线段长 19 易错专练 20 课后作业（一）基础巩固 21 课后作业（二）能力进阶 22 课后作业（三）拓展延伸 23 参考答案与解析 24 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　勾股定理：直角三角形三边之间的数量关系 北师大版第一章用数格子、割补面积的办法得出：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。若直角三角形ABC中∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a²+b²＝c²。用法只有两类：已知两条直角边求斜边，c＝；已知斜边和一条直角边求另一条直角边，b＝。例如两条直角边为9和40时，斜边为＝41。使用前先找准直角，直角所对的边才是斜边。 a²+b²＝c²（c为斜边） c＝，a＝ 面积双算：直角边乘积÷2＝斜边×斜边上的高÷2 知识点　02　用面积验证勾股定理（拼图法） 教材用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形：外框正方形边长为a＋b，中间空出一个边长为c的正方形。同一个大正方形的面积用两种方法表示：整体算是(a+b)²，分块算是4个三角形加上中间的小正方形，即4×ab/2+c²。两式相等，化简得a²+b²＝c²。这种“同一面积算两遍”的思路，后面求斜边上的高、坐标系里求三角形面积时还会反复用到。 (a+b)²＝4×+c² 化简：a²+2ab+b²＝2ab+c²，得a²+b²＝c² 知识点　03　直角三角形的判别条件与勾股数 反过来，如果三角形三条边的长度a，b，c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，并且c所对的角是直角。判别时先找出最长边，再比较“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”。满足a²+b²＝c²的三个正整数称为勾股数，例如28，45，53：28²+45²＝784＋2025＝2809＝53²。注意：三个数都必须是正整数才叫勾股数，0.6，0.8，1能组成直角三角形，但不是勾股数。 a²+b²＝c² ⇒ c所对的角是直角 勾股数：三个正整数，且满足a²+b²＝c² 知识点　04　勾股定理的应用：展开、折叠与实际测量 立体图形表面上两点间的最短路线，要先把曲面或几个面展开成平面，再用“两点之间，线段最短”，最后在展开图里找直角三角形。圆柱侧面展开是长方形，从下底一点爬到上底相对的点，直角边分别是圆柱的高和底面周长的一半；长方体要比较几种展开方式，取其中最短的一条。折叠问题抓住“折叠前后对应线段相等”，设未知数后用勾股定理列方程。梯子、旗杆、航行等实际问题，关键是画出示意图、找到直角。 圆柱：路线²＝高²+(底面周长÷2)² 折叠：对应边相等，设x列勾股方程 知识点　05　平方根、算术平方根与立方根 如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根；正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±，其中正的那个叫作a的算术平方根；0的平方根是0，负数没有平方根。如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，记作∛a；每个数都只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。例如1.69的平方根是±1.3，算术平方根是1.3；-0.001的立方根是-0.1。 x²＝a（a≥0）⇒ x＝± x³＝a ⇒ x＝∛a ＝|a|，＝a（a≥0） 知识点　06　实数的分类与数轴 无限不循环小数叫作无理数，如π，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应，每个无理数也能在数轴上找到位置。按正负分，实数分为正实数、0、负实数。开方开不尽的数是无理数，但＝3这类能开尽的数是有理数，要先化简再判断。实数的相反数、绝对值与有理数意义相同，例如|1-＝-1。 实数＝有理数＋无理数 |a|＝a（a≥0），|a|＝-a（a＜0） 知识点　07　估算：用两个相邻整数夹住一个无理数 估算的大小，找两个相邻整数n和n＋1，使n²＜a＜(n+1)²，于是n＜＜n＋1。例如16＜21＜25，所以4＜＜5，的整数部分是4，小数部分是-4。比较两个含根号的数，可以把根号外的正因数移进根号再比被开方数，例如＝，＝，所以＞。 n²＜a＜(n+1)² ⇒ n＜＜n＋1 小数部分＝原数－整数部分 知识点　08　二次根式的化简与运算 形如（a≥0）的式子叫作二次根式。乘法、除法法则：×＝（a≥0，b≥0），÷＝（a≥0，b＞0）。被开方数不含分母、也不含能开得尽方的因数的二次根式叫作最简二次根式；化简时通常要求结果的分母不含根号，例如＝＝。加减时先把各个根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的项合并，例如+＝+＝。以前学过的运算律和乘法公式在实数运算中照样适用。 ×＝，÷＝ ＝（a≥0，b≥0） 先化最简，再合并被开方数相同的项 知识点　09　确定位置：有序数对与方位角加距离 在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据。常用两种方法：一是用有序数对，例如“5排8号”记作(5，8)，两个数的顺序不能交换；二是用“方位角＋距离”，例如“点A在点O北偏东40°方向，距离3 km处”，方位角从正北或正南方向量起。描述两点相对位置时，观测点换了，方向要反过来：A在O的北偏东40°，则O在A的南偏西40°，距离不变。 有序数对(a，b)：顺序不能交换 方位角：先写“北”或“南”，再写偏东或偏西多少度 知识点　10　平面直角坐标系：象限与点到坐标轴的距离 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。点P的坐标(a，b)中，a是横坐标，b是纵坐标。四个象限的符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，到原点的距离是。平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同。 P(a，b)到x轴的距离＝|b|，到y轴的距离＝|a| 到原点的距离＝ 知识点　11　轴对称与坐标变化 以x轴为对称轴的两个点，横坐标一样，纵坐标只差一个符号：(a，b)对应(a，-b)；以y轴为对称轴的两个点，纵坐标一样，横坐标只差一个符号：(a，b)对应(-a，b)。对整个图形也一样：各顶点只把纵坐标变号，所得图形与原图形以x轴为对称轴；只把横坐标变号，则以y轴为对称轴。对称点连成的线段被对称轴垂直平分，所以(a，b)与(a，-b)之间的距离是2|b|。 关于x轴：(a，b)→(a，-b) 关于y轴：(a，b)→(-a，b) 知识点　12　坐标系中求线段长与图形面积 坐标系里求两点间距离：两点横坐标相同或纵坐标相同时直接相减取绝对值；都不相同时，过两点分别作坐标轴的平行线构成直角三角形，两条直角边是横、纵坐标之差的绝对值，再用勾股定理。求三角形面积：有一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，直接用底×高÷2；三边都“斜”时用割补法，先画出各边平行于坐标轴的外框长方形，再减去周围的直角三角形。 AB＝ 割补法：S＝外框长方形面积－周围直角三角形面积 【题型1】勾股定理求边长与斜边上的高 期中卷上勾股定理的计算题几乎都从“找直角、认斜边”开始：已知两边求第三边，只要分清所求的是斜边还是直角边；斜边上的高一律用“面积算两遍”。坐标系里求两点距离，本质也是一次勾股计算。 例1　如图，直角三角形ABC的两条直角边AC＝18，BC＝24（∠ACB是直角），从直角顶点C向斜边AB作垂线，垂足为D。求AB与CD的长。 【分析】∠ACB是直角，AB是斜边，先用勾股定理求AB；CD是斜边上的高，△ABC的面积既等于两条直角边乘积的一半，也等于AB×CD的一半。 【解答】在直角三角形ABC中，由勾股定理得AB²＝AC²+BC²＝18²+24²＝324＋576＝900，所以AB＝30。 由面积相等得AC×BC÷2＝AB×CD÷2，即18×24＝30×CD，所以CD＝432÷30＝14.4。 【方法小结】斜边上的高＝两条直角边的乘积÷斜边。 答：斜边AB的长为30，斜边上的高CD的长为14.4。 题型1　变式：勾股定理求边长与斜边上的高 三道变式分别把勾股计算放进根式、等腰三角形与坐标系，数据都要先判断谁是斜边再代公式。 变式1　以和3为两条直角边的直角三角形，斜边长是________，面积是________。 变式2　如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝14，则△ABC的面积是（　　）。 A．336 B．168 C．175 D．84 变式3　已知坐标系中两点P(-5，-4)和Q(3，11)，O是原点。(1)求线段PQ的长；(2)求点P到原点O的距离。 【题型2】直角三角形的判别与勾股数 判别一个三角形是不是直角三角形，只看三边：两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。四边形里常见的套路是“先用勾股定理求对角线，再用判别条件证出第二个直角”，面积就能拆成两个直角三角形来算。 例1　如图，某校生物园有一块四边形地块ABCD，AB⊥BC，量得AB＝12 m，BC＝16 m，CD＝21 m，DA＝29 m。(1)求∠ACD的度数；(2)要从点C修一条通往边AD的最短小路CE（点E在AD上），求CE的长。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC中求AC，再看△ACD的三边是否满足直角三角形的判别条件；“最短的小路”是点C到AD的垂线段，用面积算两遍求出。 【解答】(1)在直角三角形ABC中，AC²＝AB²+BC²＝144＋256＝400，所以AC＝20（m）。 在△ACD中，AC²+CD²＝400＋441＝841，AD²＝29²＝841，所以AC²+CD²＝AD²，△ACD是直角三角形，AD是斜边，∠ACD＝90°。 (2)垂线段最短，所以CE⊥AD时小路最短。△ACD的面积＝AC×CD÷2＝AD×CE÷2，即20×21＝29×CE，所以CE＝（m）。 【方法小结】四边形中已知四边和一个直角，先连对角线求出它，再用三边判别第二个直角；斜边上的高用“面积算两遍”。 答：(1)∠ACD＝90°；(2)CE的长为 m。 题型2　变式：直角三角形的判别与勾股数 三道变式分别考勾股数的逆向求值、根式三边的判别和格点三角形的判别，最后都要落到一个具体的数上。 变式1　一个直角三角形的三边长分别为m，60，61，其中61是斜边长，则m的值为（　　）。 A．1 B．121 C． D．11 变式2　若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边所对的角是________°，它的面积为________。 变式3　如图，在坐标系中描出A(-2，1)，B(2，3)，C(4，-1)三点并连成三角形（坐标纸上一格为1个单位长度）。(1)分别求AB²，BC²，AC²；(2)求证∠ABC＝90°，并求△ABC的面积。 【题型3】折叠求长与立体表面最短路径 折叠问题的关键是“折过去的部分与原来重合”，对应线段相等，设一条线段为x，另一条用x表示，在某个直角三角形里列勾股方程。立体表面的最短路线先展开成平面，长方体要把几种展开方式都算出来再比较。 例1　把一张AB＝24、BC＝25的长方形纸片ABCD按图中方式翻折：以过点A的直线为折痕，使顶点D落到边BC上的点F处，折痕与边CD交于点E。(1)求FC的长；(2)求折痕AE的长。 【分析】折叠后AF＝AD＝BC＝25，EF＝DE。先在直角三角形ABF中求BF，得到FC；再在直角三角形EFC中设CE＝x列方程求出DE，最后在直角三角形ADE中求AE。 【解答】(1)由折叠得AF＝AD＝25，在直角三角形ABF中，BF＝＝＝＝7，所以FC＝BC-BF＝25-7＝18。 (2)设CE＝x，则EF＝DE＝CD-CE＝24-x。在直角三角形EFC中，EF²＝CE²+FC²，即(24-x)²＝x²+324，解得x＝5.25，所以DE＝24-5.25＝18.75。 在直角三角形ADE中，AE＝＝＝＝31.25。 【方法小结】折叠问题先标出所有相等的线段，再在含未知数的直角三角形里列勾股方程；折痕是翻折前后两个直角三角形的公共斜边。 答：(1)FC的长为18；(2)折痕AE的长为31.25。 题型3　变式：折叠求长与立体表面最短路径 三道变式依次是圆柱侧面、长方体表面和坐标系中的折叠，最后一题要把折叠结果写成点的坐标。 变式1　如图，圆柱形罐子的底面周长是42 cm，高是20 cm。罐子外壁下沿有一点A，上沿与A隔着半圈的地方有一点B，蚂蚁贴着侧面从A爬到B，最短要爬________cm。 变式2　如图，长方体盒子的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm（AB＝6，AE方向为宽，AD为高）。蚂蚁要从A点沿着盒子外表面走到G点，所有路线中最短的一条长（　　）。 A． B． C． D．13 变式3　如图，长方形纸片OABC的顶点O在原点，边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，已知A(12，0)，C(0，13)。沿过点C的直线CD折叠（D在OA上），点O恰好落在AB边上的点E处。求点E和点D的坐标。 【题型4】用勾股定理解决航海与测量问题 实际问题先画示意图，把题目里的“竖直”“水平”“正东正北”翻译成直角，再把已知量标到直角三角形的边上。情境数值要合常识：梯子几米长、船每小时十几千米、旗杆十几米高。 例1　如图，竖直墙面的墙角为C。梯子AB长6.5 m，斜靠在该墙面上，A端贴墙，B端着地，B到C的距离是2.5 m。(1)求A端到地面的距离AC；(2)当A端沿墙面下滑0.8 m到D处时，B端移到E处，求B、E两点间的距离。 【分析】墙与地面垂直，∠C＝90°。梯子长度不变，下滑前后各在一个直角三角形中用勾股定理。 【解答】(1)在直角三角形ABC中，AC＝＝＝＝＝6（m）。 (2)下滑后CD＝6-0.8＝5.2（m），梯子底端滑到点E，DE＝6.5 m。在直角三角形DCE中，CE＝＝＝＝3.9（m）。 所以BE＝CE-CB＝3.9-2.5＝1.4（m）。 【方法小结】梯子长度是不变量，下滑前后两个直角三角形共用“斜边＝梯长”。 答：(1)梯子顶端到地面的距离是6 m；(2)B、E两点间的距离是1.4 m。 题型4　变式：航海、测量情境中的勾股计算 三道变式分别是旗杆测量、铁板切割与两船航行，第三题还要把航行结果写成坐标。 变式1　如图，旗杆AB竖直立在水平地面上，从旗杆顶端A垂下的绳子AC拉直后，末端C落在地面上，此时C到旗杆底部B的距离为8 m；已知绳子比旗杆长2 m，则旗杆的高为________m。 变式2　一块长方形铁板长7 dm，宽5 dm，工人沿它的一条对角线把它切成两块，切口的长为（　　）。 A． B．12 C． D．37 变式3　港口O处停着两艘巡逻船。上午8时甲船离港，沿正东方向以15 km/h匀速行驶；同一时刻乙船离港，沿正北方向以8 km/h匀速行驶。(1)到上午10时，两船之间的距离是多少千米？(2)把港口O记为坐标原点，取正东为x轴正方向、正北为y轴正方向，单位长度取1 km，在这个坐标系里，写出上午10时两船各自所在位置的坐标。 【题型5】平方根与立方根的计算与开方解方程 开方解方程分两步：先把含未知数的整体化成“( )²＝a”或“( )³＝a”，再开平方或开立方。开平方一定有正负两个结果（a＞0时），开立方只有一个结果，而且可以是负数。 例1　解下列方程：(1)4(x-1)²＝49；(2)8(x+2)³+27＝0。 【分析】先把含x的整体单独放在等号左边，再开平方（有两个结果）或开立方（只有一个结果）。 【解答】(1)两边除以4，得(x-1)²＝。开平方，得x-1＝±。所以x＝1＋＝或x＝1-＝。 (2)移项，得8(x+2)³＝-27，两边除以8，得(x+2)³＝。开立方，得x＋2＝，所以x＝。 【方法小结】开平方别漏负根；开立方结果的符号与被开方数相同。 答：(1)x＝或x＝；(2)x＝。 题型5　变式：开平方、开立方与方程求解 三道变式依次考平方根的性质、根式与立方根的混合计算、由平方根和立方根反求边长再用勾股定理。 变式1　若3a-2和10-a是同一个正数的两个平方根，则a＝________，这个正数是________。 变式2　式子+∛(-64)的值是（　　）。 A．-9 B．9 C．1 D．-1 变式3　已知a-4的算术平方根是4，b＋6的立方根是3。(1)求a，b的值；(2)把长为a、b的两根木条作为直角边，再配一根木条作斜边围成直角三角形，求第三根木条的长和这个三角形的面积。 【题型6】实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 判断有理数、无理数先化简：能开尽方的根式、分数、有限小数和无限循环小数都是有理数。数轴上作出表示的点，靠的是勾股定理：作一个斜边为的直角三角形，再用圆规把斜边“搬”到数轴上。 例1　如图，在数轴上以表示1的点A为直角顶点，作一条长为2且垂直于数轴的线段AB，连接OB（O为原点）。把圆规的针尖放在O处，将OB绕点O转到数轴正半轴上，得到点C。(1)点C对应的实数是什么？(2)点D对应-1，线段CD有多长？ 【分析】OC＝OB，OB是直角三角形OAB的斜边，用勾股定理求出OB，就知道点C表示的数。 【解答】(1)在直角三角形OAB中，OA＝1，AB＝2，OB＝＝。 因为OC＝OB＝，点C在原点右侧，所以点C表示的数是。 (2)CD＝-(-1)＝+1。 【方法小结】要在数轴上找，就拆成两个平方数之和，作以这两个数的算术平方根为直角边的直角三角形。 答：(1)点C表示的数是；(2)线段CD的长为+1。 题型6　变式：实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 三道变式依次考含根号的绝对值化简、实数分类计数，以及坐标系中由两点距离得到的无理数。 变式1　计算|1-＋-3|的结果是（　　）。 A．-2 B．-4 C．4- D．2 变式2　在，∛9，3.1415926，π-3，，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）这六个数中，无理数有________个，负数有________个。 变式3　平面直角坐标系内，O表示原点，点P的坐标为，。(1)求OP的长度；(2)以O为圆心、OP长为半径画弧，与x轴负半轴交于点Q，写出点Q的坐标，并计算△OPQ的面积。 【题型7】无理数的估算、整数部分与比较大小 估算的依据是平方数：找到夹住被开方数的两个相邻平方数，开方后的两个整数就夹住了这个无理数。整数部分确定后，小数部分＝原数－整数部分，常与代数式求值结合。 例1　已知整数a满足a＜＜a+1，b＝-a。(1)求a和b；(2)求2a-b的值。 【分析】找两个相邻平方数夹住52，确定整数部分，小数部分用“原数－整数部分”表示，并把化成最简二次根式。 【解答】(1)因为49＜52＜64，所以7＜＜8，a＝7。 b＝-7＝-7。 (2)2a-b＝2×7--7)＝14-+7＝21-。 【方法小结】小数部分一定写成“-整数部分”的形式，不能写成近似值。 答：(1)a＝7，b＝-7；(2)2a-b＝21-。 题型7　变式：无理数的估算、整数部分与比较大小 三道变式依次考“最接近的整数”、根式比较大小和坐标系中线段长的估算。 变式1　把用四舍五入法精确到个位，结果是（　　）。 A．1681 B．6 C．7 D．20.5 变式2　比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：________；-1)/2________。 变式3　已知点A(-3，2)与点B(3，-3)。(1)求A、B两点间的距离；(2)AB的整数部分记为a，求AB²-a²的值。 【题型8】二次根式的化简与混合运算 二次根式运算的顺序与有理数相同：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号。每一步都把根式化成最简二次根式，被开方数相同的项才能合并；乘法公式在根式运算中照样适用。 例1　计算：(1)÷-×+；(2)+2)-2)--1)²。 【分析】(1)先算乘除，再把结果化成最简二次根式后合并；(2)前一项用平方差公式，后一项用完全平方公式。 【解答】(1)原式＝-+＝-+＝4+。 (2)原式＝(5-4)-(3-+1)＝1-4+＝-3。 【方法小结】乘除结果能开方的立即开方，加减前逐项化成最简二次根式。 答：(1)4+；(2)-3。 题型8　变式：二次根式的化简与混合运算 三道变式依次考加减中的化简、勾股定理与根式乘法，以及代数式求值与坐标系中的距离。 变式1　计算-+的结果是（　　）。 A． B． C． D． 变式2　已知某直角三角形中，斜边为，其中一条直角边为，那么另一条直角边长为________，这个直角三角形的面积为________。 变式3　已知x＝+1，y＝-1。(1)求x²-y²的值；(2)以O为坐标原点建立平面直角坐标系，点P的位置记作(x，y)，求线段OP的长度。 【题型9】有序数对与“方位角＋距离”确定位置 确定位置要两个数据：有序数对里两个数的顺序有固定含义；方位角都从正北或正南量起。两个方向之间的夹角算出来是90°时，就能把两段距离放进直角三角形用勾股定理。 例1　如图，以灯塔O为观测点，渔船A在灯塔O的北偏西45°方向，距灯塔10海里；货船B在灯塔O的南偏西45°方向，距灯塔24海里。(1)求∠AOB的度数；(2)求两船之间的距离AB。 【分析】北偏西45°与南偏西45°都在正西方向的两侧，各与正西方向成45°，两个角合起来就是∠AOB。 【解答】(1)OA与正西方向的夹角为90°-45°＝45°，OB与正西方向的夹角也是45°，所以∠AOB＝45°＋45°＝90°。 (2)在直角三角形AOB中，AB＝＝＝＝26（海里）。 【方法小结】先由方位角算出夹角，夹角是直角时再用勾股定理求距离。 答：(1)∠AOB＝90°；(2)两船之间的距离为26海里。 题型9　变式：有序数对与“方位角＋距离”确定位置 三道变式依次考座位的有序数对、先东后北的行走路线和观测点互换后的方向描述。 变式1　某礼堂把第3列第5行的座位记作(3，5)。按这种记法，小红的座位(6，2)在第________列第________行；小明坐在小红右侧相隔2列、向后相隔3行的位置，他的座位记作________。 变式2　小亮从学校O出发，先向正东走9 km到达A地，再从A地向正北走12 km到达B地。(1)求B地与学校O之间的距离；(2)若把学校O看作原点，向东、向北分别作为x轴、y轴的正方向，以1 km为1个单位长度，那么A地和B地的坐标各是什么？ 变式3　B地在A地的北偏东35°方向，与A地相距6 km，那么A地在B地的________方向，与B地相距________km。 【题型10】点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 点的位置翻译成坐标条件：在x轴上纵坐标为0，在y轴上横坐标为0；在某个象限里横、纵坐标各有确定的符号；到x轴的距离看纵坐标的绝对值，到y轴的距离看横坐标的绝对值。含字母的坐标题，先由位置列方程或不等式，再求字母。 例1　点P的坐标为(2m-6，m＋2)，m为实数。(1)m取何值时，点P的横坐标为0？此时OP为多少？(2)当点P在第二象限且它到x轴、y轴的距离之和等于6时，求点P的坐标与OP的长。 【分析】在y轴上的点横坐标为0；在第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，两个距离分别是6-2m与m＋2。 【解答】(1)由2m-6＝0，得m＝3，此时P(0，5)，OP＝5。 (2)点P在第二象限，所以2m-6＜0，m＋2＞0，点P到y轴的距离为6-2m，到x轴的距离为m＋2。 由(6-2m)＋(m＋2)＝6，得m＝2，此时P(-2，4)，符合第二象限的要求。 OP＝＝＝。 答：(1)m＝3，OP＝5；(2)点P的坐标为(-2，4)，OP＝。 题型10　变式：点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 三道变式依次考点到坐标轴的距离、由象限判断符号，以及由等腰直角三角形确定点的坐标。 变式1　点M的坐标是(-4，，它和x轴之间的距离为（　　）。 A．4 B． C． D． 变式2　若点A(a，b)在第四象限，则点B(-b，a-b)在第________象限，点C(ab，a)在第________象限。 变式3　如图，在平面直角坐标系中，点A(-3，1)，B(5，1)，点C在第一象限，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形。求点C的坐标及AC的长。 【题型11】关于坐标轴对称的点的坐标 关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号。对称点连成的线段平行于另一条坐标轴，长度就是两个变号坐标之差的绝对值，这让对称与勾股、面积的综合题都能直接算。 例1　如图，在方格纸中建立坐标系，△ABC的三个顶点A(-4，3)，B(-1，4)，C(-2，1)都在格点上。把△ABC沿x轴翻折，得到△A′B′C′。(1)点A′，B′，C′分别落在哪里？用坐标表示；(2)求线段BC和BB′的长。 【分析】关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；BB′平行于y轴，BC用勾股定理求。 【解答】(1)A′(-4，-3)，B′(-1，-4)，C′(-2，-1)。 (2)B、C两点横坐标相差1，纵坐标相差3，BC＝＝；BB′＝4-(-4)＝8。 【方法小结】对称点之间的距离＝变号坐标的绝对值的2倍。 答：(1)A′(-4，-3)，B′(-1，-4)，C′(-2，-1)；(2)BC＝，BB′＝8。 题型11　变式：关于坐标轴对称的点的坐标 三道变式依次考由对称求字母、对称点到原点的距离，以及两次对称后所得三角形的面积与边长。 变式1　若点P(a＋2，5)与点Q(-3，b-1)关于x轴对称，则a＝________，b＝________，＝________。 变式2　点，5)关于y轴的对称点到原点的距离是（　　）。 A．+5 B．36 C．5- D．6 变式3　把点A(5，-2)分别以x轴、y轴为对称轴作对称，得到的点依次记为B、C。(1)分别写出B，C的坐标；(2)求△ABC的面积及BC的长。 【题型12】坐标系中的割补法求面积与线段长 三角形的三条边都不平行于坐标轴时，用外框长方形减去周围的直角三角形求面积；求出面积后，再用“面积÷底×2”就能得到某边上的高，这时底边长由勾股定理求出。 例1　如图，已知△ABC的顶点A(-2，-3)，B(4，-1)，C(1，3)。(1)用割补法求△ABC的面积；(2)求AB边上的高。 【分析】三边都不平行于坐标轴，用割补法；AB的长用勾股定理，高用面积反求。 【解答】(1)作外框长方形，横向从-2到4，长6；纵向从-3到3，宽6，面积为36。 周围三个直角三角形面积分别为6×2÷2＝6，3×4÷2＝6，3×6÷2＝9。 △ABC的面积为36-6-6-9＝15。 (2)AB＝＝＝，AB边上的高为2×15÷＝15/＝。 答：(1)△ABC的面积为15；(2)AB边上的高为。 题型12　变式：坐标系中的割补法求面积与线段长 三道变式依次考坐标轴上一边的三角形、由面积反求点的坐标，以及割补法的完整计算。 变式1　在平面直角坐标系中，O为原点，点A(7，0)，B(-3，4)，则△OAB的面积为________，线段OB的长为________。 变式2　A(-1，2)、B(5，2)是平面直角坐标系中△ABC的两个顶点，第三个顶点C在y轴上，且△ABC的面积为9。(1)点C的坐标是多少？(2)若点C在x轴下方，则BC的长为多少？ 变式3　如图，△PQR的顶点P(-4，1)，Q(2，-3)，R(1，2)，则△PQR的面积为（　　）。 A．30 B．15 C．13 D．17 　易错专练 下面7题集中在期中卷上最容易丢分的地方：两边求第三边不分斜边、平方根与算术平方根混用、去绝对值忘记变号、点的坐标漏象限、根号下的和被拆开、开平方漏负根、坐标轴上找点漏一侧。先自己做，再对照解析里的错误示例和错因。 1．若某直角三角形的三条边中，有两条边的长度分别为40、42，则另一条边的长度为（　　）。 A．58 B． C．58或 D．82 2．分别写出的平方根与0.1296的平方根：前者是________，后者是________。 3．计算：+-3|。 4．若点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则点P的坐标为________。 5．的值是（　　）。 A．10 B．14 C．100 D．50 6．若x³＝-0.008，y²＝0.09，则x＋y＝________。 7．如图，点A(3，4)，点B在x轴上，O为原点，且△AOB的面积为10。求点B的坐标及AB的长。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖期中范围里必会的基本运算与基本概念：选择题每题只有一个选项符合题意，填空题把结果写在横线上。考查次序依次是二次根式乘法、两点距离、算术平方根、勾股计算、点的坐标、立方根、坐标轴上的点、根式混合运算、勾股数与估算。 1．若x＝，y＝，则xy的值是（　　）。 A．36 B．6 C． D．3 2．已知平面直角坐标系中点P的坐标是(-9，12)，则该点到原点的距离为（　　）。 A．15 B．21 C．3 D． 3．的相反数是（　　）。 A．0.7 B．-0.07 C．-0.245 D．-0.7 4．直角边长分别是3.3和5.6的直角三角形，斜边的长为（　　）。 A．8.9 B．42.25 C．6.5 D．9.24 5．已知第二象限内的点P到x轴、y轴的距离依次是4和7，那么点P的横坐标与纵坐标相加得（　　）。 A．-3 B．3 C．11 D．-11 6．0.027的立方根是________，的算术平方根是________。 7．若点N(2b-1，b＋3)在y轴上，则点N到原点的距离为________。 8．计算：-×+÷2＝________。 9．x，84，85三个数组成一组勾股数，其中x＜84，那么x＝________。 10．大于且小于的整数是________。 　课后作业（二）能力进阶 下面9题要把两章的知识接起来用：根式运算与开方解方程、折断与折叠中的勾股方程、坐标系中的实际距离、正方体的开立方、数轴上的化简、正方形边长的估算和坐标系里的等边三角形。每题写出完整的计算过程。 11．计算：(1)-+；(2)-1)²++-。 12．解下列方程：(1)3(x+1)²＝75；(2)(x-3)³＝-4。 13．如图，点C表示大树根部，点A是树尖着地点。树干在距地面8 m的点B处断开；若A、C两点间的距离为15 m，那么这棵大树折断前高多少米？ 14．在校园平面图上建立平面直角坐标系，1个单位长度表示10 m，教学楼A的坐标为(-2，3)，图书馆B的坐标为(4，-5)。(1)求教学楼与图书馆之间的实际距离；(2)食堂C与教学楼A关于y轴对称，写出点C的坐标，并求食堂与图书馆之间的实际距离。 15．如图，实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示（-2＜a＜-1，2＜b＜3）。化简：+|a＋b|-。 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16。沿直线DE把这张纸片折叠后，点B恰好与点A重合，其中D在边BC上，E在边AB上。(1)求BD的长；(2)求折痕DE的长。 17．仓库要做正方体木箱，第一个木箱能装0.343 m³的货物。(1)求这个木箱的棱长；(2)再做一个正方体木箱，容积是第一个的8倍，求新木箱的棱长与表面积。 18．一个正方形花坛的面积为50 m²。(1)花坛的边长是多少米？写成最简二次根式；(2)沿花坛四周围一圈护栏，求护栏的总长，并写出它在哪两个相邻整数之间。 19．如图，，1)，，1)，C(0，-2)是平面直角坐标系中的三点。(1)分别求AB，AC，BC的长；(2)求△ABC的面积。 　课后作业（三）拓展延伸 下面6题需要多走一步：在坐标轴上找等距点、把圆柱展开成长方形、用整体代入求值、借助对称找最短路线、设未知数列勾股方程解决选址问题。 20．如图，A(0，4)，B(8，0)是坐标系中的两点，x轴上有一点P到A、B两点的距离相等。求点P的坐标及PA的长。 21．如图，工人要给一根高24 dm的圆柱形立柱缠彩带，立柱一圈长7 dm，彩带从底部A点起绕侧面恰好一圈到A正上方的B点。彩带最短是多少分米？ 22．已知a＝2+，b＝2-，求a²+b²-ab和＋的值。 23．如图，点A(-1，3)，B(4，2)都在x轴上方，动点P在x轴上移动，要让PA＋PB尽可能小。(1)若A′与A关于x轴对称，求A′的坐标；(2)求PA＋PB的最小值。 24．已知x＝，求x²+x的值。 25．如图，铁路上A，B两站相距20 km，C，D为两个村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝6 km。现要在铁路AB上建一个货运站E，使C，D两村到E站的距离相等。E站应建在距A站多少千米处？ 　参考答案与解析 　题型1　变式：勾股定理求边长与斜边上的高 变式1　【答案】4； 【解析】斜边长为＝＝＝4。 面积为×3÷2＝。 变式2　【答案】B 【解析】作AD⊥BC于点D，由等腰三角形三线合一得BD＝CD＝14÷2＝7。 在直角三角形ABD中，AD＝＝＝＝24。 面积为BC×AD÷2＝14×24÷2＝168，选B。 A：忘了除以2，按此错法真算得14×24＝336；C：把腰长当成BC边上的高，按此错法真算得25×14÷2＝175；D：底边只取了一半，按此错法真算得7×24÷2＝84。 变式3　【答案】(1)PQ＝17；(2)OP＝ 【解析】(1)过P作x轴的平行线、过Q作y轴的平行线，两线交于点M(3，-4)，则∠PMQ＝90°。 PM＝3-(-5)＝8，QM＝11-(-4)＝15，由勾股定理得PQ＝＝＝17。 (2)点P到x轴、y轴的距离分别是4和5，所以OP＝＝。 答：(1)PQ的长为17；(2)点P到原点的距离为。 　题型2　变式：直角三角形的判别与勾股数 变式1　【答案】D 【解析】61是斜边，由勾股定理得m²＝61²-60²＝3721-3600＝121，所以m＝11，选D。 A：把两边直接相减，按此错法真算得61-60＝1；B：求出m²后忘了开平方，按此错法真算得61²-60²＝121；C：把61当成直角边，按此错法真算得＝。 变式2　【答案】90； 【解析】+＝5＋6＝11＝，所以这个三角形是直角三角形，最长边所对的角是直角，即90°。 两条直角边是和，面积为×÷2＝。 变式3　【答案】(1)AB²＝20，BC²＝20，AC²＝40；(2)证明见解析，面积为10 【解析】(1)AB²＝(2+2)²+(3-1)²＝16＋4＝20；BC²＝(4-2)²+(3+1)²＝4＋16＝20；AC²＝(4+2)²+(1+1)²＝36＋4＝40。 (2)因为AB²+BC²＝20＋20＝40＝AC²，所以△ABC是直角三角形，AC是斜边，∠ABC＝90°。 面积为AB×BC÷2＝×÷2＝20÷2＝10。 　题型3　变式：折叠求长与立体表面最短路径 变式1　【答案】29 【解析】把圆柱侧面沿过点A的高剪开展平，得到一个长方形，点A、B之间的水平距离是底面周长的一半，即42÷2＝21 cm，竖直距离是20 cm。 最短路程为＝＝＝29（cm）。 变式2　【答案】C 【解析】把相邻两个面展开成一个长方形，有三种展开方式： ①两直角边为6＋4＝10和3：路程为＝；②两直角边为6＋3＝9和4：路程为＝；③两直角边为4＋3＝7和6：路程为＝。 三者中最短，选C。 A、B分别是只算了第①、②种展开方式的结果（按此错法真算得、）；D把长、宽、高直接相加，按此错法真算得6＋4＋3＝13。 变式3　【答案】E(12，8)，，0) 【解析】由折叠得CE＝CO＝13，DE＝DO。 在直角三角形CBE中，CB＝OA＝12，BE＝＝＝5，所以AE＝AB-BE＝13-5＝8，点E的坐标为(12，8)。 设OD＝DE＝t，则AD＝12-t。在直角三角形DAE中，t²＝(12-t)²+8²，解得t＝，点D的坐标为，0)。 答：点E的坐标为(12，8)，点D的坐标为，0)。 　题型4　变式：航海、测量情境中的勾股计算 变式1　【答案】15 【解析】设旗杆高AB＝x m，则绳长AC＝(x＋2) m，∠ABC＝90°。 由勾股定理得x²+8²＝(x+2)²，即x²+64＝x²+4x+4，解得x＝15。 变式2　【答案】A 【解析】长方形的长、宽与对角线组成直角三角形，对角线是斜边，切口长为＝（dm），选A。 B：把长与宽直接相加，按此错法真算得7＋5＝12；C：把7当成斜边，按此错法真算得＝＝；D：把平方和除以2代替开平方，按此错法真算得(5²+7²)÷2＝37。 变式3　【答案】(1)34 km；(2)甲(30，0)，乙(0，16) 【解析】(1)2 h后甲船航行15×2＝30（km），乙船航行8×2＝16（km）。 正东与正北方向互相垂直，两船与港口组成直角三角形，两船相距＝＝＝34（km）。 (2)甲船在x轴正半轴上，坐标为(30，0)；乙船在y轴正半轴上，坐标为(0，16)。 答：(1)2 h后两船相距34 km；(2)甲船的坐标为(30，0)，乙船的坐标为(0，16)。 　题型5　变式：开平方、开立方与方程求解 变式1　【答案】-4；196 【解析】一个正数的两个平方根互为相反数，所以(3a-2)＋(10-a)＝0，即2a＋8＝0，a＝-4。 此时3a-2＝-14，10-a＝14，这个正数是14²＝196。 变式2　【答案】C 【解析】＝＝5，∛(-64)＝-4，所以原式＝5＋(-4)＝1，选C。 A：误以为＝-5，按此错法真算得-5＋(-4)＝-9；B：把∛(-64)算成4，按此错法真算得5＋4＝9；D：两处符号都弄反，按此错法真算得-5＋4＝-1。 变式3　【答案】(1)a＝20，b＝21；(2)斜边长29，面积210 【解析】(1)由a-4的算术平方根是4，得a-4＝16，a＝20；由b＋6的立方根是3，得b＋6＝27，b＝21。 (2)斜边长为＝＝＝29；面积为20×21÷2＝210。 答：(1)a＝20，b＝21；(2)斜边长为29，面积为210。 　题型6　变式：实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 变式1　【答案】D 【解析】因为1＜＜3，所以1-＜0，-3＜0。 原式＝-1)+(3-＝2，选D。 A：两个绝对值都没有变号，按此错法真算得1-+-3＝-2；B：第二个绝对值没有变号，按此错法真算得-1+-3＝-4；C：第一个绝对值没有变号，按此错法真算得1-+3-＝4-。 变式2　【答案】3；1 【解析】＝-4，＝，3.1415926是有限小数，这三个是有理数。 ∛9开不尽方，π-3含π，0.2020020002…是无限不循环小数，这三个是无理数，共3个。 六个数中只有＝-4是负数，π-3＞0，所以负数有1个。 变式3　【答案】(1)OP＝4；(2)Q(-4，0)，面积为 【解析】(1)OP＝＝＝＝4。 (2)OQ＝OP＝4，点Q在x轴负半轴上，所以Q(-4，0)。 以OQ为底，点P到x轴的距离为高，△OPQ的面积为4×÷2＝。 答：(1)OP的长为4；(2)点Q的坐标为(-4，0)，△OPQ的面积为。 　题型7　变式：无理数的估算、整数部分与比较大小 变式1　【答案】B 【解析】因为36＜41＜49，所以6＜＜7；又6.5²＝42.25＞41，所以＜6.5，精确到个位，结果是6，选B。 A：把求算术平方根当成平方，按此错法真算得41²＝1681；C：只看到比41大的平方数49，按此错法真算得＝7；D：把开平方当成除以2，按此错法真算得41÷2＝20.5。 变式2　【答案】＜；＞ 【解析】＝，＝，18＜20，所以＜。 因为2＜，所以-1＞1，＞。 变式3　【答案】(1)AB＝；(2)12 【解析】(1)A、B两点横坐标相差3-(-3)＝6，纵坐标相差2-(-3)＝5，AB＝＝。 (2)因为49＜61＜64，所以7＜＜8，a＝7。 AB²-a²＝61-49＝12。 答：(1)AB的长为；(2)AB²-a²＝12。 　题型8　变式：二次根式的化简与混合运算 变式1　【答案】A 【解析】＝，＝，＝＝。 原式＝-+＝，选A。 B：把化成了，按此错法真算得-+＝；C：把化成了，按此错法真算得+＝；D：前两项把被开方数直接相减，按此错法真算得+＝。 变式2　【答案】； 【解析】另一条直角边长为＝＝。 面积为×÷2＝÷2＝÷2＝。 变式3　【答案】(1)；(2) 【解析】(1)x+y＝，x-y＝2，xy＝+1)-1)＝3-1＝2。 x²-y²＝(x+y)(x-y)＝×2＝。 (2)OP²＝x²+y²＝(x+y)²-2xy＝12-4＝8，所以OP＝＝。 答：(1)x²-y²＝；(2)点P到原点的距离为。 　题型9　变式：有序数对与“方位角＋距离”确定位置 变式1　【答案】6；2；(8，5) 【解析】有序数对的第一个数表示列，第二个数表示行，所以(6，2)是第6列第2行。 向右相隔2列，列数为6＋2＝8；向后相隔3行，行数为2＋3＝5，小明的座位记作(8，5)。 变式2　【答案】(1)15 km；(2)A(9，0)，B(9，12) 【解析】(1)正东与正北方向垂直，∠OAB＝90°，OB＝＝＝＝15（km）。 (2)A在x轴正半轴上，坐标为(9，0)；B在A的正北12 km处，坐标为(9，12)。 答：(1)B地与学校相距15 km；(2)A(9，0)，B(9，12)。 变式3　【答案】南偏西35°；6 【解析】观测点由A换成B，方向要反过来：“北”换成“南”，“东”换成“西”，角度不变，所以A在B的南偏西35°方向。 两地之间的距离与观测点无关，仍是6 km。 　题型10　变式：点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 变式1　【答案】B 【解析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，|-＝，选B。 A：误用了横坐标的绝对值，按此错法真算得|-4|＝4；C：距离没有取绝对值，按此错法直接取纵坐标；D：求成了点M到原点的距离，按此错法真算得＝。 变式2　【答案】一；二 【解析】点A在第四象限，所以a＞0，b＜0。 -b＞0，a-b＞0，点B在第一象限。 ab＜0，a＞0，点C在第二象限。 变式3　【答案】C(1，5)，AC＝ 【解析】AB∥x轴，AB＝5-(-3)＝8。 取AB的中点M(1，1)，连接CM。∵CA＝CB，∴CM⊥AB（等腰三角形三线合一），∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∠ACM＝45°＝∠A，∴CM＝AM＝8÷2＝4（等角对等边）。 点C在第一象限，所以C(1，1＋4)，即C(1，5)。 AC＝＝＝。 答：点C的坐标为(1，5)，AC的长为。 　题型11　变式：关于坐标轴对称的点的坐标 变式1　【答案】-5；-4； 【解析】关于x轴对称，横坐标相同：a＋2＝-3，a＝-5；纵坐标互为相反数：b-1＝-5，b＝-4。 ab＝(-5)×(-4)＝20，＝。 变式2　【答案】D 【解析】关于y轴的对称点为，5)，到原点的距离为＝＝＝6，选D。 A：把两个坐标直接相加，按此错法真算得+5；B：忘记开平方，按此错法真算得11＋25＝36；C：把两个坐标相减，按此错法真算得5-。 变式3　【答案】(1)B(5，2)，C(-5，-2)；(2)面积20，BC＝ 【解析】(1)B(5，2)，C(-5，-2)。 (2)AB平行于y轴，AB＝2-(-2)＝4；AC平行于x轴，AC＝5-(-5)＝10；AB⊥AC。 △ABC的面积为4×10÷2＝20，BC＝＝＝。 答：(1)B(5，2)，C(-5，-2)；(2)△ABC的面积为20，BC＝。 　题型12　变式：坐标系中的割补法求面积与线段长 变式1　【答案】14；5 【解析】OA在x轴上，OA＝7，点B到x轴的距离为4，面积为7×4÷2＝14。 OB＝＝5。 变式2　【答案】(1)C(0，5)或C(0，-1)；(2) 【解析】(1)AB∥x轴，AB＝5-(-1)＝6。设点C(0，c)，C到直线AB的距离为|c-2|。 由6×|c-2|÷2＝9，得|c-2|＝3，c＝5或c＝-1，所以C(0，5)或C(0，-1)。 (2)在x轴下方的是C(0，-1)，BC＝＝。 答：(1)点C的坐标为(0，5)或(0，-1)；(2)BC的长为。 变式3　【答案】C 【解析】外框长方形长为2-(-4)＝6，宽为2-(-3)＝5，面积为30。 周围三个直角三角形面积为6×4÷2＝12，1×5÷2＝2.5，5×1÷2＝2.5。 △PQR的面积为30-12-2.5-2.5＝13，选C。 A：只算了外框，按此错法真算得6×5＝30；B：把外框面积的一半当成三角形面积，按此错法真算得6×5÷2＝15；D：只算了周围三个三角形，按此错法真算得12＋2.5＋2.5＝17。 　易错专练 1．【答案】C 【解析】【错解】直接认定40和42是两条直角边，第三边为＝58，只写出58这一个结果。（错误示例） 【错因】题目没有说明42是直角边还是斜边，漏掉了42为斜边的情况。 【正解】当40和42都是直角边时，第三边为＝＝58；当42是斜边时，第三边为＝＝。第三边长为58或，选C。 A：只考虑两边都是直角边，按此错法真算得58；B：只考虑42是斜边，按此错法真算得；D：把两边直接相加，按此错法真算得40＋42＝82。 2．【答案】±0.6；±0.36 【解析】【错解】两个都填±0.36。（错误示例） 【错因】把“的平方根”当成了“0.1296的平方根”，少开了一次方。 【正解】＝0.36，0.36的平方根是±0.6；0.1296的平方根是±0.36。 3．【答案】7-π- 【解析】【错解】原式＝(π-4)+-3)＝π+-7。（错误示例） 【错因】＝|a|，而π-4＜0，-3＜0，去绝对值时都要变号。 【正解】因为π＜4，＜3，所以原式＝(4-π)+(3-＝7-π-。 4．【答案】，5)或，5)或，-5)或，-5) 【解析】【错解】点P的坐标为(5，。（错误示例） 【错因】一是把两个距离对应的坐标弄反了：到x轴的距离是纵坐标的绝对值；二是没有考虑四个象限的符号，漏了三种情况。 【正解】|y|＝5，|x|＝，所以x＝±，y＝±5，点P的坐标为，5)或，5)或，-5)或，-5)。 5．【答案】A 【解析】【错解】＝+＝6＋8＝14。（错误示例） 【错因】与+不相等，根号下是和时要先算和再开方。 【正解】＝＝10，选A。 B：把根号拆开相加，按此错法真算得+＝14；C：忘记开平方，按此错法真算得36＋64＝100；D：把开平方当成除以2，按此错法真算得(36＋64)÷2＝50。 6．【答案】0.1或-0.5 【解析】【错解】x＝-0.2，y＝0.3，所以x＋y＝0.1。（错误示例） 【错因】y²＝0.09时y有两个值±0.3，漏掉了y＝-0.3。 【正解】x＝∛(-0.008)＝-0.2，y＝±0.3。当y＝0.3时，x＋y＝0.1；当y＝-0.3时，x＋y＝-0.5。 7．【答案】B(5，0)时AB＝；B(-5，0)时AB＝ 【解析】【错解】OB×4÷2＝10，OB＝5，所以B(5，0)，AB＝＝。（错误示例） 【错因】点B在x轴上，OB＝5时，B可能在原点右侧，也可能在原点左侧，漏了一种情况。 【正解】点A到x轴的距离为4，由OB×4÷2＝10，得OB＝5，所以B(5，0)或B(-5，0)。 当B(5，0)时，AB＝＝＝；当B(-5，0)时，AB＝＝＝。 答：B(5，0)时AB＝；B(-5，0)时AB＝。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】B 【解析】xy＝×＝＝6，选B。 A：乘完忘记开平方，按此错法真算得18×2＝36；C：把乘法当成被开方数相加，按此错法真算得＝＝；D：把乘法算成了除法，按此错法真算得÷＝＝3。 2．【答案】A 【解析】OP＝＝＝15，选A。 B：把两个距离直接相加，按此错法真算得9＋12＝21；C：把两个距离相减，按此错法真算得12-9＝3；D：把平方相减再开方，按此错法真算得＝＝。 3．【答案】D 【解析】＝0.7，它的相反数是-0.7，选D。 A：没有取相反数，按此错法真算得＝0.7；B：开方时小数点位置移错，按此错法真算得＝-0.07；C：把开平方当成除以2，按此错法真算得-0.49÷2＝-0.245。 4．【答案】C 【解析】斜边长为＝＝＝6.5，选C。 A：把两条直角边相加，按此错法真算得3.3＋5.6＝8.9；B：平方和忘记开平方，按此错法真算得3.3²+5.6²＝42.25；D：算成了面积，按此错法真算得3.3×5.6÷2＝9.24。 5．【答案】A 【解析】点P在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正；到x轴的距离是纵坐标的绝对值，所以P(-7，4)，和为-7＋4＝-3，选A。 B：把两个距离对应的坐标弄反，得P(-4，7)，按此错法真算得-4＋7＝3；C：没有考虑符号，按此错法真算得7＋4＝11；D：把纵坐标也写成负数，按此错法真算得-7-4＝-11。 6．【答案】0.3；5 【解析】0.3³＝0.027，所以0.027的立方根是0.3。 ＝25，25的算术平方根是5。 7．【答案】3.5 【解析】点N在y轴上，横坐标为0：2b-1＝0，b＝。 此时N(0，3.5)，到原点的距离为3.5。 8．【答案】 【解析】-×＝-＝-；÷2＝÷2＝。 原式＝-+＝。 9．【答案】13 【解析】85最大，是斜边对应的数，x²＝85²-84²＝7225-7056＝169，x＝13。 10．【答案】3，4 【解析】因为4＜5＜9，所以2＜＜3；因为16＜17＜25，所以4＜＜5。 所以大于且小于的整数是3，4。 　课后作业（二）能力进阶 11．【答案】(1)；(2)14- 【解析】(1)＝，＝2×＝，＝。原式＝-+＝。 (2)-1)²＝12-+1＝13-；+-＝3-2＝1。原式＝13-+1＝14-。 12．【答案】(1)x＝4或x＝-6；(2)x＝1 【解析】(1)(x+1)²＝25，x＋1＝±5，所以x＝4或x＝-6。 (2)(x-3)³＝-8，x-3＝-2，所以x＝1。 13．【答案】25 m 【解析】树干与地面垂直，∠C＝90°。在直角三角形ABC中，AB＝＝＝＝17（m）。 折断前的高度为BC＋AB＝8＋17＝25（m）。 答：这棵树折断前的高度是25 m。 14．【答案】(1)100 m；(2)C(2，3)， m 【解析】(1)A、B两点横坐标相差6，纵坐标相差8，AB＝＝10，实际距离为10×10＝100（m）。 (2)C与A关于y轴对称，C(2，3)。B、C两点横坐标相差2，纵坐标相差8，BC＝＝＝，实际距离为×10＝（m）。 答：(1)教学楼与图书馆相距100 m；(2)C(2，3)，食堂与图书馆相距 m。 15．【答案】2 【解析】由图知a＜0，所以＝|a|＝-a。 a＋b＞0，所以|a＋b|＝a＋b。 b-2＞0，所以＝b-2。 原式＝-a＋(a＋b)-(b-2)＝2。 16．【答案】(1)BD＝10；(2)DE＝ 【解析】由折叠得AD＝BD，且DE垂直平分AB（E是AB的中点）。设CD＝x，则AD＝BD＝16-x。 (1)在直角三角形ACD中，x²+8²＝(16-x)²，即x²+64＝256-32x+x²，解得x＝6，所以BD＝16-6＝10。 (2)AB＝＝＝，AE＝＝。在直角三角形ADE中，DE＝＝＝＝。 答：(1)BD的长为10；(2)折痕DE的长为。 17．【答案】(1)0.7 m；(2)棱长1.4 m，表面积6×1.4²＝11.76 m² 【解析】(1)设棱长为a m，则a³＝0.343，a＝∛0.343＝0.7。 (2)新木箱容积为0.343×8＝2.744（m³），棱长为∛2.744＝1.4（m），是原来的2倍。 新木箱的表面积为6×1.4²＝6×1.96＝11.76（m²）。 答：(1)木箱的棱长为0.7 m；(2)新木箱的棱长为1.4 m，表面积为11.76 m²。 18．【答案】(1) m；(2) m，在28与29之间 【解析】(1)边长为＝（m）。 (2)护栏总长为4×＝（m），＝。 因为784＜800＜841，即28²＜800＜29²，所以在28与29之间。 答：(1) m；(2) m，在28与29之间。 19．【答案】(1)AB＝AC＝BC＝；(2) 【解析】(1)AB平行于x轴，AB＝-＝。 AC＝＝＝，同理BC＝。 (2)AB边上的高为点C到直线AB的距离1-(-2)＝3，面积为×3÷2＝。 答：(1)三边长都是；(2)△ABC的面积为。 　课后作业（三）拓展延伸 20．【答案】P(3，0)，PA＝5 【解析】设P(p，0)，则PB＝|8-p|，PA²＝p²+4²。 由PA＝PB，得p²+16＝(8-p)²，即16＝64-16p，p＝3。 所以P(3，0)，PA＝＝5。 答：点P的坐标为(3，0)，PA的长为5。 21．【答案】25 dm 【解析】把圆柱侧面沿AB剪开展平，得到一个长为7 dm（底面周长）、宽为24 dm（高）的长方形，彩带最短时是这个长方形的对角线。 彩带最短为＝＝25（dm）。 答：彩带最短是25 dm。 22．【答案】a²+b²-ab＝13；＋＝14 【解析】ab＝(2+(2-＝4-3＝1，a+b＝4。 a²+b²-ab＝(a+b)²-3ab＝16-3＝13。 ＋＝＝＝＝14。 23．【答案】(1)A′(-1，-3)；(2) 【解析】(1)A′(-1，-3)。 (2)点A与A′关于x轴对称，x轴上任意一点P都满足PA＝PA′，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当P在线段A′B上时取等号。 A′B＝＝＝，所以PA＋PB的最小值为。 答：(1)A′(-1，-3)；(2)PA＋PB的最小值为。 24．【答案】1 【解析】x²＝＝＝。 x²+x＝+＝＝1。 25．【答案】9.3 km 【解析】设AE＝x km，则BE＝(20-x) km。 在直角三角形DAE中，DE²＝x²+8²；在直角三角形CBE中，CE²＝(20-x)²+6²。 由DE＝CE，得x²+64＝(20-x)²+36，即64＝436-40x，解得x＝9.3。 答：E站应建在距A站9.3 km处。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共80题）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　期中复习　第一章 勾股定理　第二章 实数　第三章 位置与坐标 含 12 个考点例题　/　共 80 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能用勾股定理a²+b²＝c²由两边求第三边，会用“面积算两遍”求斜边上的高；会用a²+b²＝c²判别直角三角形，认识28，45，53这类勾股数；会把圆柱、长方体表面的最短路线和折叠问题转化成直角三角形。 2．能说清平方根、算术平方根、立方根的区别，会开平方、开立方解方程；能把实数分成有理数与无理数，会在数轴上作出表示这类数的点，会用相邻平方数估算无理数、求整数部分与小数部分。 3．会用二次根式的乘法、除法法则化简，能把结果化成最简二次根式，完成含乘法公式的混合运算。 4．会用有序数对和“方位角＋距离”描述位置；会由点的坐标判断象限、求点到坐标轴的距离；会写出关于x轴、y轴对称的点的坐标；会用勾股定理求两点间距离，用割补法求坐标系中三角形的面积。 学习重难点 重点：勾股定理及直角三角形的判别条件；折叠、展开中的勾股方程；平方根与立方根、实数的分类与估算；二次根式的化简与混合运算；点的坐标特征、关于坐标轴对称的点的坐标；坐标系中两点间距离与割补法求面积。 难点：两边求第三边时要分清斜边还是直角边，题目没指明时必须分类；折叠问题要找准对应相等的线段再设未知数列方程；＝|a|去掉根号要看a的符号；开平方漏负根、把拆成+是最常见的两类错误；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，已知距离求坐标要考虑多个象限。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　勾股定理：直角三角形三边之间的数量关系 3 知识点 02　用面积验证勾股定理（拼图法） 3 知识点 03　直角三角形的判别条件与勾股数 3 知识点 04　勾股定理的应用：展开、折叠与实际测量 4 知识点 05　平方根、算术平方根与立方根 4 知识点 06　实数的分类与数轴 4 知识点 07　估算：用两个相邻整数夹住一个无理数 5 知识点 08　二次根式的化简与运算 5 知识点 09　确定位置：有序数对与方位角加距离 6 知识点 10　平面直角坐标系：象限与点到坐标轴的距离 6 知识点 11　轴对称与坐标变化 7 知识点 12　坐标系中求线段长与图形面积 7 考点 1　勾股定理求边长与斜边上的高 8 考点 2　直角三角形的判别与勾股数 9 考点 3　折叠求长与立体表面最短路径 10 考点 4　用勾股定理解决航海与测量问题 12 考点 5　平方根与立方根的计算与开方解方程 13 考点 6　实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 14 考点 7　无理数的估算、整数部分与比较大小 15 考点 8　二次根式的化简与混合运算 16 考点 9　有序数对与“方位角＋距离”确定位置 17 考点 10　点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 18 考点 11　关于坐标轴对称的点的坐标 19 考点 12　坐标系中的割补法求面积与线段长 20 易错专练 21 课后作业（一）基础巩固 22 课后作业（二）能力进阶 23 课后作业（三）拓展延伸 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　勾股定理：直角三角形三边之间的数量关系 北师大版第一章用数格子、割补面积的办法得出：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。若直角三角形ABC中∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a²+b²＝c²。用法只有两类：已知两条直角边求斜边，c＝；已知斜边和一条直角边求另一条直角边，b＝。例如两条直角边为9和40时，斜边为＝41。使用前先找准直角，直角所对的边才是斜边。 a²+b²＝c²（c为斜边） c＝，a＝ 面积双算：直角边乘积÷2＝斜边×斜边上的高÷2 知识点　02　用面积验证勾股定理（拼图法） 教材用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形：外框正方形边长为a＋b，中间空出一个边长为c的正方形。同一个大正方形的面积用两种方法表示：整体算是(a+b)²，分块算是4个三角形加上中间的小正方形，即4×ab/2+c²。两式相等，化简得a²+b²＝c²。这种“同一面积算两遍”的思路，后面求斜边上的高、坐标系里求三角形面积时还会反复用到。 (a+b)²＝4×+c² 化简：a²+2ab+b²＝2ab+c²，得a²+b²＝c² 知识点　03　直角三角形的判别条件与勾股数 反过来，如果三角形三条边的长度a，b，c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，并且c所对的角是直角。判别时先找出最长边，再比较“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”。满足a²+b²＝c²的三个正整数称为勾股数，例如28，45，53：28²+45²＝784＋2025＝2809＝53²。注意：三个数都必须是正整数才叫勾股数，0.6，0.8，1能组成直角三角形，但不是勾股数。 a²+b²＝c² ⇒ c所对的角是直角 勾股数：三个正整数，且满足a²+b²＝c² 知识点　04　勾股定理的应用：展开、折叠与实际测量 立体图形表面上两点间的最短路线，要先把曲面或几个面展开成平面，再用“两点之间，线段最短”，最后在展开图里找直角三角形。圆柱侧面展开是长方形，从下底一点爬到上底相对的点，直角边分别是圆柱的高和底面周长的一半；长方体要比较几种展开方式，取其中最短的一条。折叠问题抓住“折叠前后对应线段相等”，设未知数后用勾股定理列方程。梯子、旗杆、航行等实际问题，关键是画出示意图、找到直角。 圆柱：路线²＝高²+(底面周长÷2)² 折叠：对应边相等，设x列勾股方程 知识点　05　平方根、算术平方根与立方根 如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根；正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±，其中正的那个叫作a的算术平方根；0的平方根是0，负数没有平方根。如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，记作∛a；每个数都只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。例如1.69的平方根是±1.3，算术平方根是1.3；-0.001的立方根是-0.1。 x²＝a（a≥0）⇒ x＝± x³＝a ⇒ x＝∛a ＝|a|，＝a（a≥0） 知识点　06　实数的分类与数轴 无限不循环小数叫作无理数，如π，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应，每个无理数也能在数轴上找到位置。按正负分，实数分为正实数、0、负实数。开方开不尽的数是无理数，但＝3这类能开尽的数是有理数，要先化简再判断。实数的相反数、绝对值与有理数意义相同，例如|1-＝-1。 实数＝有理数＋无理数 |a|＝a（a≥0），|a|＝-a（a＜0） 知识点　07　估算：用两个相邻整数夹住一个无理数 估算的大小，找两个相邻整数n和n＋1，使n²＜a＜(n+1)²，于是n＜＜n＋1。例如16＜21＜25，所以4＜＜5，的整数部分是4，小数部分是-4。比较两个含根号的数，可以把根号外的正因数移进根号再比被开方数，例如＝，＝，所以＞。 n²＜a＜(n+1)² ⇒ n＜＜n＋1 小数部分＝原数－整数部分 知识点　08　二次根式的化简与运算 形如（a≥0）的式子叫作二次根式。乘法、除法法则：×＝（a≥0，b≥0），÷＝（a≥0，b＞0）。被开方数不含分母、也不含能开得尽方的因数的二次根式叫作最简二次根式；化简时通常要求结果的分母不含根号，例如＝＝。加减时先把各个根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的项合并，例如+＝+＝。以前学过的运算律和乘法公式在实数运算中照样适用。 ×＝，÷＝ ＝（a≥0，b≥0） 先化最简，再合并被开方数相同的项 知识点　09　确定位置：有序数对与方位角加距离 在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据。常用两种方法：一是用有序数对，例如“5排8号”记作(5，8)，两个数的顺序不能交换；二是用“方位角＋距离”，例如“点A在点O北偏东40°方向，距离3 km处”，方位角从正北或正南方向量起。描述两点相对位置时，观测点换了，方向要反过来：A在O的北偏东40°，则O在A的南偏西40°，距离不变。 有序数对(a，b)：顺序不能交换 方位角：先写“北”或“南”，再写偏东或偏西多少度 知识点　10　平面直角坐标系：象限与点到坐标轴的距离 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。点P的坐标(a，b)中，a是横坐标，b是纵坐标。四个象限的符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，到原点的距离是。平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同。 P(a，b)到x轴的距离＝|b|，到y轴的距离＝|a| 到原点的距离＝ 知识点　11　轴对称与坐标变化 以x轴为对称轴的两个点，横坐标一样，纵坐标只差一个符号：(a，b)对应(a，-b)；以y轴为对称轴的两个点，纵坐标一样，横坐标只差一个符号：(a，b)对应(-a，b)。对整个图形也一样：各顶点只把纵坐标变号，所得图形与原图形以x轴为对称轴；只把横坐标变号，则以y轴为对称轴。对称点连成的线段被对称轴垂直平分，所以(a，b)与(a，-b)之间的距离是2|b|。 关于x轴：(a，b)→(a，-b) 关于y轴：(a，b)→(-a，b) 知识点　12　坐标系中求线段长与图形面积 坐标系里求两点间距离：两点横坐标相同或纵坐标相同时直接相减取绝对值；都不相同时，过两点分别作坐标轴的平行线构成直角三角形，两条直角边是横、纵坐标之差的绝对值，再用勾股定理。求三角形面积：有一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，直接用底×高÷2；三边都“斜”时用割补法，先画出各边平行于坐标轴的外框长方形，再减去周围的直角三角形。 AB＝ 割补法：S＝外框长方形面积－周围直角三角形面积 【题型1】勾股定理求边长与斜边上的高 期中卷上勾股定理的计算题几乎都从“找直角、认斜边”开始：已知两边求第三边，只要分清所求的是斜边还是直角边；斜边上的高一律用“面积算两遍”。坐标系里求两点距离，本质也是一次勾股计算。 例1　如图，直角三角形ABC的两条直角边AC＝18，BC＝24（∠ACB是直角），从直角顶点C向斜边AB作垂线，垂足为D。求AB与CD的长。 【分析】∠ACB是直角，AB是斜边，先用勾股定理求AB；CD是斜边上的高，△ABC的面积既等于两条直角边乘积的一半，也等于AB×CD的一半。 【解答】在直角三角形ABC中，由勾股定理得AB²＝AC²+BC²＝18²+24²＝324＋576＝900，所以AB＝30。 由面积相等得AC×BC÷2＝AB×CD÷2，即18×24＝30×CD，所以CD＝432÷30＝14.4。 【方法小结】斜边上的高＝两条直角边的乘积÷斜边。 答：斜边AB的长为30，斜边上的高CD的长为14.4。 题型1　变式：勾股定理求边长与斜边上的高 三道变式分别把勾股计算放进根式、等腰三角形与坐标系，数据都要先判断谁是斜边再代公式。 变式1　以和3为两条直角边的直角三角形，斜边长是________，面积是________。 变式2　如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝14，则△ABC的面积是（　　）。 A．336 B．168 C．175 D．84 变式3　已知坐标系中两点P(-5，-4)和Q(3，11)，O是原点。(1)求线段PQ的长；(2)求点P到原点O的距离。 【题型2】直角三角形的判别与勾股数 判别一个三角形是不是直角三角形，只看三边：两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。四边形里常见的套路是“先用勾股定理求对角线，再用判别条件证出第二个直角”，面积就能拆成两个直角三角形来算。 例1　如图，某校生物园有一块四边形地块ABCD，AB⊥BC，量得AB＝12 m，BC＝16 m，CD＝21 m，DA＝29 m。(1)求∠ACD的度数；(2)要从点C修一条通往边AD的最短小路CE（点E在AD上），求CE的长。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC中求AC，再看△ACD的三边是否满足直角三角形的判别条件；“最短的小路”是点C到AD的垂线段，用面积算两遍求出。 【解答】(1)在直角三角形ABC中，AC²＝AB²+BC²＝144＋256＝400，所以AC＝20（m）。 在△ACD中，AC²+CD²＝400＋441＝841，AD²＝29²＝841，所以AC²+CD²＝AD²，△ACD是直角三角形，AD是斜边，∠ACD＝90°。 (2)垂线段最短，所以CE⊥AD时小路最短。△ACD的面积＝AC×CD÷2＝AD×CE÷2，即20×21＝29×CE，所以CE＝（m）。 【方法小结】四边形中已知四边和一个直角，先连对角线求出它，再用三边判别第二个直角；斜边上的高用“面积算两遍”。 答：(1)∠ACD＝90°；(2)CE的长为 m。 题型2　变式：直角三角形的判别与勾股数 三道变式分别考勾股数的逆向求值、根式三边的判别和格点三角形的判别，最后都要落到一个具体的数上。 变式1　一个直角三角形的三边长分别为m，60，61，其中61是斜边长，则m的值为（　　）。 A．1 B．121 C． D．11 变式2　若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边所对的角是________°，它的面积为________。 变式3　如图，在坐标系中描出A(-2，1)，B(2，3)，C(4，-1)三点并连成三角形（坐标纸上一格为1个单位长度）。(1)分别求AB²，BC²，AC²；(2)求证∠ABC＝90°，并求△ABC的面积。 【题型3】折叠求长与立体表面最短路径 折叠问题的关键是“折过去的部分与原来重合”，对应线段相等，设一条线段为x，另一条用x表示，在某个直角三角形里列勾股方程。立体表面的最短路线先展开成平面，长方体要把几种展开方式都算出来再比较。 例1　把一张AB＝24、BC＝25的长方形纸片ABCD按图中方式翻折：以过点A的直线为折痕，使顶点D落到边BC上的点F处，折痕与边CD交于点E。(1)求FC的长；(2)求折痕AE的长。 【分析】折叠后AF＝AD＝BC＝25，EF＝DE。先在直角三角形ABF中求BF，得到FC；再在直角三角形EFC中设CE＝x列方程求出DE，最后在直角三角形ADE中求AE。 【解答】(1)由折叠得AF＝AD＝25，在直角三角形ABF中，BF＝＝＝＝7，所以FC＝BC-BF＝25-7＝18。 (2)设CE＝x，则EF＝DE＝CD-CE＝24-x。在直角三角形EFC中，EF²＝CE²+FC²，即(24-x)²＝x²+324，解得x＝5.25，所以DE＝24-5.25＝18.75。 在直角三角形ADE中，AE＝＝＝＝31.25。 【方法小结】折叠问题先标出所有相等的线段，再在含未知数的直角三角形里列勾股方程；折痕是翻折前后两个直角三角形的公共斜边。 答：(1)FC的长为18；(2)折痕AE的长为31.25。 题型3　变式：折叠求长与立体表面最短路径 三道变式依次是圆柱侧面、长方体表面和坐标系中的折叠，最后一题要把折叠结果写成点的坐标。 变式1　如图，圆柱形罐子的底面周长是42 cm，高是20 cm。罐子外壁下沿有一点A，上沿与A隔着半圈的地方有一点B，蚂蚁贴着侧面从A爬到B，最短要爬________cm。 变式2　如图，长方体盒子的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm（AB＝6，AE方向为宽，AD为高）。蚂蚁要从A点沿着盒子外表面走到G点，所有路线中最短的一条长（　　）。 A． B． C． D．13 变式3　如图，长方形纸片OABC的顶点O在原点，边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，已知A(12，0)，C(0，13)。沿过点C的直线CD折叠（D在OA上），点O恰好落在AB边上的点E处。求点E和点D的坐标。 【题型4】用勾股定理解决航海与测量问题 实际问题先画示意图，把题目里的“竖直”“水平”“正东正北”翻译成直角，再把已知量标到直角三角形的边上。情境数值要合常识：梯子几米长、船每小时十几千米、旗杆十几米高。 例1　如图，竖直墙面的墙角为C。梯子AB长6.5 m，斜靠在该墙面上，A端贴墙，B端着地，B到C的距离是2.5 m。(1)求A端到地面的距离AC；(2)当A端沿墙面下滑0.8 m到D处时，B端移到E处，求B、E两点间的距离。 【分析】墙与地面垂直，∠C＝90°。梯子长度不变，下滑前后各在一个直角三角形中用勾股定理。 【解答】(1)在直角三角形ABC中，AC＝＝＝＝＝6（m）。 (2)下滑后CD＝6-0.8＝5.2（m），梯子底端滑到点E，DE＝6.5 m。在直角三角形DCE中，CE＝＝＝＝3.9（m）。 所以BE＝CE-CB＝3.9-2.5＝1.4（m）。 【方法小结】梯子长度是不变量，下滑前后两个直角三角形共用“斜边＝梯长”。 答：(1)梯子顶端到地面的距离是6 m；(2)B、E两点间的距离是1.4 m。 题型4　变式：航海、测量情境中的勾股计算 三道变式分别是旗杆测量、铁板切割与两船航行，第三题还要把航行结果写成坐标。 变式1　如图，旗杆AB竖直立在水平地面上，从旗杆顶端A垂下的绳子AC拉直后，末端C落在地面上，此时C到旗杆底部B的距离为8 m；已知绳子比旗杆长2 m，则旗杆的高为________m。 变式2　一块长方形铁板长7 dm，宽5 dm，工人沿它的一条对角线把它切成两块，切口的长为（　　）。 A． B．12 C． D．37 变式3　港口O处停着两艘巡逻船。上午8时甲船离港，沿正东方向以15 km/h匀速行驶；同一时刻乙船离港，沿正北方向以8 km/h匀速行驶。(1)到上午10时，两船之间的距离是多少千米？(2)把港口O记为坐标原点，取正东为x轴正方向、正北为y轴正方向，单位长度取1 km，在这个坐标系里，写出上午10时两船各自所在位置的坐标。 【题型5】平方根与立方根的计算与开方解方程 开方解方程分两步：先把含未知数的整体化成“( )²＝a”或“( )³＝a”，再开平方或开立方。开平方一定有正负两个结果（a＞0时），开立方只有一个结果，而且可以是负数。 例1　解下列方程：(1)4(x-1)²＝49；(2)8(x+2)³+27＝0。 【分析】先把含x的整体单独放在等号左边，再开平方（有两个结果）或开立方（只有一个结果）。 【解答】(1)两边除以4，得(x-1)²＝。开平方，得x-1＝±。所以x＝1＋＝或x＝1-＝。 (2)移项，得8(x+2)³＝-27，两边除以8，得(x+2)³＝。开立方，得x＋2＝，所以x＝。 【方法小结】开平方别漏负根；开立方结果的符号与被开方数相同。 答：(1)x＝或x＝；(2)x＝。 题型5　变式：开平方、开立方与方程求解 三道变式依次考平方根的性质、根式与立方根的混合计算、由平方根和立方根反求边长再用勾股定理。 变式1　若3a-2和10-a是同一个正数的两个平方根，则a＝________，这个正数是________。 变式2　式子+∛(-64)的值是（　　）。 A．-9 B．9 C．1 D．-1 变式3　已知a-4的算术平方根是4，b＋6的立方根是3。(1)求a，b的值；(2)把长为a、b的两根木条作为直角边，再配一根木条作斜边围成直角三角形，求第三根木条的长和这个三角形的面积。 【题型6】实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 判断有理数、无理数先化简：能开尽方的根式、分数、有限小数和无限循环小数都是有理数。数轴上作出表示的点，靠的是勾股定理：作一个斜边为的直角三角形，再用圆规把斜边“搬”到数轴上。 例1　如图，在数轴上以表示1的点A为直角顶点，作一条长为2且垂直于数轴的线段AB，连接OB（O为原点）。把圆规的针尖放在O处，将OB绕点O转到数轴正半轴上，得到点C。(1)点C对应的实数是什么？(2)点D对应-1，线段CD有多长？ 【分析】OC＝OB，OB是直角三角形OAB的斜边，用勾股定理求出OB，就知道点C表示的数。 【解答】(1)在直角三角形OAB中，OA＝1，AB＝2，OB＝＝。 因为OC＝OB＝，点C在原点右侧，所以点C表示的数是。 (2)CD＝-(-1)＝+1。 【方法小结】要在数轴上找，就拆成两个平方数之和，作以这两个数的算术平方根为直角边的直角三角形。 答：(1)点C表示的数是；(2)线段CD的长为+1。 题型6　变式：实数的分类、绝对值与数轴上的无理数 三道变式依次考含根号的绝对值化简、实数分类计数，以及坐标系中由两点距离得到的无理数。 变式1　计算|1-＋-3|的结果是（　　）。 A．-2 B．-4 C．4- D．2 变式2　在，∛9，3.1415926，π-3，，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）这六个数中，无理数有________个，负数有________个。 变式3　平面直角坐标系内，O表示原点，点P的坐标为，。(1)求OP的长度；(2)以O为圆心、OP长为半径画弧，与x轴负半轴交于点Q，写出点Q的坐标，并计算△OPQ的面积。 【题型7】无理数的估算、整数部分与比较大小 估算的依据是平方数：找到夹住被开方数的两个相邻平方数，开方后的两个整数就夹住了这个无理数。整数部分确定后，小数部分＝原数－整数部分，常与代数式求值结合。 例1　已知整数a满足a＜＜a+1，b＝-a。(1)求a和b；(2)求2a-b的值。 【分析】找两个相邻平方数夹住52，确定整数部分，小数部分用“原数－整数部分”表示，并把化成最简二次根式。 【解答】(1)因为49＜52＜64，所以7＜＜8，a＝7。 b＝-7＝-7。 (2)2a-b＝2×7--7)＝14-+7＝21-。 【方法小结】小数部分一定写成“-整数部分”的形式，不能写成近似值。 答：(1)a＝7，b＝-7；(2)2a-b＝21-。 题型7　变式：无理数的估算、整数部分与比较大小 三道变式依次考“最接近的整数”、根式比较大小和坐标系中线段长的估算。 变式1　把用四舍五入法精确到个位，结果是（　　）。 A．1681 B．6 C．7 D．20.5 变式2　比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：________；-1)/2________。 变式3　已知点A(-3，2)与点B(3，-3)。(1)求A、B两点间的距离；(2)AB的整数部分记为a，求AB²-a²的值。 【题型8】二次根式的化简与混合运算 二次根式运算的顺序与有理数相同：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号。每一步都把根式化成最简二次根式，被开方数相同的项才能合并；乘法公式在根式运算中照样适用。 例1　计算：(1)÷-×+；(2)+2)-2)--1)²。 【分析】(1)先算乘除，再把结果化成最简二次根式后合并；(2)前一项用平方差公式，后一项用完全平方公式。 【解答】(1)原式＝-+＝-+＝4+。 (2)原式＝(5-4)-(3-+1)＝1-4+＝-3。 【方法小结】乘除结果能开方的立即开方，加减前逐项化成最简二次根式。 答：(1)4+；(2)-3。 题型8　变式：二次根式的化简与混合运算 三道变式依次考加减中的化简、勾股定理与根式乘法，以及代数式求值与坐标系中的距离。 变式1　计算-+的结果是（　　）。 A． B． C． D． 变式2　已知某直角三角形中，斜边为，其中一条直角边为，那么另一条直角边长为________，这个直角三角形的面积为________。 变式3　已知x＝+1，y＝-1。(1)求x²-y²的值；(2)以O为坐标原点建立平面直角坐标系，点P的位置记作(x，y)，求线段OP的长度。 【题型9】有序数对与“方位角＋距离”确定位置 确定位置要两个数据：有序数对里两个数的顺序有固定含义；方位角都从正北或正南量起。两个方向之间的夹角算出来是90°时，就能把两段距离放进直角三角形用勾股定理。 例1　如图，以灯塔O为观测点，渔船A在灯塔O的北偏西45°方向，距灯塔10海里；货船B在灯塔O的南偏西45°方向，距灯塔24海里。(1)求∠AOB的度数；(2)求两船之间的距离AB。 【分析】北偏西45°与南偏西45°都在正西方向的两侧，各与正西方向成45°，两个角合起来就是∠AOB。 【解答】(1)OA与正西方向的夹角为90°-45°＝45°，OB与正西方向的夹角也是45°，所以∠AOB＝45°＋45°＝90°。 (2)在直角三角形AOB中，AB＝＝＝＝26（海里）。 【方法小结】先由方位角算出夹角，夹角是直角时再用勾股定理求距离。 答：(1)∠AOB＝90°；(2)两船之间的距离为26海里。 题型9　变式：有序数对与“方位角＋距离”确定位置 三道变式依次考座位的有序数对、先东后北的行走路线和观测点互换后的方向描述。 变式1　某礼堂把第3列第5行的座位记作(3，5)。按这种记法，小红的座位(6，2)在第________列第________行；小明坐在小红右侧相隔2列、向后相隔3行的位置，他的座位记作________。 变式2　小亮从学校O出发，先向正东走9 km到达A地，再从A地向正北走12 km到达B地。(1)求B地与学校O之间的距离；(2)若把学校O看作原点，向东、向北分别作为x轴、y轴的正方向，以1 km为1个单位长度，那么A地和B地的坐标各是什么？ 变式3　B地在A地的北偏东35°方向，与A地相距6 km，那么A地在B地的________方向，与B地相距________km。 【题型10】点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 点的位置翻译成坐标条件：在x轴上纵坐标为0，在y轴上横坐标为0；在某个象限里横、纵坐标各有确定的符号；到x轴的距离看纵坐标的绝对值，到y轴的距离看横坐标的绝对值。含字母的坐标题，先由位置列方程或不等式，再求字母。 例1　点P的坐标为(2m-6，m＋2)，m为实数。(1)m取何值时，点P的横坐标为0？此时OP为多少？(2)当点P在第二象限且它到x轴、y轴的距离之和等于6时，求点P的坐标与OP的长。 【分析】在y轴上的点横坐标为0；在第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，两个距离分别是6-2m与m＋2。 【解答】(1)由2m-6＝0，得m＝3，此时P(0，5)，OP＝5。 (2)点P在第二象限，所以2m-6＜0，m＋2＞0，点P到y轴的距离为6-2m，到x轴的距离为m＋2。 由(6-2m)＋(m＋2)＝6，得m＝2，此时P(-2，4)，符合第二象限的要求。 OP＝＝＝。 答：(1)m＝3，OP＝5；(2)点P的坐标为(-2，4)，OP＝。 题型10　变式：点的坐标特征、象限与点到坐标轴的距离 三道变式依次考点到坐标轴的距离、由象限判断符号，以及由等腰直角三角形确定点的坐标。 变式1　点M的坐标是(-4，，它和x轴之间的距离为（　　）。 A．4 B． C． D． 变式2　若点A(a，b)在第四象限，则点B(-b，a-b)在第________象限，点C(ab，a)在第________象限。 变式3　如图，在平面直角坐标系中，点A(-3，1)，B(5，1)，点C在第一象限，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形。求点C的坐标及AC的长。 【题型11】关于坐标轴对称的点的坐标 关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号。对称点连成的线段平行于另一条坐标轴，长度就是两个变号坐标之差的绝对值，这让对称与勾股、面积的综合题都能直接算。 例1　如图，在方格纸中建立坐标系，△ABC的三个顶点A(-4，3)，B(-1，4)，C(-2，1)都在格点上。把△ABC沿x轴翻折，得到△A′B′C′。(1)点A′，B′，C′分别落在哪里？用坐标表示；(2)求线段BC和BB′的长。 【分析】关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；BB′平行于y轴，BC用勾股定理求。 【解答】(1)A′(-4，-3)，B′(-1，-4)，C′(-2，-1)。 (2)B、C两点横坐标相差1，纵坐标相差3，BC＝＝；BB′＝4-(-4)＝8。 【方法小结】对称点之间的距离＝变号坐标的绝对值的2倍。 答：(1)A′(-4，-3)，B′(-1，-4)，C′(-2，-1)；(2)BC＝，BB′＝8。 题型11　变式：关于坐标轴对称的点的坐标 三道变式依次考由对称求字母、对称点到原点的距离，以及两次对称后所得三角形的面积与边长。 变式1　若点P(a＋2，5)与点Q(-3，b-1)关于x轴对称，则a＝________，b＝________，＝________。 变式2　点，5)关于y轴的对称点到原点的距离是（　　）。 A．+5 B．36 C．5- D．6 变式3　把点A(5，-2)分别以x轴、y轴为对称轴作对称，得到的点依次记为B、C。(1)分别写出B，C的坐标；(2)求△ABC的面积及BC的长。 【题型12】坐标系中的割补法求面积与线段长 三角形的三条边都不平行于坐标轴时，用外框长方形减去周围的直角三角形求面积；求出面积后，再用“面积÷底×2”就能得到某边上的高，这时底边长由勾股定理求出。 例1　如图，已知△ABC的顶点A(-2，-3)，B(4，-1)，C(1，3)。(1)用割补法求△ABC的面积；(2)求AB边上的高。 【分析】三边都不平行于坐标轴，用割补法；AB的长用勾股定理，高用面积反求。 【解答】(1)作外框长方形，横向从-2到4，长6；纵向从-3到3，宽6，面积为36。 周围三个直角三角形面积分别为6×2÷2＝6，3×4÷2＝6，3×6÷2＝9。 △ABC的面积为36-6-6-9＝15。 (2)AB＝＝＝，AB边上的高为2×15÷＝15/＝。 答：(1)△ABC的面积为15；(2)AB边上的高为。 题型12　变式：坐标系中的割补法求面积与线段长 三道变式依次考坐标轴上一边的三角形、由面积反求点的坐标，以及割补法的完整计算。 变式1　在平面直角坐标系中，O为原点，点A(7，0)，B(-3，4)，则△OAB的面积为________，线段OB的长为________。 变式2　A(-1，2)、B(5，2)是平面直角坐标系中△ABC的两个顶点，第三个顶点C在y轴上，且△ABC的面积为9。(1)点C的坐标是多少？(2)若点C在x轴下方，则BC的长为多少？ 变式3　如图，△PQR的顶点P(-4，1)，Q(2，-3)，R(1，2)，则△PQR的面积为（　　）。 A．30 B．15 C．13 D．17 　易错专练 下面7题集中在期中卷上最容易丢分的地方：两边求第三边不分斜边、平方根与算术平方根混用、去绝对值忘记变号、点的坐标漏象限、根号下的和被拆开、开平方漏负根、坐标轴上找点漏一侧。先自己做，再对照解析里的错误示例和错因。 1．若某直角三角形的三条边中，有两条边的长度分别为40、42，则另一条边的长度为（　　）。 A．58 B． C．58或 D．82 2．分别写出的平方根与0.1296的平方根：前者是________，后者是________。 3．计算：+-3|。 4．若点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则点P的坐标为________。 5．的值是（　　）。 A．10 B．14 C．100 D．50 6．若x³＝-0.008，y²＝0.09，则x＋y＝________。 7．如图，点A(3，4)，点B在x轴上，O为原点，且△AOB的面积为10。求点B的坐标及AB的长。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖期中范围里必会的基本运算与基本概念：选择题每题只有一个选项符合题意，填空题把结果写在横线上。考查次序依次是二次根式乘法、两点距离、算术平方根、勾股计算、点的坐标、立方根、坐标轴上的点、根式混合运算、勾股数与估算。 1．若x＝，y＝，则xy的值是（　　）。 A．36 B．6 C． D．3 2．已知平面直角坐标系中点P的坐标是(-9，12)，则该点到原点的距离为（　　）。 A．15 B．21 C．3 D． 3．的相反数是（　　）。 A．0.7 B．-0.07 C．-0.245 D．-0.7 4．直角边长分别是3.3和5.6的直角三角形，斜边的长为（　　）。 A．8.9 B．42.25 C．6.5 D．9.24 5．已知第二象限内的点P到x轴、y轴的距离依次是4和7，那么点P的横坐标与纵坐标相加得（　　）。 A．-3 B．3 C．11 D．-11 6．0.027的立方根是________，的算术平方根是________。 7．若点N(2b-1，b＋3)在y轴上，则点N到原点的距离为________。 8．计算：-×+÷2＝________。 9．x，84，85三个数组成一组勾股数，其中x＜84，那么x＝________。 10．大于且小于的整数是________。 　课后作业（二）能力进阶 下面9题要把两章的知识接起来用：根式运算与开方解方程、折断与折叠中的勾股方程、坐标系中的实际距离、正方体的开立方、数轴上的化简、正方形边长的估算和坐标系里的等边三角形。每题写出完整的计算过程。 11．计算：(1)-+；(2)-1)²++-。 12．解下列方程：(1)3(x+1)²＝75；(2)(x-3)³＝-4。 13．如图，点C表示大树根部，点A是树尖着地点。树干在距地面8 m的点B处断开；若A、C两点间的距离为15 m，那么这棵大树折断前高多少米？ 14．在校园平面图上建立平面直角坐标系，1个单位长度表示10 m，教学楼A的坐标为(-2，3)，图书馆B的坐标为(4，-5)。(1)求教学楼与图书馆之间的实际距离；(2)食堂C与教学楼A关于y轴对称，写出点C的坐标，并求食堂与图书馆之间的实际距离。 15．如图，实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示（-2＜a＜-1，2＜b＜3）。化简：+|a＋b|-。 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16。沿直线DE把这张纸片折叠后，点B恰好与点A重合，其中D在边BC上，E在边AB上。(1)求BD的长；(2)求折痕DE的长。 17．仓库要做正方体木箱，第一个木箱能装0.343 m³的货物。(1)求这个木箱的棱长；(2)再做一个正方体木箱，容积是第一个的8倍，求新木箱的棱长与表面积。 18．一个正方形花坛的面积为50 m²。(1)花坛的边长是多少米？写成最简二次根式；(2)沿花坛四周围一圈护栏，求护栏的总长，并写出它在哪两个相邻整数之间。 19．如图，，1)，，1)，C(0，-2)是平面直角坐标系中的三点。(1)分别求AB，AC，BC的长；(2)求△ABC的面积。 　课后作业（三）拓展延伸 下面6题需要多走一步：在坐标轴上找等距点、把圆柱展开成长方形、用整体代入求值、借助对称找最短路线、设未知数列勾股方程解决选址问题。 20．如图，A(0，4)，B(8，0)是坐标系中的两点，x轴上有一点P到A、B两点的距离相等。求点P的坐标及PA的长。 21．如图，工人要给一根高24 dm的圆柱形立柱缠彩带，立柱一圈长7 dm，彩带从底部A点起绕侧面恰好一圈到A正上方的B点。彩带最短是多少分米？ 22．已知a＝2+，b＝2-，求a²+b²-ab和＋的值。 23．如图，点A(-1，3)，B(4，2)都在x轴上方，动点P在x轴上移动，要让PA＋PB尽可能小。(1)若A′与A关于x轴对称，求A′的坐标；(2)求PA＋PB的最小值。 24．已知x＝，求x²+x的值。 25．如图，铁路上A，B两站相距20 km，C，D为两个村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝6 km。现要在铁路AB上建一个货运站E，使C，D两村到E站的距离相等。E站应建在距A站多少千米处？ 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $