第四章·一次函数·期中综合复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第四章·一次函数·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数的概念，能识别自变量与函数，会求自变量的取值范围 · 掌握正比例函数与一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义 · 会用待定系数法求一次函数解析式，理解一次函数与一元一次方程的关系 · 能从函数图象中读取信息，解决行程、计费、销售利润等实际问题 · 能解决一次函数与几何图形结合的综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.函数的概念 函数：在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 自变量与因变量：主动变化的量叫自变量，随之变化的量叫因变量 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法 自变量取值范围：使解析式有意义，且符合实际问题意义 概念辨析例题：函数y=中，自变量x的取值范围是什么？ 答案：x≥2 解析：二次根式被开方数非负，x-2≥0，即x≥2 ☆ 2.一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；b=0时为正比例函数y=kx k>0时y随x增大而增大，图象从左到右上升；k<0时下降 b>0与y轴交于正半轴，b<0交于负半轴；k、b符号决定经过的象限 平移：直线y=kx+b上下平移改变b，左右平移在x上加减 概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象经过哪几个象限？ 答案：第一、二、四象限 解析：k=-2<0直线下降，b=3>0与y轴正半轴相交，故过一、二、四象限 ☆ 3.一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标 与x轴交点：令y=0求x；与y轴交点：令x=0求y 待定系数法：设y=kx+b，代入已知点坐标列方程组求k、b 两直线交点坐标即两个函数解析式组成方程组的解 概念辨析例题：求一次函数y=2x-4与x轴、y轴的交点坐标 答案：与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-4) 解析：令y=0得x=2；令x=0得y=-4 ☆ 4.一次函数的应用 读图象：看清横纵轴表示的量，注意分段与拐点的实际意义 行程问题：路程=速度×时间，图象斜率表示速度 计费问题：分段函数，注意不同区间的单价 方案与利润问题：设自变量表示方案数量，列利润函数求最值 概念辨析例题：某出租车起步价8元（3千米内），超过3千米每千米2元，求车费y与路程x（x≥3）的函数关系式 答案：y=8+2(x-3)=2x+2 解析：超过3千米部分为(x-3)千米，费用为8+2(x-3) 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数 x每取一值y唯一确定 三种表示方法可互化 一次函数 y=kx+b（k≠0） k=0不是一次函数 正比例函数 y=kx（k≠0） 过原点的直线 k、b意义 k定方向，b定y轴交点 符号定象限 与坐标轴交点 令x=0或y=0 交点坐标别写反 待定系数法 代入点坐标列方程 两个点确定一条直线 ⚠️ 核心考点 【考点1】函数的概念与三种表示（第1-10题） · 判断函数关系：看x取一值时y是否唯一确定 · 自变量取值范围：解析式有意义+实际意义 · 三种表示方法互相转化，会读表格和图象 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 3．（21-22八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， B． 对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，则y不是x的函数， C． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， D． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与y轴交于点，且，则k的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】绝对值方程、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．先表示出点坐标；再把代入得，则，然后根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， 又∵， ∴，即：， ∴， 解得：或， 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点，代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级上·广东茂名·期末）点在函数的图象上，则代数式的值等于_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象，求代数式的值，直接把点代入函数解析式，即可求出代数式的值，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知y与成正比例，当时；当时，______． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等知识﹒根据题意设，根据当时求出，把代入即可求解﹒ 【详解】解：∵y与成正比例， ∴设， 当时，， ∴， 解得， ∴函数关系式为， 当时， ， 故答案为：﹒ 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 【答案】（的整数） 【知识点】数字类规律探索、函数解析式 【分析】观察所给的式子，得出规律即可． 【详解】解：∵，，， ∴设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为（的整数）． 9．（23-24七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；②；③ (3) 该函数的图像如图所示： ． (4) 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了函数的图像，函数的解析式，绝对值的化简，解绝对值方程． （1）根据函数的表达式，确定自变量取值范围是全体实数． （2）①根据正数的绝对值是它本身，化简即可． ②根据零的绝对值是零化简即可． ③根据负数的绝对值是它的相反数化简即可． （3）根据画图像的基本步骤画出图像即可． （4）利用数形结合思想，只需函数值大于2即可即，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数． （2）解：∵， ∴①当时，， 故答案为：． ②当时， 故答案为：． ③当时． 故答案为：． （3）略 （4）解：根据题意，方程有两个解的条件是函数值大于2，即， 故m的取值范围是． 10．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 (2) 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (3)小时 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数关系式， （1）根据自变量和因变量即可解答； （2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答； （3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答； 理解题意，找准等量关系式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 （3）（小时）， ∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米． 【考点2】正比例函数的图象与性质（第11-13题） · 正比例函数y=kx是过原点的直线 · k>0过一、三象限；k<0过二、四象限 · 图象上点的坐标满足解析式 11．（25-26八年级下·四川泸州·期末）已知正比例函数的图象经过点，若点是轴上一动点，点，则当取最小值时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先根据正比例函数解析式求出点坐标，再利用轴对称转化线段，通过求一次函数解析式得到直线与轴的交点，即为所求点． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将代入得，即， 作点关于轴的对称点，根据轴对称性质得，且， 连接，交轴于点，此时，由两点之间线段最短可知此时最小， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， 因此直线的解析式为， 点在轴上，横坐标为，将代入解析式得， 点的坐标为． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为________． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 【详解】解： 是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义列出，然后求出的值即可； （）由题意可得出函数解析式为，当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴函数解析式为， ∴当时，，解得：， ∴的值为． 【考点3】一次函数的图象与象限交点（第14-19题） · 由k、b符号判断经过象限 · 与坐标轴交点：令x=0、y=0分别求解 · 平移规律：上加下减在b，左加右减换x 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数的平移和翻折，根据平移规律“上加下减”得到平移后的解析式，再设平移后新函数的图象上一点P的坐标为，沿轴翻折后的坐标为，再将代入平移后新函数解析式即可求解． 【详解】解： 的图象沿y轴向上平移2个单位长度， 平移后解析式为， 设的图象上一点P的坐标为，则沿轴翻折后的坐标为， 沿轴翻折后为，整理得， 故选：A． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 16．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，将该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数（m、n为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．该函数图象与y轴交于负半轴 B．该函数图象有可能经过坐标原点 C．该函数图象与x轴交点的横坐标小于 D．该函数图象不一定经过第三象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数的图象和性质．根据平移得到，再根据一次函数的图象和性质，进行判断即可．掌握一次函数图象的平移规律，是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数的图象， ∴， ∴的图象过一，二，三象限，与轴交于正半轴， ∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点， ∴平移后的直线过点， ∵， ∴随的增大而增大， ∴的函数图象与x轴交点的横坐标小于； 综上：选项A，B，D错误，选项C正确． 故选C． 17．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知点在直线上，当时，，则在平面直角坐标系内，它的图象不经过第___________象限 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．先利用当时，，判定的正负，再结合，判断一次函数的大致图象位置，即可解决． 【详解】解：∵当时，， 则函数，的值随的值的增大而增大， ∴， ∴一次函数图象过第一、三象限， 又∵，即与轴交于负半轴， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限， 即不经过第二象限， 故答案为：二． 18．（18-19九年级下·广东深圳·阶段检测）点关于对称点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】等边对等角、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查轴对称的性质、一次函数与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质、坐标与图形，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 设直线与x、y轴交点分别为E、F，过A作轴交直线于P，设点A关于直线对称点为点B，连接，先求得直线与坐标轴的交点坐标得到，进而可得，由平行线的性质和对称性质得到，，进而可求解． 【详解】解：如图，设直线与x、y轴交点分别为E、F，过A作轴交直线于P，设点A关于直线对称点为点B，连接， 对于， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∴ ∴，又， ∴， ∵轴， ∴， ∴由对称性质得，， ∴， ∴即轴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．根据平移规律写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 【详解】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 【考点4】一次函数的增减性与参数（第20-27题） · k>0递增、k<0递减，比较函数值大小看k · 由经过象限或增减性列不等式求参数范围 · 注意k≠0这一前提 20．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知函数．当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小． ∵ ∴当时，， 当时，， ∴， 故选：A． 21．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数图象经过第二象限且，可得；代入点坐标求得b与k的关系式，进而得到k的取值范围；代入W的表达式，利用一次函数的单调性求W的范围 ． 【详解】解：因为一次函数（）的图象经过第二象限， 所以， 又因为图象过点，代入得：，即， 由，得，解得， 结合，得， 所以， 由于，所以 ； 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系． 先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 23．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 【答案】 二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论. 【详解】解：对一次函数解析式变形可得 ， ∴当时，， ∴一次函数的图象恒过定点， ∵点在第二象限， ∴这个函数的图象一定经过第二象限． 24．（23-24八年级下·福建莆田·期中）函数（m，n为常数，）若，当时，函数有最大值0，则_____． 【答案】 【知识点】加减消元法、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的性质、解二元一次方程组，分两种情况：当，即时；当，即时；根据一次函数的性质列出二元一次方程组，解方程即可得解． 【详解】解：①当，即时， 当时，y取到最大值，， 整理，得． 联立方程组：． 解得． ②当，即时， 当时，y取到最大值，， 整理，得． 联立方程组：， 解得（舍去）． 综上所述，n的值是． 故答案是：． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④；⑤若，则．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①③⑤ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象经过第一、三象限，得出，即可判断①正确；由一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴交于负半轴，得出，，即可判断②错误；由一次函数与图象的交点坐标为即可判断③正确；由图象可得，当时，，即可判断④错误；求出一次函数的解析式为，从而可得一次函数与轴的交点坐标为，即可判断⑤正确；熟练掌握一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴，故①正确，符合题意； ②∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴交于负半轴， ∴，， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴方程的解是，故③正确，符合题意； ④在中，当时，， 在中，当时，， 由图象可得，当时，， ∴ ，故④错误，不符合题意； ⑤把代入可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 26．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】考查了一次函数图象与系数的关系． （1）当y随x的增大而减少时，，解之即可得出结论； （2）图象经过第一、二、三象限时，，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 即当时，y随x的增大而减小； （2）解：若图象过第一、二、三象限，则 ， 解得， 故当时，图象能过第一、二、三象限． 27．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【答案】(1)8 (2) 当时，图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限． ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点． ∴． ∴ 答：b的最大值为8； （2）略 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． 【考点5】函数图象信息与动点规律（第28-33题） · 读图象先看横纵轴含义，找分段拐点 · 动点问题分段讨论运动过程 · 规律题列表归纳第n个量的表达式 28．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，根据溶液呈碱性，，以及将给定的溶液加水稀释，值逐渐接近，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象． 【详解】解： 溶液呈碱性， ， 将给定的溶液加水稀释， 值逐渐减小，逐渐接近， 故选：B． 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形面积公式以及分类讨论的数学思想，根据题意求出函数关系式是关键，注意分类讨论．研究两个动点到正方形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式，根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：根据两个动点的运动状态可知， （1）当时，，此时抛物线开口向上； （2）当时，如图，，此时抛物线的开口向下． 故选：A． 30．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段检测）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为，两车之间的距离（）与货车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，图中点的坐标为___________ 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象；设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，根据3小时相距120千米即可列方程求解，根据条件段所用的时间是45分钟，利用甲和乙之间的距离减去货车行驶的距离即可求得点对应的纵坐标，即可求解． 【详解】解：设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，则 ， 解得：． 则甲、乙两地之间的距离是（千米）； 快递车返回时距离货车的距离是：（千米），即点的纵坐标为 ∵装卸货物共用， ∴点的横坐标为 故答案为：． 31．（4.4课时3两个一次函数图象的实际应用）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始打折卖出，其中，购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①乙商店给出的折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店更合算；③购买30本练习本时，甲商店更合算；④在甲商店购买20本练习本需花费17元，正确的是________．（填序号即可）    【答案】③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数的实际应用，解题的关键是读懂题意． 从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知，乙商店每本练习本的费用为元，即乙商店给出的折扣是八五折，此项错误； ②由图象可知，乙商店每本练习本的费用为元，故购买10本时，在甲商店购买需花费：元，在乙商店购买需花费：元，故乙商店更合算，此项错误； ③由图象可知：当时，乙图象在甲图象的上方，即在乙商店购买花费的多，所以购买30本练习本时，甲商店更合算，此项正确； ④在甲商店购买20本练习本需要花费元，故此项正确； 故答案为：③④． 32．（23-24七年级下·四川成都·期中）“天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离家的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到本市科技馆的距离是 ； (2)小明等待红绿灯所用的时间为 ； (3)图中点表示的意义是 ； (4)小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？ (5)小明在整个途中，共行驶了多少路程？ 【答案】(1)； (2)； (3)快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，此时小明离家，离科技馆是； (4)小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； (5)小明在整个途中，共行驶了； 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（）根据题意和函数图象可以得到小明家到科技馆的距离； （）根据题意和函数图象可以得到小明等待红绿灯所用的时间； （）根据题意和函数图象可以得到小明在点时间段的意义 ； （）根据题意和函数图象可以得到小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； （）根据题意和函数图象可以得到小明在整个途中共行驶路程． 【详解】（1）解：由图象可知小明家到本市科技馆的距离是， 故答案为； （2）解：由图象可知，小明在之间等待红绿灯， ∴小明等待红绿灯所用的时间为， 故答案为； （3）解：由图象可知点是快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，此时小明离家，离科技馆是， 故答案为 ：快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙, 此时小明离家，离科技馆是； （4）解： ∵时间段的速度为， 时间段的速度为， 时间段的速度为， 时间段的速度为， ∴， ∴小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； （5）解：∵时间段的路程为， 时间段的路程为， 时间段的路程为， 时间段的路程为， ∴小明在整个途中，共行驶了． 【点睛】本题考查了函数图象，利用函数图象获取信息明白图中各点的意义是解题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发后相遇；②A，B两地相距；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______ ． 【答案】①②④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断①，②；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断③④． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故结论②正确，符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故结论③错误，不符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故结论④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【考点6】一次函数的实际应用·行程与计费（第34-43题） · 行程问题：斜率表示速度，交点表示相遇 · 计费问题：分段函数写清区间 · 先设解析式，代入已知点求k、b 34．（23-24七年级上·山东威海·期末）小明用刻度不超过的温度计，估计某种食用油的沸点温度（沸腾时的温度）．他将该食用油倒入锅中均匀加热，每隔测量一次油温，得到如下数据： 时间t（s） 油温y（℃） 当加热时，油沸腾了．可以估计该食用油的沸点温度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用表格中数据求出函数表达式是解题的关键．根据表格中的数据求出油温和时间之间的函数表达式，再将代入即可． 【详解】解：由表中数据可知油温随着时间的增长而匀速增长， 设，将，代入， 得：， 解得：， ， 当时，，即这时油的沸点温度是， 故选：C． 35．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为． 36．（25-26八年级下·上海·阶段检测）恺撒密码应用：若密文“”由恺撒密码（加密密钥为）加密得到，则明文为________． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】恺撒密码加密规则为：密文字母对应数字 ，其中为明文字母对应数字，为加密密钥．由加密密钥为可得，找出密文对应的数字，代入计算即可． 【详解】解：设为明文字母，为密文字母，则， 将26个英文字母按顺序对应数字到，即A对应，B对应，…，Z对应． 可得密文对应，密文对应， 当时，有，解得：，对应字母为． 当时，有，解得：，对应字母为． ∴明文为． 37．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多________． 【答案】10 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 当时，，， ， 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：10． 38．（25-26八年级上·全国·单元测试）客运站的收支差额（元）与客运量（人）的函数关系如图中直线所示（收支差额车票收入固定支出），为提高经济效益，客运部门提出方案，想达到直线和的预期结果．方案一：提高票价，固定支出不变，可以达到直线___________；方案二：票价不变，减少固定支出，可以达到直线___________． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，设票价是，固定支出是，则直线可表示为．根据k，b的变化情况找出对应的函数图象即可． 【详解】解：设票价是，固定支出是，则直线可表示为． ①当提高票价，固定支出不变时，即变大，不变，所以可以达到直线； ②当票价不变，减少固定支出时，即不变，减小，则变大，所以可以达到直线． 故答案为：，． 39．（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． 40．（2025·陕西·一模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象． (1)求段的函数表达式； (2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？ 【答案】(1) (2)800米 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）设段的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）先求出小明离学校的距离的函数表达式，将代入求出与学校的距离，进而可求出小明距离家还有多远． 【详解】（1）解：设段的函数表达式为， 将点代入， 得 解得 段的函数表达式为． （2）解：设小明离学校的距离的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，， （米）， ∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米． 41．（23-24七年级下·河南郑州·期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出泳池中水的体积与注水时间t（）之间的函数关系式． (2)注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 【答案】(1) (2)8小时 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键． （1）根据“泳池中水的体积=泳池中原有水的体积+新注入的水的体积”作答即可； （2）根据长方体的体积公式，计算泳池中水的高度为水的体积，当这个数值代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ∴与的函数关系式为． （2）当泳池中水的高度为时，水的体积为， 当时，得，解得， ∴注水后，泳池中水的高度为． 42．（23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 【答案】(1) (2)40天 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得：， 甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 解得：， 当时，甲组挖掘了天． 43．（北师大八年级下学期期中必刷压轴60题（30个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（北师大版））为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要型花2枝和型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要型花1枝和型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． (1)求型花和型花每枝的成本分别是多少元？ (2)求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 【答案】(1)型花和型花每枝的成本分别是5元和4元 (2)按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，在解题时要注意根据题目中的数量关系列出不等式是解题的关键． （1）本题需根据题意设型花和型花每枝的成本分别是元和元，根据题意列出方程组，即可求出型花和型花每枝的成本． （2）本题需先根据题意设按甲方案绿化的道路总长度为米，根据题意列出不等式，解出结果；再求出工程的总成本即可得出答案． 【详解】（1）解：设型花和型花每枝的成本分别是元和元，根据题意得： 解得： 所以型花和型花每枝的成本分别是5元和4元． （2）解：设按甲方案绿化的道路总长度为米，所需工程的总成本是w元， 根据题意得： 解得 则所需工程的总成本是 当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少 （元 当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元． 【考点7】一次函数的方案设计与最大利润（第44-47题） · 设自变量表示方案数量，列利润函数 · 自变量受条件限制时先求取值范围 · k>0时取最大值对应自变量最大，k<0反之 44．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1  从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表  水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温和加热时间呈线性关系． (1)表中的值为______； (2)根据表中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象；   当时，______； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 【答案】(1) (2) 补全水温与时间的函数图象如图所示：    (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用描点法画函数图象、其他问题(一次函数的实际应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了一次函数的应用，用描点法画函数图象，用表格表示变量间的关系，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）描点并连线即可； 当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每分钟水温上升的温度， 据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）分别计算的水从加热到需要时间；以及计算水温从降到需要的时间，即可得解． 【详解】（1）解：由表可知，在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， 在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， ， ． 故答案为：； （2）解：略 当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每分钟水温升高， 由此得， 解得， （分）， 根据表的数据可知，经过分后降到了， 当时，． 故答案为：； （3）解：由表可知，的水从加热到需要：分， 由表可知，水温从降到需要：（分）， （分）， 小明至少需要分钟才能喝到不高于的水． 故答案为：． 45．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题． (1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … (2)根据函数图象回答下列问题． ①当______时，y有最小值为______ ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1) 则补充表格如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 函数图象，如图所示： (2)①，； ②时，随增大而减小； ，随增大而增大；（答案不唯一，任选一条回答即可）； (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，画一次函数图象，求函数值等等，正确画出对应的函数图象是解题的关键． （1）将代入求出函数值，即可填表格，再用描点连线即可作图； （2）①根据题意画出图象，根据图象可得最值；②根据图象写出性质即可； （3）由于直线是一条平行于轴的直线，则由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，． （2）解：①根据图象可知，当时，最小值为：， 故答案为：，； ②略 （3）解：∵直线是一条平行于轴的直线， ∴由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点， ∴， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）． (1)从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） (2)若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ (3)若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费） 【答案】(1)元 (2)这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨 (3) 【知识点】列代数式、其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查列代数式以及二元一次方程组的应用，正确找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据“总运费=铁路运费+公路运费”列式计算即可； （2）设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨，根据“从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”列出方程组，解出方程组即可； （3）根据“每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费”列式即可． 【详解】（1）解：（元）； 答：从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是元； （2）解：设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨，根据题意，可得 解方程组，得 （吨） 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨． （3）解： ． 47．（23-24八年级上·四川雅安·期末）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某玩具店购进大运会吉祥物“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶共100个，费用为4600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） “蓉宝”摆件 50 70 “蓉宝”钥匙扣 40 50 (1)该玩具店购进“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶各多少个？（列二元一次方程组解答） (2)该玩具店计划一次性购进两种样式吉祥物共300个，设购进“蓉宝”摆件个，且“蓉宝”钥匙扣不能少于100个，这300个玩具的销售总利润为元．请写出关于的函数关系式，并判断利润能否达到5100元，并说明理由． 【答案】(1)“蓉宝”摆件购进60个，“蓉宝”钥匙扣购进40个 (2)，利润不能达到5100元，理由如下： 解：∵购进“蓉宝”摆件购进个，则购进“蓉宝”钥匙扣购进个 ∴， 整理，得， ∵， ∴当时，， ∵， ∴利润不能达到5100元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组应用及一次函数的应用， （1）设“蓉宝”摆件购进个，“蓉宝”钥匙扣购进个，根据题意列方程组并求解即可解决； （2）根据题意列出一次函数表达式，并根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设“蓉宝”摆件购进个，“蓉宝”钥匙扣购进个， 由题意可得， 解，得， 答：“蓉宝”摆件购进60个，“蓉宝”钥匙扣购进40个； （2）略 【考点8】一次函数与几何综合（第48-52题） · 把点坐标转化为线段长，结合勾股定理 · 面积问题用坐标表示底和高 · 存在性问题先假设再列方程验证 48．（23-24八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，得到， 于是直线的表达式是． 于是过点与直线垂直的直线解析式为． 联立方程组， 解得，则交点． 根据中点坐标公式可以得到点， ∵点在长方形的内部， ∴， 解得或者． 本题答案：或者． 故选：C． 49．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题意，利用勾股定理求出、、的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：∵直线，当时，；当时，； ∴，， ∴； ； ； ； ∴． 则， 的横坐标为， ∴的坐标为． 故选：A． 50．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出点的坐标，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 51．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为_________． 【答案】5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 52．（23-24八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（）从图中不难发现，点在轴上，即点的横坐标为，且点在一次函数的图象上，则将代入即可求得值，点坐标即可确定； （）根据点为一次函数的图象与轴的交点，不难确定点的坐标为，再运用三角形的面积计算公式，即可用求得； （）要使得最小，找出点对称点，然后连接且求出解析式，当时即可求出点的坐标． 【详解】（1）由，当，则， ∴点的坐标为， （2）由，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 即， （3）存在，理由：当时，即，解得：， ∴点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 如图，    设直线的函数表达式为，把点代入，得：， 将代入得：， ∴， 当时，，解得， ∴在轴上存在一点，使得最小． 【点睛】此题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：函数定义、自变量取值范围要清楚 · 图象过关：k、b符号定象限，交点坐标会求 · 解析式过关：待定系数法两步走，列方程组求k、b · 应用过关：行程看斜率、计费看分段、利润看最值 · 综合过关：坐标化线段长，结合勾股与面积公式 【作业1】．（25-26九年级上·辽宁抚顺·开学考试）两直线与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论矛盾，故错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 故选：． 【作业2】．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（    ） A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B．小红在图书馆看书用了分钟 C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键． 根据图象，可得从家到图书馆，图书馆到超市的距离以及相应的时间，根据路程、速度与时间的关系，可得答案． 【详解】解：由题意得： 小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米，故选项A说法正确，不符合题意； 小红在图书馆看书用了：分钟，故选项B说法正确，不符合题意； 超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是：千米分钟，故选项C说法正确，不符合题意； 从图书馆到超市用了：分钟，图书馆离超市有：千米，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【作业3】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交， ∴函数经过一、三、四象限， ∴， 故选：B． 【作业4】．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的图象、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据、的取值，分别判断出两个函数图象所经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、三、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过二、三、四象限； 故在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是 ， 故选：D． 【作业5】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【作业6】．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为_______． 【答案】/ 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴…， 又，…， ∴的坐标为， 当时，顶点的横坐标为 故答案为：． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 【答案】24 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为 ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为 ，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 【作业8】．（25-26八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是____________________________． 【答案】第二象限或第三象限 【知识点】判断点所在的象限、正比例函数的定义 【分析】首先，根据“特征数”的定义，写出对应的一次函数表达式；再根据正比例函数的定义，求出的值；最后代入点的坐标，判断其所在象限． 【详解】解：由“特征数”的定义，对应的一次函数为：． 正比例函数要求常数项为，且一次项系数不为： 且， 解得：． ①当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限． ②当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为负，位于第三象限． 综上，点所在的象限是第二象限或第三象限． 故答案为：第二象限或第三象限． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义、特征数的概念和平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是根据正比例函数的定义求出的所有可能值，并分情况讨论点的位置，避免漏解． 【作业9】．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是________（填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 【答案】①②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意． 【详解】解：由图象可得， 小刚返回家的速度为： （米/分钟）， 故①正确，符合题意； 小亮与小刚家相距为： （米）， 故②正确，符合题意； 小亮到体育馆用的时间为：（分）， 故③正确，符合题意； 小刚从家到体育馆用的时间为： （分）， 小刚回家后取装备用的时间为： （分）， 故④正确，符合题意； 小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟， ， 解得， ∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为： （米）， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 【作业10】．（2024·天津河北·模拟预测）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为__________________． 【答案】/0.5 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，将代入即可． 【详解】解：依题意可得，平移后函数解析式为， 将代入， 即， 解得． 故答案为：． 【作业11】．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 【详解】当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 【作业12】．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为_______． 【答案】1或2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 【作业13】．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为 ． 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店销售一台型电脑销售利润为100元，销售一台型电脑的销售利润为150元． (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问型电脑和型电脑各售出多少台？（列方程组解应用题） (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，要使销售总利润为13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑． 【答案】(1)售出A型电脑13台，售出B型电脑5台 (2) (3)25台A型电脑、75台B型电脑 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用． （1）分别设售出A型电脑的台数和售出B型电脑的台数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“销售总利润销售一台A型电脑销售利润售出A型电脑的台数销售一台B型电脑的销售利润售出B型电脑的台数”写出W关于m的函数表达式即可； （3）将代入W关于m的函数表达式，求出对应m的值及 的值即可． 【详解】（1）解：设售出A型电脑x台，售出B型电脑y台， 根据题意，得， 解得， 答：售出A型电脑13台，售出B型电脑5台； （2）解：根据题意，得， ∴W关于m的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， （台）． 答：该商店应采购25台A型电脑、75台B型电脑． 【作业15】．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． (2)应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【作业16】．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 【答案】(1) (2)如图所示，    时，y随x增大而增大 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理： （1）先利用勾股定理求出，再分当点P在上运动时，当点P在上运动时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，并写出对应的函数性质即可； （3）分别求出直线恰好经过时，当直线恰好经过时，b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当点P在上运动时，则， ∴； 当点P在上运动时，过点C作于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    综上所述，； （2）解：函数图象即为所求； 由函数图象可知，时，y随x增大而增大； （3）解：当直线恰好经过时，， 当直线恰好经过时，，解得， ∴由函数图象可知，当时， 直线与该函数图象有且仅有两个交点．    【作业17】．（2025·浙江湖州·一模）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： (1)求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； (2)当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】(1) (2)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，弄清题意，能从图象中获取有用的信息是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的解析式即可； （2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知点，，， 设的解析式为， 则， 解得， 所以，， 所以，小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明出发2小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况： ①当，解得， ②当，解得， 所以小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或． 【作业18】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点，代入计算可得抛物线的解析式，再求出时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：①点在轴下方的抛物线上；②点在轴上方的抛物线上，根据求解即可得； （3）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，则，，从而可得，然后根据点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 当时，，解得或， 则点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：①如图，当点在轴下方的抛物线上时，设交轴于点， 则，， 要使，则， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ，符合题设， ∴此时点的横坐标为； ②如图，当点在轴上方的抛物线上时， 要使，则， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴点与点关于二次函数的对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 综上，点的横坐标为或． （3）解：设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∴，， ， ∵点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值，即对于在内的任意的值，为定值， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、一次函数等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章·一次函数·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数的概念，能识别自变量与函数，会求自变量的取值范围 · 掌握正比例函数与一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义 · 会用待定系数法求一次函数解析式，理解一次函数与一元一次方程的关系 · 能从函数图象中读取信息，解决行程、计费、销售利润等实际问题 · 能解决一次函数与几何图形结合的综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.函数的概念 函数：在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 自变量与因变量：主动变化的量叫自变量，随之变化的量叫因变量 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法 自变量取值范围：使解析式有意义，且符合实际问题意义 概念辨析例题：函数y=中，自变量x的取值范围是什么？ 答案：x≥2 解析：二次根式被开方数非负，x-2≥0，即x≥2 ☆ 2.一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；b=0时为正比例函数y=kx k>0时y随x增大而增大，图象从左到右上升；k<0时下降 b>0与y轴交于正半轴，b<0交于负半轴；k、b符号决定经过的象限 平移：直线y=kx+b上下平移改变b，左右平移在x上加减 概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象经过哪几个象限？ 答案：第一、二、四象限 解析：k=-2<0直线下降，b=3>0与y轴正半轴相交，故过一、二、四象限 ☆ 3.一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标 与x轴交点：令y=0求x；与y轴交点：令x=0求y 待定系数法：设y=kx+b，代入已知点坐标列方程组求k、b 两直线交点坐标即两个函数解析式组成方程组的解 概念辨析例题：求一次函数y=2x-4与x轴、y轴的交点坐标 答案：与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-4) 解析：令y=0得x=2；令x=0得y=-4 ☆ 4.一次函数的应用 读图象：看清横纵轴表示的量，注意分段与拐点的实际意义 行程问题：路程=速度×时间，图象斜率表示速度 计费问题：分段函数，注意不同区间的单价 方案与利润问题：设自变量表示方案数量，列利润函数求最值 概念辨析例题：某出租车起步价8元（3千米内），超过3千米每千米2元，求车费y与路程x（x≥3）的函数关系式 答案：y=8+2(x-3)=2x+2 解析：超过3千米部分为(x-3)千米，费用为8+2(x-3) 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数 x每取一值y唯一确定 三种表示方法可互化 一次函数 y=kx+b（k≠0） k=0不是一次函数 正比例函数 y=kx（k≠0） 过原点的直线 k、b意义 k定方向，b定y轴交点 符号定象限 与坐标轴交点 令x=0或y=0 交点坐标别写反 待定系数法 代入点坐标列方程 两个点确定一条直线 ⚠️ 核心考点 【考点1】函数的概念与三种表示（第1-10题） · 判断函数关系：看x取一值时y是否唯一确定 · 自变量取值范围：解析式有意义+实际意义 · 三种表示方法互相转化，会读表格和图象 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   3．（21-22八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与y轴交于点，且，则k的值为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广东茂名·期末）点在函数的图象上，则代数式的值等于_____． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知y与成正比例，当时；当时，______． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 9．（23-24七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 10．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【考点2】正比例函数的图象与性质（第11-13题） · 正比例函数y=kx是过原点的直线 · k>0过一、三象限；k<0过二、四象限 · 图象上点的坐标满足解析式 11．（25-26八年级下·四川泸州·期末）已知正比例函数的图象经过点，若点是轴上一动点，点，则当取最小值时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为________． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【考点3】一次函数的图象与象限交点（第14-19题） · 由k、b符号判断经过象限 · 与坐标轴交点：令x=0、y=0分别求解 · 平移规律：上加下减在b，左加右减换x 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，将该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数（m、n为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．该函数图象与y轴交于负半轴 B．该函数图象有可能经过坐标原点 C．该函数图象与x轴交点的横坐标小于 D．该函数图象不一定经过第三象限 17．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知点在直线上，当时，，则在平面直角坐标系内，它的图象不经过第___________象限 18．（18-19九年级下·广东深圳·阶段检测）点关于对称点的坐标是_____． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【考点4】一次函数的增减性与参数（第20-27题） · k>0递增、k<0递减，比较函数值大小看k · 由经过象限或增减性列不等式求参数范围 · 注意k≠0这一前提 20．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知函数．当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二象限，且过点，记，则W的取值范围是_________． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 23．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 24．（23-24八年级下·福建莆田·期中）函数（m，n为常数，）若，当时，函数有最大值0，则_____． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④；⑤若，则．其中正确的结论是________．（填写序号） 26．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 27．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【考点5】函数图象信息与动点规律（第28-33题） · 读图象先看横纵轴含义，找分段拐点 · 动点问题分段讨论运动过程 · 规律题列表归纳第n个量的表达式 28．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段检测）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为，两车之间的距离（）与货车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，图中点的坐标为___________ 31．（4.4课时3两个一次函数图象的实际应用）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始打折卖出，其中，购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①乙商店给出的折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店更合算；③购买30本练习本时，甲商店更合算；④在甲商店购买20本练习本需花费17元，正确的是________．（填序号即可）    32．（23-24七年级下·四川成都·期中）“天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离家的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到本市科技馆的距离是 ； (2)小明等待红绿灯所用的时间为 ； (3)图中点表示的意义是 ； (4)小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？ (5)小明在整个途中，共行驶了多少路程？ 33．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发后相遇；②A，B两地相距；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______ ． 【考点6】一次函数的实际应用·行程与计费（第34-43题） · 行程问题：斜率表示速度，交点表示相遇 · 计费问题：分段函数写清区间 · 先设解析式，代入已知点求k、b 34．（23-24七年级上·山东威海·期末）小明用刻度不超过的温度计，估计某种食用油的沸点温度（沸腾时的温度）．他将该食用油倒入锅中均匀加热，每隔测量一次油温，得到如下数据： 时间t（s） 油温y（℃） 当加热时，油沸腾了．可以估计该食用油的沸点温度是（ ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 36．（25-26八年级下·上海·阶段检测）恺撒密码应用：若密文“”由恺撒密码（加密密钥为）加密得到，则明文为________． 37．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多________． 38．（25-26八年级上·全国·单元测试）客运站的收支差额（元）与客运量（人）的函数关系如图中直线所示（收支差额车票收入固定支出），为提高经济效益，客运部门提出方案，想达到直线和的预期结果．方案一：提高票价，固定支出不变，可以达到直线___________；方案二：票价不变，减少固定支出，可以达到直线___________． 39．（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 40．（2025·陕西·一模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象． (1)求段的函数表达式； (2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？ 41．（23-24七年级下·河南郑州·期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出泳池中水的体积与注水时间t（）之间的函数关系式． (2)注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 42．（23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 43．（北师大八年级下学期期中必刷压轴60题（30个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（北师大版））为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要型花2枝和型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要型花1枝和型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． (1)求型花和型花每枝的成本分别是多少元？ (2)求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 【考点7】一次函数的方案设计与最大利润（第44-47题） · 设自变量表示方案数量，列利润函数 · 自变量受条件限制时先求取值范围 · k>0时取最大值对应自变量最大，k<0反之 44．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1  从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表  水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温和加热时间呈线性关系． (1)表中的值为______； (2)根据表中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象；   当时，______； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 45．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题． (1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … (2)根据函数图象回答下列问题． ①当______时，y有最小值为______ ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 46．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）． (1)从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） (2)若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ (3)若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费） 47．（23-24八年级上·四川雅安·期末）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某玩具店购进大运会吉祥物“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶共100个，费用为4600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） “蓉宝”摆件 50 70 “蓉宝”钥匙扣 40 50 (1)该玩具店购进“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶各多少个？（列二元一次方程组解答） (2)该玩具店计划一次性购进两种样式吉祥物共300个，设购进“蓉宝”摆件个，且“蓉宝”钥匙扣不能少于100个，这300个玩具的销售总利润为元．请写出关于的函数关系式，并判断利润能否达到5100元，并说明理由． 【考点8】一次函数与几何综合（第48-52题） · 把点坐标转化为线段长，结合勾股定理 · 面积问题用坐标表示底和高 · 存在性问题先假设再列方程验证 48．（23-24八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 49．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 51．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为_________． 52．（23-24八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：函数定义、自变量取值范围要清楚 · 图象过关：k、b符号定象限，交点坐标会求 · 解析式过关：待定系数法两步走，列方程组求k、b · 应用过关：行程看斜率、计费看分段、利润看最值 · 综合过关：坐标化线段长，结合勾股与面积公式 【作业1】．（25-26九年级上·辽宁抚顺·开学考试）两直线与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（    ） A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B．小红在图书馆看书用了分钟 C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 【作业3】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为_______． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 【作业8】．（25-26八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是____________________________． 【作业9】．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是________（填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 【作业10】．（2024·天津河北·模拟预测）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为__________________． 【作业11】．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【作业12】．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为_______． 【作业13】．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店销售一台型电脑销售利润为100元，销售一台型电脑的销售利润为150元． (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问型电脑和型电脑各售出多少台？（列方程组解应用题） (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，要使销售总利润为13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑． 【作业15】．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【作业16】．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 【作业17】．（2025·浙江湖州·一模）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： (1)求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； (2)当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【作业18】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $