专题06 一次函数与三角形综合问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题06 一次函数与三角形综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2 一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3 一次函数与三角形全等问题（难） 题型4 一次函数中折叠的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与三角形的面积问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ◆题型2 一次函数与三角形存在问题 4.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型3 一次函数与三角形全等问题 7．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 8．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 9.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． ◆题型4 一次函数中折叠的综合问题 10．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 11.如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 6．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06一次函数与三角形综合问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3一次函数与三角形全等问题（难） 题型4一次函数中折叠的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1一次函数与三角形的面积问题 1. 【答案】(1)y=-2x+4 (2)3 【知识点】几何问题（一次函数的实际应用） 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键. (1)根据待定系数法求解： (2先求出点C、p的坐标，再根据30号4C,即可求解。 【详解】(1)解：设直线2的解析式为y=x+b, 直线马经过点A(2,0),B(0,4), 2k+b=0 .0+b=4, k=-2 解得：1b=4’ .直线2的解析式为：y=-2x+4； (2)当y=0时，有x+1=0, 解得：x=-1, 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(-1,0). A(2,0), 、AC=2-(-I)=3, y=x+1 联立：y=-2x+4' 「x=1 得：y=2 P(1,2), 5.xcr=CLy=x3x2=3 1 2 2 2. 【答案】(1)4(4,0)，B(0,3): (2)6 (3)点C的坐标为(-1,0)或(9,0) 【分析】(1)分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标： (2)根据三角形面积公式代入数据计算即可： (3)设点C的坐标为(m,0),先求出AB长，再解得m值即可. .3 【详解】(1)解：在y=-+3中，当x=0时，y=3:当y=0时，x=4 .A4,0),B(0,3): (2)解：S40n=5×3×4=6: 2 (3)解：设点C的坐标为(m,0), 由勾股定理得AB=V32+42=5, ..AB=AC. m=4-5=-1或4+5=9」 ∴点C的坐标为(-1,0)或(9,0). 3. 【答案】(1)y=x-5 (2)3 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)存在，点P(-3,-8)或(9,4) 【分析】(1)设直线马的函数解析式为y=c+b,将A(5,0)、B(4,)代入y=c+b求解即可： y=-2x+4 (2)联立两直线解析式组成方程组 y=x-5，求得C(3,-2),再求出D(2,0)即可根据三角形面积公 式计算； (3)分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知S,D=2Sm,据此可求得n=4,即可求得答案；当 点P在x轴下方时，可知Sw=4S,据此可求得p=-8,即可求出答案. 【详解】(1)解：设直线2的函数解析式为y=c+b, 「5k+b=0 将A5,0)小B(4,-H)代入y=+b'得14k+b=-1: [k=1 解得：1b=-5 ∴直线2的函数解析式为y=x-5: y=-2x+4 (2)解：联立两直线解析式组成方程组y=x-5， x=3 解得： y=-2' 点C的坐标为(3，-2)， 当y=-2x+4=0时，x=2, 点D的坐标为2,0)， Sx=40=×5-2x2=3, (3)解：存在. 当点P在x轴上方时， S.CDp =3SAC .S.PAD=2S.4CD 号4D%=2x兮4D. 2 ∴yp=2yc=2×2=4. .4=x-5, 3122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=9 点P的坐标为(9,4)： A 当点P在x轴下方时， S.CDp=3S40C ·.SPaD=4SAMD, 3D=4x0, yn=4ye=4×2=8, ∴yp=-8， y=x-5, x=-3, 此时点P的坐标为(-3，-8)： 综上所述：在直线上存在点P(-3,-8)或(9,4)，使得△CDP面积是△ADC面积的3倍. ◆题型2一次函数与三角形存在问题 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=4+6,A(-8,0),B(0,6) 2(2,0)或(-18,0)或(8,0) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题（一次函数的实际应用）、 等腰三角形的定义 【分析】(1)根据平移的规律得出直线I的解析式，由函数解析式令y=0求A点坐标，x=0求B点坐标； (2)分AM=AB,BM=AB两种情况讨论即可. 3 【详解】(1)解：将直线y=4x+8向下平移2个单位长度得到直线↓， “直线1的解析式为y=3x+8-2=3x+6, 3 4 4 当=0时，0=3 x+6,解得x=-8 4 当x=0时，y=6, A(-8,0),B(0,6): (2)解：·A(-8,0),B(0,6) .A0=8,B0=6, .∠AOB=90° .AB=VAO2+B02=10, 设M(b,0), 当AM=AB=10时，b-（-8=10, 解得b=2或-18， .M的坐标为(2,0)或（-18,0)： 当BM=AB时， .BO⊥AM, ∴.M0=A0=8, M的坐标为(8,0： 综上，M的坐标为(2,0)或(-18,0)或(8,0). 5. 【答案】(1)A(4,0),B(0,2) 5122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2①p点坐标为(-1.5,0)或(-6.5,0)，②存在，点D的坐标为(-1,0)或1+V5,0)或1-5,0)或(-1.5,0) 【分析】(1)令y=0可求出点A的坐标，令x=0可求出点B的坐标： 1 (2)①根据Sm=SaMc求出AP长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】（少解：当）=0时，0+2，x=4, .A(-4,0) 当x=0时，y=2, B(0,2): 1 (2)解：①，S△M= 2 4x2=对0+4x2. 1 .AP=2.5, P(4+2.5,0)或P(4-2.5,0),即P(-1.5,0)或P(-6.5,0): ②设D的坐标是(m,0) :CD2=(m-12,BD2=(m-02+(0-2}2=m2+4,BC2=2+2=5, 当BC=BD时，5=m2+4,解得：'m=-1,m=1(舍去)： 当BC=CD时，5=(m-,解得：m=1+5,m,=1-5; 当CD=BD时，(m-=m2+4,解得：m=-1.5: 综上可知，点D的坐标为(-1,0)或1+5,0)或1-5,0或(-1.5,0). 6. 【答案】(1)(8,0)：(0,6： (2)点M的坐标为(0,33)或(0，-2)： (3)存在，点P的坐标为14,8)或(6,14)或(7,7) 【分析】(1)直接利用直线y=一x+6求得点A和点B的坐标： (2)由(1)得可得到OA,OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，由折叠的性质可得到 BC=CD,AB=AD=I0,利用OD=OA+AD可得D的坐标，设OC=x,则CD=CB=x+6,利用勾股定 6122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理求出C0,-2,然后求出S,um-2×216=108,设点M的坐标为0，，建立方程求解即可： (3)分三种情况：①若∠BAP=90°，AB=AP:②若∠ABP=90°，AB=BP:③若∠APB=90°，BP=AP, 分别利用全等三角形的判定及性质求解即可， 【详解】(1)解：令x=0得：y=6, B(0,6) 令y=0得：0=子+6，解得：X-8 .A8,0) (2)由(1)得0A=8,0B=6. ∴.AB=10. 由折叠的性质可知BC=CD,AB=AD=I0 .OD=OA+AD=8+10=18, 设OC=x,则CD=CB=x+6 在RtAOCD中，CD2=OC2+OD2, .(x+6)2=x2+182 解得：x=24, ∴0C=24 .C(0,-24): 1 :.S.oc=2 ×24×18=216. 1 ∴.SMB=亏×216=108， 2 设点M的坐标为(0，y), ÷8us-2×8x6-=108, 解得y=-21或y=33 点M的坐标为(0,33)或(0，-2)： (3)存在，理由如下： ①若∠BAP=90°，AB=AP,如图，过点P作PG⊥OA交OA于点G, 7122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C ,∠BAP=90°，AB=AP, ∴.∠0AB+∠PAG=90,∠0AB+∠0BA=90°， .∠PAG=∠OBA :∠AOB=∠PGA=90°，AB=AP ∴.△AOB≌aPGA(AAS), ..OB=AG=6,0A=PG=8. ∴.0G=OA+AG=14 ∴.此时点P的坐标为4,8)： ②若∠ABP=90°，AB=BP,如图，过点P作PH⊥OB交OB点H, B A 同理可得，此时点P的坐标为(6,14)； ③若∠APB=90°，BP=AP,如图，过点P作PM⊥OA交OA于点M,PW⊥OB交OB于点N, B D OMA .∠BPA=90°， 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BPN+∠BPM=90°， :∠BPM+∠APM=90°， ∴.∠BPN=∠APM, .△BPN≌aAPM(AAS). :.PN=PM,BN=AM 设点P的坐标为(a,a, ∴.a-6=8-a, 解得：a=7, ∴此时点P的坐标为(7，)， 综上所述，点P的坐标为(14,8)或(6,14)或(7,7). ◆题型3一次函数与三角形全等问题 7.D 8.（-3,0)或(-1-V5,0) 【答案】(1)A(-8,0),B(0,6): aoc-号 80的华标为0号)支)度 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题（一次函数的实际应用）、全等三角形综合问题、 用勾股定理解三角形 【分析】(1)将x=0和y=0分别代入y=4x+6求解即可： (2)首先根据点A和点B的坐标得到OA=8,OB=6,然后利用勾股定理求出AB=10,然后利用 2SMoB=OAOB=AB.OC代入求解即可； c)首先根嘉题意得到OP是△P00的斜边，Q为直角顶点，然后设P0m+6.则Q0m+6】 3 4 然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可. 3 【详解】(1)在y=x+6中，令x=0得y=6:令y=0得x=-8: 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-8,0),B(0,6): (2)由(1)知A(-8,0),B(0,6), .0A=8,0B=6, .AB=VO42+0B2=10, 2S40B=0A.OB=AB.OC, :0C=04.0B=8x624 AB-10-5 (3):以O,P,9为顶点的三角形与△OCP全等， :.OP是△POO的斜边，O为直角顶点， 设Pm+6.则+6 当△OCP≌PO0,P在C下方时，如图： B 则OC=P9. 24 5=P№， :ms、24 5” +6-6 5, (5: 当△OCP≌PO0,P在C上方时，如图： 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o P C A ..PO=OC, P0=24 · :ms24 5 3 4m+6= 3.24 45 *68 5 当△OCP≌OOP时，如图： 则00=0c=24 ). 12）/ 48） 综上所述，Q的坐标为 ◆题型4一次函数中折叠的综合问题 或(0，-6) 11. 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)A(3,0),B(0,4) 5 24 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解 是解题的关键： (1)分别令x=0,y=0,求出A、B的坐标即可； (2)设M(0,m),勾股定理求出AB的长，等积法求出m的值，再利用面积公式进行计算即可. 【详解)(1)解：AB:y=- 3x+4, 4 ∴当x=0时，y=4,当y=0时，3x+4=0,解得x=3 A(3,0),B(0,4): (2)解：·A(3,0),B(0,4). .OA=3,OB=4,AB=V32+42=5, ·翻折， :'AB'=AB=5,S.ABM =S.ARM, 24B-oM-aM-04, 设M(0,m）),则：OM=m,BM=OB-OM=4-m, 1 1 ×5m=二×3(4-m), .2 2 解如 5m34--34-. 2 12. 【答案】(1)A(4,0),B(0,4): (2)存在，P点坐标为(2,2)； (3)折痕BC的解析式为y=-Q+V2)x+4。 【分析】(1)利用直线解析式，容易求得A、B的坐标： 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E,交AB于点P,则P点即为所求，可求得E点坐标，则容 易求得P点坐标： (3)可设Ct,0),由折叠的性质可得到CD=t,AC=4-t,在REAACD中，由勾股定理可得到关于t的方程， 可求得t的值，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式. 【详解】(1))在y=-x+4中，令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, .A(4,0),B(0,4): (2)如图1，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E,交AB于点P, B E 图1 则OP=PA,即P点即为满足条件的点， OA=4, ∴.0E=2, 在y=-x+4中，当x=2时，可得y=2, “P点坐标为(2,2)： (3)如图2， D 0 C A 图2 设C(,0),则AC=0A-0C=4-t, .OA=OB=4. :AB=4W2, 由折叠的性质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°」 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=AB-BD=42-4, 在RACD中，由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即4-)2=2+42-4)2，解得t=4W2-4, .C4V2-4,0), 设直线BC解析式为y=a+b, b=4 [k=-1-√2 :45-4k+b=0,解得b=4 折痕BC的解析式为y=-1+V2)x+4. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.D 二、填空题 4.①②1②① 5.(（0,1+V5或(0,3) 6.t=-2或t=2-2W5或t=-3 三、解答题 1. 【答案】(1)A(6,0),B(0,6) (2(-2,-2) 3)(2,0)或(18,0) 【分析】(1)根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可： (2)先求出直线BC的解析式为y=-2x-6,再根据三角形面积列方程即求解； (3)分两种情况.①Q在点A左侧，根据∠AB0=45°，构造等腰直角△BCG三角形得 ∠CBG=∠CGB=45°，从而可∠CB0=∠ABG,再根据直线与x轴交点坐标即可：②在点A右侧，构造 141/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与情况①中直线BG关于AB的对称直线可求解. 【详解】(1)解：直线y=x-6与x轴交点：当y=x-6=0,得x=6,故A(6,0), 当x=0时，得y=6,故B(0,6). (2)解：，0A=20C,且0A=6, ∴.0C=3,故C(-3,0), 设直线BC的解析式为：y=ax-6, -3k-6=0,解得k=-2, 直线BC的解析式为y=-2x-6, 设P(x,-2x-6), A6,0),C(-3,0), .AC=9, :Se=2 x9x6=27,S。4c=3S.4cr 1 ..Scp=9 1 :.S4r=2 ×9x-2x-6=9 .|-2x-6=2 P在线段BC上， -2x-6=-2,解得：x=-2, 故点P坐标为（-2，-2)】 (3)解：如图，作Rt△CGH,使CH=OB=6,∠CHG=∠BOC=90°，HG=C0=3,则 △CHG≌aBOC(SAS),连接BG交x轴于点O, G H M .∠HCG=∠CBO,BC=CG, .∠BCO+∠CBO=90°， 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCO+∠HCG=∠BCG=90°， ∴.∠CBG=∠CGB=45°， 又.0B=OA=6, ∴.∠0AB=∠0BA=45°， ∴.∠CB0+∠OBG=∠OBG+∠ABG=45°， .∠CBO=∠ABG=∠ABO, 由作图可知：点G坐标为(3,3)， :过B(0,-6)、G(3,3)的直线解析式为y=3x-6, 直线BG与x轴点坐标为(2,0)，即：马坐标为(2,0)， .AQ=A0-09=6-2=4 在平面坐标系中取点M(6,-4)。 .MA=Ag,∠MAO=90°， ∴.∠MAB=∠OAB=45°， 又AB=AB, ∴.△ABO≌aABM(SAS). .∠ABM=ABg=∠CBO :过点过B(0,-6、M(6,-4)的直线解析式为y=3x-6, ∴直线BM与x轴交点坐标为(I8,0),即：2坐标为(I8,0), 综上所述：2点坐标为(2,0)或(18,0) 8. 【答案】()4(3,0)，B(0,4),AB=5: 50 国r20或P&度P名支30 【分析】(1)根据解析式，分别令x=0和y=0,求出小、B的坐标，勾股定理求出AB的长即可： (2)根据三角形的面积公式进行求解即可： (3)分3种情况进行讨论求解即可 4 【详解】(1)解：：y=3x+4, 16/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当g0时，y=4当y=号+4=0时x3 ·A(3,0),B(0,4), .0A=3,0B=4. AB=V32+42=5: (2)解：设P(t,0), 由(1)知：A(3,0),B(0,4),AB=5: .PB2=2+42,AP=3-1, ,过点P作PGL直线AB于点G且点G与点B重合， .PB⊥AB ·Ap2=AB2+PB2,即(3-)}=25+2+16， 解得1s、16 3 ap3-(9）3。 小APMG的面积=2P.0B=)×空x4-0 23 -3 B(G) (3)解：设P,0),由(1)知：A(3,0,B(0,4),AB=5: 当△PAB为等腰三角形时，分3种情况： ①AP=AB=5时，则3-=5，解得1=-2或t=8, .P(-2,0)或P(8,0) ②当4P=B即时，则(3-}=r+4,解得1=子 6 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③当BP=AB时， OB⊥x轴， ..OA=OP=3. .P(-3,0): 综上：川20凌Pg0政名0皮川30 9. 【答案】①43,0)，y=4 x-6 (②)OE∥BD,证明见解析 3)P点坐标为(-8,0)，(-2,0)，(18,0)，(0，-16)，(0,4)，(0,6) 【分析】(1)根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系 数法求解； (2)根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明△ABO≌△ADE,得出相等的边，证明点O的对称点为 点E,最后利用轴对称的性质证明； (3)根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解. 【详解】(1)解：当y=0时，y=2x-6=0, 解得x=3, .A3,0): 当x=0时，y=2×0-6=-6」 .C(0,-6) .CD=BC=4+6=10,OC=6. 由勾股定理得OD=VCD2-0C2=√100-36=8， .D(8,0) 假设直线CD的解析式为y=a+b, 将C(0,6),D(⑧，0)代入解析式得， [6=b 0=8k+b 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=-6 解得 3 k 3 ∴直线cD的解析式为y 4-6; (2)解：OE∥BD,理由如下： 根据轴对称的性质可得∠CBD=∠CDB,∠ABD=∠ADB,AB=AD, .∠ABO=∠ADE, 又：∠BAO=∠DAE. .△ABO≌aADE(ASA). ..OB=DE. ..CO=CE. 即点O的对称点为点E, .AC⊥OE, 又：AC⊥BD. .OE∥BD: (3)解：如图所示， B(P,) A D P P 当CR=CD时，OP=OD=8,(-8,0): 当CB=CD时，此时，点B与点B重合，B(0,4): 当CP。=CD时，OP=0C+CP=6+10=16,:(0,-16): 当DB=CD时，OP=DP-OD=10-8=2,.B(-2,0): 当DP=CD时，OP4=OC=6,.P(0,6)； 当DP=CD时，OP=OD+DE=8+10=18,.B(18,0) 19/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，P点坐标为(-8,0)，(-2,0)，(18,0)，(0，-16)，(0,4)，(0,6). 10. 【答案】(1)3 33 (2②)y=4X+2 303 63 :②P的坐标为55或(2,3)或(-2,0) 【分析】(1)由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得4×2-6n=3×2n,求得n值即可求解； m (2)设“完美点”Pm,” ,m_3,3 气”n)小由4m-6m=3m,”是非零实数，可得行m+2,则故P在直线 33 y=4x+2上： 4 .3.3 y= 4x+2 《3)①先求得。