第28章旋转 数学活动 利用图形变化设计图案 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

数学活动 利用图形变化设计图案 教学设计 课题 第二十八章 数学活动 利用图形变化设计图案 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 活动课 教学目标 1. 认识与欣赏平移、旋转和轴对称在现实生活中的应用；2. 能够利用平移、旋转和轴对称及其组合方式进行简单的图案设计；3. 经历对图案进行观察、分析的过程，知道图案的形成过程，感受图案与变换的关系. 教学重点 观察、分析图案，利用平移、旋转和轴对称及其组合方式进行图案设计. 教学难点 利用平移、旋转和轴对称及其组合方式进行图案设计. 教学方法 动手实践、小组合作、展示交流 教学准备 方格纸、直尺、彩色笔、多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号　　　　，即点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′　　　　　　. 答案：相反；(−x，−y). 2．在平面直角坐标系中，作关于原点中心对称的图形的步骤： （1）写出关键点　　　　　　的点的坐标； （2）在坐标平面内描出这些　　　　的位置； （3）　　　　　　即为所求作的对称图形. 答案：关于原点对称；对称点；顺次连接各点. 【追问】平移、轴对称、旋转三种变换在“变与不变”上有什么共同特征？ 【答案】预设：三种变换都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，变换前、后的图形全等. 【设计意图】回顾上一课时坐标法作图与三种变换的共同特征，为本节课综合运用变换设计图案做好知识准备. 学生完成 6 个填空，回顾坐标法作图步骤与三种全等变换的共同特征. 激活旧知，为综合运用三种变换设计图案作准备. 环节二 情境欣赏 变换分类 二、情境欣赏与变换分类 【问题】自古以来，不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，图案设计都随处可见. 在日常生产和生活中，人们常常利用图形的平移、旋转和轴对称来设计一些图案. 下面 3 张图片中的图案设计分别用了哪种图形的运动？ 图案一（花边） 图案二（徽标）　　图案三（标志与剪纸） 【师生活动】学生作答，合理即可，教师举例. 分层设问：①花边图案中，相邻两个基本图案之间是如何“搬家”的？②徽标图案绕它的中心转多少度后与自身重合？③标志与剪纸图案沿怎样的线对折后两旁重合？ 【答案】　　　　　　　　. 答案：平移、旋转、轴对称. 【追问】同一个图案能否用不同的变换（或变换组合）来分析它的形成过程？ 【答案】预设：能. 很多图案的形成路径不唯一，例如徽标图案既可看作旋转所得，也可用轴对称与旋转的组合分析，只要过程合理、最终与图案一致即可. 【设计意图】让学生体会利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案的必要性和美观价值，学会从变换的角度欣赏现实中的图案. 学生观察三类图案，正确判断其分别由平移、旋转、轴对称设计而成，体会图案与变换的关系. 从欣赏切入，建立“图案—基本图形—变换”的分析视角. 环节三 新知探究 组合与步骤 三、新知探究（组合变换分析与设计步骤） 【问题】我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计. 例如，图 1 中的图案就是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的. 你能指出这个基本图形吗？ 图1 组合变换图案 【师生活动】小组讨论，然后学生代表作答，教师给予补充. 分层设问：①图 1 由几个相同的“风车”图案拼成？②每一个“风车”内部由几个基本叶片组成？它们绕中心如何旋转得到？③上、下两个“风车”之间是什么关系？左右两列之间又是什么关系？ 【答案】如图 2，以点 O 为旋转中心，将图形逆时针旋转 90° 三次作出图 3，然后以 l 为对称轴作出图 4，平移图 4 就可以得到图 1 中的图案. 图2、图3、图4 组合变换过程 【提醒】 （1）目前学过的图形变换主要有平移、轴对称、旋转三种. 这三种变换都有一个共同特征：变换前后图形的形状、大小不发生变化，只有位置会发生变化，它们都属于　　　　　　. （2）首先通过仔细观察，分析图案的特征，找出图案的基本图形，然后根据平移、轴对称、旋转的特点进行图案设计. （3）利用平移和旋转来分析图案的形成过程时，需点明基本图案及平移次数或旋转角度；利用轴对称分析时，需指明对称轴. 答案：全等变换. 【新知】图案设计的步骤： （1）选择　　　　　　，“基本图形”可以是一个图形，也可以是组合图形； （2）对“基本图形”进行　　　　，可以只进行一种图形变换，也可以进行两种或多种图形变换； （3）对所设计的图案进行　　　　　　　　等修饰工作. 答案：“基本图形”；变换；着色. 【追问】描述一个图案的形成过程时，哪些要素必须交代清楚？ 【答案】预设：基本图形是什么、用了哪种（或哪几种）变换、每种变换的关键量（平移的方向与距离、旋转中心与旋转角度、对称轴的位置）都必须交代清楚. 【设计意图】通过组合变换的完整案例分析，引导学生形成自己进行图案设计的步骤，学会用规范的数学语言描述图案的形成过程. 学生完成“找基本图形—梳理旋转/轴对称/平移组合过程”的分析，归纳图案设计三步骤. 以组合案例示范分析路径，形成设计步骤的方法体系. 环节四 动手实践 三种变换 四、动手实践（三种变换设计） 【活动1】如图，你能将图中的“小船”平移，使点 A 平移到点 A′ 吗？（保留原图痕迹） 活动1题图 【师生活动】小组讨论，然后学生代表作图，教师给予补充. 提示：先确定平移的方向和距离（A 到 A′），再将各关键点按同一方向、同一距离平移，最后顺次连接. 【答案】如图. 活动1解答图 【设计意图】巩固学生利用平移可以设计图案的观念. 【活动2】以点 O 为旋转中心将三角形依次顺时针旋转 90°，180°，270°，画出旋转后的图形.（保留原图痕迹） 活动2题图 【师生活动】学生代表画图，师生共同点评. 追问：旋转后的四个三角形与原三角形有什么关系？整个图形绕 O 旋转多少度与自身重合？ 【答案】如图. 活动2解答图 【设计意图】巩固学生利用旋转可以设计图案的观念. 【活动3】下图是一个轴对称图形，它有几条对称轴？我们可以利用轴对称来画出它吗？ 活动3题图 【师生活动】小组讨论后学生代表回答，答案合理即可. 然后教师讲解图案设计的步骤，学生在正方形纸片上按步骤操作，教师巡视指导. 【答案】4 条；画图步骤如下：首先准备一张正方形纸片，（1）在正方形纸片上用虚线画出 4 条对称轴；（2）在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条；（3）按照其中一条斜的对称轴画出已有图形的对称图形；（4）按照另一条斜的对称轴进一步画出已有图形的对称图形；（5）按照水平（或垂直）的对称轴画出已有图形的对称图形. 活动3解答图 画好之后，我们可以在图案上涂上喜欢的颜色，擦掉其他多余的线条，一幅对称的图案就完成了. 【追问】三个活动分别突出了一种变换，你能把“小船”图案通过一次旋转或一次轴对称变换得到新的摆放效果吗？试一试并交流. 【答案】预设：可以. 学生自选旋转中心与角度或对称轴进行变换，只要变换前后图形全等、过程描述规范即可；展示时互评“变换要素是否交代完整”. 【设计意图】通过三个动手实践活动分别巩固平移、旋转、轴对称设计图案的技能，在展示交流中提升语言表达与审美能力. 学生在方格纸上完成平移小船、旋转三角形、轴对称画图案三个实践，掌握三种变换的设计操作. 动手实践落实三种变换的设计技能，展示互评促进表达与审美. 环节五 典例精讲 五、典例精讲 【例1】如图，右边的图案是由左边五种基本图形中的两种经过变换拼接而成，这两种基本图形是（　　）. 例1图 A．①②　　B．①③　　C．①④　　D．③⑤ 【师生活动】学生观察右图的结构，将其拆分并与五种基本图形比对，教师引导“先拆分再比对”的分析顺序. 【答案】　　　　（右图由①和③两种基本图形经过平移与轴对称拼接而成）. 答案：B. 【追问】如果只允许用一种变换，右图还能由①或③单独生成吗？ 【答案】预设：不能. 右图中两部分的方向关系需要不同变换（或组合变换）配合才能形成，单一变换无法同时实现两处的拼接效果. 【设计意图】检验学生分析图案如何设计的能力，掌握“先拆分图案、再比对基本图形、最后确认变换方式”的分析顺序. 【例2】（1）如图，本图案可以看作是一个小四边形通过几次何种变换得到的？每次是怎样变换的？ （2）本图案还可以看作是两个相邻小四边形通过几次旋转得到的？每次旋转多少度？ （3）本图案还可以看作是几个小四边形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？ 例2图 【师生活动】学生先数出图案中小四边形的个数与分布，再分组讨论多种“生成路径”，教师引导比较不同路径的繁简. 分层设问：①图案共由几个全等的小四边形组成？它们绕中心均匀分布，相邻两个间隔多少度？②取 1 个、2 个相邻、3 个相间隔的小四边形作基本组，各需怎样旋转才能生成整个图案？ 【答案】解：（1）本图案可以看作是一个小四边形通过 5 次顺时针旋转得到的，第 1 次旋转了 60°，之后每次都在上一次的基础上顺时针旋转 60°. （2）本图案可以看作是两个相邻小四边形通过 2 次顺时针旋转得到的，第 1 次旋转了 120°，第 2 次在第 1 次的基础上再顺时针旋转 120°. （3）还可以看作是 3 个小四边形通过 1 次顺时针旋转得到（取相间隔的三个小四边形作为基本组），可以顺时针旋转 180° 得到，也可以顺时针旋转 60° 得到. 【归纳】分析复杂图案时，先从整个图案着手，分析图案的组成中一共有几种基本图案，再从细处思考每种基本图案是怎样进行变换的. 【追问】例2 的三种生成路径中，哪一种书写起来最简洁？路径不唯一说明什么？ 【答案】预设：第（1）种路径（一个基本图形旋转 5 次）表述最程序化；路径不唯一说明图案具有丰富的对称结构，分析时可自主选择最顺手的基本组. 【设计意图】进一步检验学生分析复杂图案如何设计的能力，体会同一图案多种生成路径的开放性，发展观察、分解与表达能力. 学生完成图案拆分选择题与六角星图案三种生成路径的分析，掌握“整体→基本组→变换量”的分析方法. 训练复杂图案的分解分析与多路径表述，发展开放思维. 环节六 拓展提升 六、拓展提升 【问题】你能设计一个顺时针旋转 30° 后能与自身重合的图形吗？ 【师生活动】学生作答，教师补充. 提示：绕中心每旋转 30° 就与自身重合，说明图形绕中心一周至少自重重合 12 次（360°÷30°＝12），可借助 12 等分圆设计. 【答案】一个顺时针旋转 30° 后能与自身重合的图形有无数种，如图所示的图形就是其中的一种. 拓展题解答示例 【追问】若改为“旋转 45° 后与自身重合”，图形需具备几重旋转对称？你能快速画出一种吗？ 【答案】预设：360°÷45°＝8，需 8 重旋转对称，如正八边形、八角星等图案. 【设计意图】让学生体会自己设计好看图案的快乐，增加学习兴趣；渗透“旋转自重合角度与对称重数”的量化关系. 学生理解“30° 自重合对应 12 重旋转对称”，借助等分圆完成一种设计并推广到 45° 情形. 开放设计激发兴趣，渗透自重合角度与重数的量化关系. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）分析一个图案的形成过程要交代哪些要素？（2）图案设计的步骤分几步？（3）分析复杂图案按什么顺序思考？ 知识结构图 【归纳】①要素：基本图形+变换种类+关键量（平移方向与距离、旋转中心与角度、对称轴位置）；②步骤：选基本图形→进行一种或多种变换→着色修饰；③顺序：先看整体有几种基本图案，再看每种基本图案怎样变换；④三种变换都是全等变换，只改变位置、不改变形状大小. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理图案分析的要素、设计步骤与分析顺序，课后独立完成作业. 梳理方法体系，巩固“图案—变换”分析视角. 板书设计 数学活动 利用图形变化设计图案 一、图案设计举例 花边—平移；徽标—旋转；标志剪纸—轴对称；组合：旋转+轴对称+平移 二、图案设计的步骤 选基本图形 → 进行一种或多种变换 → 着色修饰 三、分析复杂图案 先看整体几种基本图案 → 再看每种基本图案怎样变换（交代关键量） 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $