第28章 旋转 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

数学（人教版）九年级上 得p=10或p=-6.∴.点P的坐标为(10,0)或（一6,0）. ⑦(1)8.过点D作DE⊥BO于点E,DF⊥x轴于点F :点D的坐标为(2,2)P0=2,DF=号.4D0 FO+DF-号.：四边形ABD是菱形，OB AD=D0=号，AD/B0,点A,D,F在同-直线上， :点A的坐标为(2.4.“函数y=么k>0,>0)的图 .5 象经过点Ak=2X4=8.(2)①由(1)知0B=2, ∴B(o,号）.将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得 到点B'的坐标为(m,号）.将B(m,)代入y=三，得 m-9。@将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到 点D的坐标为(2+m,)将D'(2+m,2)代人y= 兰得到号年n解得a-90<号 ⑧(1)：a2+6a+9+√b-3=0,.(a+3)2+ b-3=0..a+3=0,b-3=0..a=-3,b=3. .k=一3×3=一9.(2)①由题意，当t=8时，y= -x+8,令x=0,得y=8,∴.B(0,8),即OB=8.令-x十 8=2解得x=-1或x=9(合去，当x=-1时， y=-x+8=9C-1,9.Sam-20Blxc= 号×8X1=4设点D的坐标为(m,一品)，m<0, 5m=7(-m）·0B=-4m.:5am=5ar 12,.-4m=12.∴.m=-3..D(-3,3).②OC2- 号AB的值不发生变化.过点C作CHLy轴于点H.在 y=一x十t中，令x=0得y=t,令y=0得x=t,∴.OA= OB=t.∴.△AOB是等腰直角三角形，AB2=OA2+ 0B2=20A2.·∠AB0=45°=-∠CB1,2AB2=0A3. ∴.△CBH是等腰直角三角形.∴.CH=BH.设CH= BH=x,则OH=x+t,∴.OC2=OH十CH=(x+ t)2+x2.∴.OC2-OA2=(x+t)2+x2-t=2x(x+t). 由函数y=-2,可得Sm=号，CH·0H=9,即 x(x十t)=9..0C2-OA2=2x(x+t)=18.∴.OC2- 2AB:=18,即0C-号A5的值不发生变化，为18 56 第二十八章 旋转 [高频考点突破] ①D如图，过点C作x轴的垂线，垂足为M.:A(0, -1),B(3,0),C(4,m),∴.OA=1,OB=3,OM=4. ∴.BM=4-3=1=OA.在Rt△OAB和Rt△MBC中， AB=BC,:R△OAB2R△MBC..BO=CM=.根 OA=MB, 据题意，点C'在第二象限，连接OC,OC',过点C'作y轴的 垂线，垂足为P,则∠C'PO=∠CMO=90°.由旋转可知， OC=OC',∠COC'=90°，.∠COP+∠POC'=∠COP+ ∠COM=90°.∴.∠POC'=∠COM.在△POC'和△MC |∠C'PO=∠CMO, 中，∠C'OP=∠COM,∴.△POC'≌△MOC.∴.CP= OC=OC, CM=3,PO=MO=4.∴.点C的坐标为(-3,4). C。------ B M A (第1题) ②A解法一：分别延长AD和BE交于点F.由题意，得 AB=AD=2,∠ABF=60°，.BF=2AB=4,AF= V5AB=23,∠F=90°-∠ABF=30°.∴.DF=AF AD-=25-2:DE1BrEF-号r=× 2 (2√3-2)=3-√3.易知△ABB是等边三角形，∴BB'- AB=2.∴.B'E=BF-BB′-EF=4-2-(3-√3)=√/3-1. 解法二：分别延长BA和ED交于点F.由题意，得AD= AB=2,∠ABE=60°，DE⊥BE,∴.∠F=90°-∠ABE= 30°..AF=√5AD=2√5.∴.BF=AF+AB=25+2. ·BE=号BF=5十1.易知△ABB'是等边三角形， .BB'=AB=2..B'E=BE-BB=√3+1-2= 5-1. ③60°连接CF.:四边形ABCD是正方形， .∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC.∠EDC=15°， ∴∠DEC=75.将AB绕点B顺时针旋转，使，点A恰 好落在线段DE的中点F处，∴.BF=AB=BC,CF= EF=DE.·∠BFC=∠BCF=∠CEF=75 .∠CBF=180°-75°-75°=30°..∠ABF=90°- 30°=60°. ④(1)：∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴.∠BAC= ∠ABC=45°.：线段AD绕点A逆时针旋转180°一2X 45°=90得到线段AE,点D与点C重合，∴.AE=AD AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°.∴.∠EAB=∠ABC. ∴.BC∥AE.:EF∥AB,.四边形ABFE是平行四边形. ∴.BF=AE..BF=AC.(2)DF=2BC.在DC上取一 点G,使得CG=CB,连接AG,BE.:∠ACB=90°， ∴.AC⊥BG.∴.AG=AB.∴.∠AGB=∠ABG=a. ∴.∠BAG=180°-2a.将线段AD绕点A逆时针旋转 180°-2a得到线段AE,∴.DA=EA,∠DAE=180°- 2a=∠GAB.∴.∠DAG=∠EAB.∴.△DAG≌△EAB. ∴.DG=EB,∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-a. 又.'∠ABC=a,∴.∠FBE=∠ABE-∠ABC=180° a-a=180°-2a.EF∥AB,∴.∠BFE=∠ABF=a. ,∴.∠BEF=180°一∠FBE一∠BFE=a.,∴.∠BEF= BFE..BE=BF..'DG=BF..DF=BD-BF= BD-DG=BG=2BC. ⑤如图，将△AOB绕点O顺时针旋转120°得到△COB', 则AB=CB',∠BOB'=120°，OB'=OB=1.∠OBB'= 30°.连接BB',过点O作OH⊥BB'于点H,OD⊥BC于点 D,BH=BH,OH=号OB=.&BH 08-0m-号.1那=原.：∠0=60 ∴.∠B'BC=90°.∠OBD=60°，∴.∠BOD=30°. BD-0B..OD-OB-BD 在 △0c中，D=Vc-0D-E)-()'= .BC=BD+CD=4..在Rt△BBC中，CB'= 7 √BB+CB=√(5)2+4=√19..AB=CB'=√19】 D (第5题) ⑥√34一2如图，连接AE.在矩形ABCD中，AB= 4,BC=3,CE=2BE,BE=号BC=1.·AE- √AB+BE=√4+1下=√7.把线段AE绕点A顺时 针旋转90°得到线段AG,连接PG,GE,则AG=AE, ∠GAE=90°，∴.△AEG为等腰直角三角形..GE= √2AE=√34.：线段AF绕着点A顺时针旋转90得到 线段AP,∴.∠PAF=90°，AP=AF.:∠GAP+ ∠PAE=90°，∠EAF+∠PAE=90°，.∠GAP= AG-AE, ∠EAF.在△AGP和△AEF中，{∠GAP=∠EAF, AP-AF, 附：答案与解析 ∴.△AGP≌△AEF..GP=EF=2.PE≥GE-PG (当且仅当点G,P,E共线时取等号)，∴.PE的最小值为 √34-2. C" B E (第6题) [综合素养提升 ①D过点C作CF⊥AB于点F.:∠BAC=45, ·△ACF是等腰直角三角形.“AF=CF-AC-2 2√2 1.AB=3,.BF=AB-AF=3-1=2..BC= √CF2+BF=√？+2=5.，将△ABC绕点B顺时 针旋转a得到△DBE,∴.∠ABD=∠CBE=a,AB=DB, BE=BC=√5..∠BAC=∠BDA=45°.∴.∠ABD= 180°-∠BAC-∠BDA=90°.∴.∠CBE=90°.∴.CE= √BC2+BE=√(W5)2+(5)2=√0. ②A过点A作AG⊥x轴于点G,过点O作O'H⊥x轴 于点H.点A的坐标为(3,4)，.OG=3,AG=4.由勾 股定理，得OA=5.OA=AB,.BG=OG=3,AB= OA=5.∴.OB=6.由旋转，可知OB=O'B=6,AB= A'B=5,OA=OA'=5.设BH=x,则A'H=5-x.由勾 股定理，得OB2-BH=OA'2-A'H,即6-x2=52 (6-x,解得x=OH=OB+BH=6+8-餐 5 51 Sonu =S OB XAG-BA'X H. 号×6X4=号×5×0H.0H=琴点0的坐 标为得) ③A连接DF.在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°， AB-AD,∠BAC-含∠BAD-D△MBD是等边 三角形.∴.∠ABD=60°，BD=AB=6.将BE绕点B 按逆时针方向旋转6O得到BF,∴.BE=BF,∠EBF= 6O°=∠ABD..∠ABD-∠EBD=∠EBF-∠EBD. ∴.∠ABE=∠DBF.在△ABE和△DBF中， AB=DB, ∠ABE=∠DBF,∴.△ABE≌△DBF..∠BAE= BE=BF, ∠BDF=30°.易知∠BDC=60°，∴.点F在∠BDC的平分 线上.∴.由垂线段最短可知，当OF⊥DF时，OF的长有最 小值，此时OF=OD.:菱形ABCD的对角线交于点 57第二十八章旋转 幻高频考点突破 考点一平面直角坐标系内的旋转 典例1将△OBA按如图①所示的方式放在 平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°， ∠A=30°，顶点A的坐标为(1，√3)，将 △OBA绕原点逆时针旋转60°，点A的对应 点A'的坐标为 ( ) A.(-1,3) B.(-√3,1) c( D.（-1,） 3 ② 典例1图) 分析 过，点A'作A'C⊥y轴于点C,由旋转的性 质得OA'=OA,∠A'OA=60°，可得∠A'OC 30°，证明△A'OC≌△OAB,根据全等三角形的 性质得OC=AB=√3，A'C=OB=1,即可 求解 解答：如图②，过点A'作A'C⊥y轴于点C, ∴.∠A'CO=∠OBA=90°. .∠OBA=90°，∠A=30°，.∠AOB= 60°.∴.∠AOC=∠COB-∠AOB=30 由旋转的性质，得OA'=OA,∠A'OA 60°，∴.∠AOC=∠A'OA-∠AOC=30° ∠A'OC=∠A, 在△A'OC和△OAB中，∠ACO=∠OBA, OA'=AO, ∴.△A'OC≌△OAB. .OC=AB=√3，A'C=OB=1. ∴.点A'的坐标为（一1，√3）.故选A. 聚焦高频考点，各个击破 小结 利用旋转的性质求，点的坐标的方法：在平面 直角坐标系中，根据旋转的性质求，点的坐标，可 以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角 三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长， 从而确定，点的坐标 对应练习 1.如图，在△ABC中，AB=BC,顶点A(0, -1),B(3,0),C(4,m),将△ABC绕点O 逆时针旋转90°，得到△A'B'C',则点C 的对应点C的坐标为 () y B (第1题) A.(3,-5) B.(-3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) 考点二 旋转的性质的应用 典例2一题多解如图①，在正方形ABCD 和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2, 将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得 到正方形DE'F'G',此时点G'在AC上，过 点G'作G'I⊥CD于点I,连接CE',则 CE'+CG'的值为 () (典例2图①) A.√2十√6 B.3+1 C.√5+√2 D.√5+√6 27 数学（人教版）九年级上 分析 思路一：作E'H⊥BC于点H,G'R⊥BC 于点R,则四边形RCIG是正方形.首先证明点F 在线段BC上，再证明CH=HE即可解决问题. 思路二：可先作GM⊥AD于点M,证明CG'十 CE'=AC.再分别求出DM,AM,AD即可. 解答：解法一如图②，过点E作EH⊥BC, 交BC的延长线于点H,过点G作G'R⊥BC 于点R,则易知四边形RCIG'是正方形.由 正方形及旋转的性质，可得G'D=GF', G'I=G'R,∠GDI=60°，∠DG'F'= ∠IG'R=90°，.∠DGI=∠F'G'R.在 G'D-GF, △G'ID和△G'RF'中∠DG'I=∠F'G'R, G'I-GR, .△G'ID≌△G'RF'..∠G'DI= ∠GF'R=60°，∠GID=∠G'RF'=90°. .点F在线段BC上..易得∠EF'H= 30°.在Rt△EFH中，.E'F=2,∠E'F'H= 30EH=2EF'=1.·F'H=5.易 证△RG'F'≌△HF'E',.RF'=HE', RG=HF'.易知RG'=RC,∴.HF'=RC .CH=RF'=E'H=1.∴.CE'=√2 .RG'=HF′=√3，∴.CG'=2RG′=√6 ∴.CE'十CG'=√2十√6.故选A. 解法二如图③，过点G'作G'M⊥AD于点 M.易证△DAG≌△DCE',.AG'=CE'. ∴.CG'+CE'=CG'+AG=AC.在 Rt△DMG'中，，DG'=2,且易知 ∠MDG'=30°，∴.MG'=1,DM=√3..易 知∠MAG=45°，∠AMG=90°， .∴.∠MAG'=∠MG'A=45°.∴.AM= MG'=1.∴.AD=1+√3..AC=√2AD, 28 ∴.AC=√2十√6.故选A. R ② ③ (典例2图) 小结 寻找旋转前、后的对应点、对应边、对应角， 并结合旋转的性质得到等量关系是求解此类问 题的关键， 对应练习 2.一题多解如图，在边长为2的正方形 ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 60°，使点B落在点B的位置，连接BB', 过点D作DE⊥BB',交BB'的延长线于 点E,则B'E的长为 () (第2题) A.√5-1 B.25-2 c D i 3.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上 一点，连接DE,将AB绕点B顺时针旋 转，使点A恰好落在线段DE的中点F 处，此时∠EDC=15°，则∠ABF的度数 为 (第3题) 典例3在△ABC中，∠B=∠C=a(0°< a<45°)，AM⊥BC于点M,D是线段MC 上的动点（不与点M,C重合），将线段DM 绕点D顺时针旋转2α得到线段DE FM (① ② (典例3图) (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证： D是MC的中点， (2)一题多解如图②，若在线段BM上存在 点F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连 接AE,EF,直接写出∠AEF的度数，并 证明. 分析 (1)通过二倍角可以转化为角相等，可得 MD=ED=CD;(2)通过(1)的提示可知， MD=ED=CD可得直角，将图②中的相关线 段通过延长或者平行线转化为图①，可得直角， 将直角与AM⊥BC相结合解决问题， 解答：（1)由旋转的性质，得DM=DE, ∠MDE=2a..'∠C=a,∴.∠DEC= ∠MDE-∠C=a.∴.∠C=∠DEC .DE=DC..DM=DC,即D是MC的 中点 (2)∠AEF=90° 解法一如图③，延长FE到点G,使FE= EG,连接AF,CG,AG..·DF=DC,.DE 是△FCG的中位线.∴.DE∥CG,CG= 2DE.由旋转的性质，得DM=DE, ∠MDE=2a,∴.∠FCG=2a..'∠B= ∠ACB=a,∴.∠ACG=a,△ABC是等腰 三角形.∴.∠B=∠ACG,AB=AC.设 DM=DE=m,CD=n,CG=2m,CM= m+n,DF=CD=n..FM=DF-DM= n-m..AMBC,.'BM=CM=m+n. 第二十八章旋转 .'BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m. .CG=BF.在△ABF和△ACG中， AB=AC, ∠B=∠ACG,∴.△ABF≌△ACG. BF=CG, .AF=AG.FE=EG,.AE⊥FG,即 ∠AEF=90. 解法二如图④，连接AF,取AF的中点G, 连接GE,GD,GM..AM⊥BC,.GM= GF=GA.又.DF=DC,.GD∥AC ∴.∠GDM=∠C=a.由旋转的性质，得 ED=MD,∠EDM=2a,∴.∠EDG=a. .∠EDG=∠MDG.又.'DG=DG, ∴.△EDG≌△MDG.∴.GE=GM=GF= GA.∴.∠GAE=∠GEA,∠GFE= ∠GEF..△AEF的内角和为180°， :∠GFF+∠GEA-号×180-90，即 ∠AEF=90°. D ③ ④ (典例3图) 小结 图形变换能把分散的线段、角相对集中起 来，将已知条件集中在一个熟悉的基本图形中， 促进问题的解决.另外解题过程要注意前一问对 后一问的思路提示，本题中要将直角、中点、二倍 角这几个重要特征相结合，不同结合，点找到不同 的解题思路， 对应练习 4.[2025北京中考]在△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，连 接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转 180°-2a得到线段AE(点E不在直线 AB上)，过点E作EF∥AB,交直线BC 29 数学（人教版）九年级上 于点F (1)如图①，a=45°，点D与点C重合，求 证：BF=AC. (2)如图②，点D,F都在BC的延长线 上，用等式表示DF与BC之间的数量关 系并证明。 C(D) ② (第4题) 考点三构造旋转解题 典例4如图①，在四边形ABCD中， ∠BAD=60°，AB=AD,AC=20.若∠B十 ∠D=180°，求四边形ABCD的面积. ① ② (典例4图) 30 分析 考虑将△ADC绕点 AB=AD,∠B+ 已知 A顺时针旋转60° ∠D=180° 得到△ABC' 所求→ 化不规则 四边形ABCD的面积 为规则 Sm边形ABCD-S△ACc 解答：如图②，把△ADC绕点A顺时针旋转 60得到△ABC',∴.∠ABC'=∠D,AC'= AC,∠C'AC=60°..∠ABC+∠D=180°， ∴.∠ABC+∠ABC=180°.∴.点C在CB 的延长线上.又.AC=AC,∠CAC=60°， ∴.△AC℃为等边三角形.∴.易得四边形 ABCD的面积=△ACC'的面积=5 √3 ×400=1005. 小结 利用图形的旋转可将零散的图形拼成规则 图形，方便解题， 对应练习 5.如图，O是△ABC内一点，∠OBC=60°， ∠AOC=120°，OA=OC=√13，OB=1, 求AB的长， (第5题) 第二十八章旋转 考点四旋转与最值 当点E,D,B共线时取等号)，.BD长的 典例5如图①，AB=5√3，C是平面内一动 最小值为55-5. 点，且BC=5,连接AC,将AC绕点A逆时 针旋转60°得到AD,连接BD,则BD长的 最小值为 (典例5图②) 小结 (典例5图①) 旋转与最值问题的关键在于通过旋转将分 分析 散条件集中，结合几何最值原理（三点共线、垂线 把AB绕，点A逆时针旋转60°，得到AE 段最短等)求解，解题时需灵活运用旋转性质，构 根据旋转性质证得△ABE为等边三角形，再结 造合适的图形，综合运用多种方法突破难，点 合三角形全等的判定与性质及三角形三边关系 求得BD长的最小值. 对应练习 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3, 解答：如图②，把AB绕点A逆时针旋转 点E在边BC上，CE=2BE,F为矩形内 60°，得到AE,连接BE,DE.∴.∠EAB= 的动点，连接AF,EF,EF=2,将线段 60°，AE=AB.∴.△ABE为等边三角形. AF绕着点A顺时针旋转90°得到线段 ∴.BE=AB=5√3..AC绕点A逆时针旋 AP,连接PE,则线段PE长的最小值为 转60°得到AD,∴.∠CAD=60°，AD=AC. ∴.∠BAE-∠BAD=∠CAD-∠BAD,即 ∠DAE=∠CAB.在△AED和△ABC中， AE=AB, ∠DAE=∠CAB,.△AED≌△ABC. B E AD=AC, (第6题) .ED=BC=5..·BD≥BE-DE(当且仅 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=3,AC=√2，将△ABC绕点B顺时针旋转a得到 △DBE,此时点D落在AC的延长线上，连接CE,则CE的长为 A.√5 B.2√2 c. D.√/10 (第1题) 31