5由②知“完美点”在直线33上，解方程组1 4 求得 y=x+ y= 2 4 2 3+4 E612 (55 进而可求解： 3 3 @Pa4a+2 Q(O,b),分两种情况：当ACBE≌ACPQ时和当ACBE≌ACOP时，利用全等三角形的对 应边相等列方程求得a值即可解答， 【详解】(1)解：·点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴.4×2-6n=3×2n 2 解得n= 3 m-2=2×3=3 则n2 2, 3 点M的纵坐标为3； (②解：设“完美点Pm n' .4m-6n=3mn,,n是非零实数， 4×”-6=3m, n 20/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3m+3 -m+ n 4 2 P在直线y+号 2上： 4 (3)解：①在y=-3x+4中，令x=0得y=4,令y=0得x=3” .A(3,0),B(0,4). ·BC=4-3-5 22 由（②）知“完美点”B在直线y=x+3 =4X+2上，又点B在直线B上的“完美点”， 「3.3 M=. 6 x+ x=- 4 2 5 解方程组 4x+4 y= 112’ ly-5 4) 1563 ·△CBE的面积为2×2×52： ©油044(g号》，c引为E-0-到+-号-2 =g侣号c Q(0,b): 当aCBE≌aCQP时，如图： B E D D 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CP=CE a-g- 6 6 解得a=-5或a=5(含去)， ) 当△CBE≌aCPp时，如图： VA B C E P 衣 D ∴.CP=BC, o-or+传0- 解得a=2或a=-2, .P(2,3)或(-2,0)， 63) 综上所述，P的坐标为55或(2,3)或(-2,0) 22/22 专题06 一次函数与三角形综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2 一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3 一次函数与三角形全等问题（难） 题型4 一次函数中折叠的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与三角形的面积问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． ◆题型2 一次函数与三角形存在问题 4.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． ◆题型3 一次函数与三角形全等问题 7．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 8．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 9.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图：    则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． ◆题型4 一次函数中折叠的综合问题 10．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【答案】或 【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 11.如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的解析式可知，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，根据关于轴对称的点的坐标之间的关系可知点的坐标为，即可求出，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 二、填空题 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 【答案】①②/②① 【分析】先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，则可对②进行判断；过点作于点，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过点作于点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象、全等三角形的判定与性质，关键是分情况讨论全等三角形的对应顶点关系．首先求出、两点坐标，得到、的长度，再根据推出，然后分两种全等对应情况，分别计算的长度，进而确定点坐标． 【详解】解：当时，， ； 当时，，解得， ； ，； ， ， ∴． ，， ； 情况1：若，则； 点的纵坐标为，即； 情况2：若，则， 点的纵坐标为，即； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 6．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 【答案】或或 【分析】根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点下方时，此时， ， ∴； 当点在点的下方时，此时， ； 当时， ∴， 解得：， 综上：或或. 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线的解析式为，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况．①在点左侧，根据，构造等腰直角三角形得，从而可，再根据直线与轴交点坐标即可；②在点右侧，构造与情况①中直线关于的对称直线可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）知：，； ∴，， ∵过点作直线AB于点且点与点重合， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设，由（1）知：，； 当为等腰三角形时，分种情况： ①时，则，解得或， ∴或 ②当时，则，解得， ∴； ③当时， ∵轴， ∴， ∴； 综上：或或或. 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $