3.3圆的对称性2导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.3 圆的对称性（2） 学业质量要求 1.通过折纸活动认识圆的轴对称性，探索垂径定理，能说出垂径定理内容，发展几何直观与推理能力. 2.会运用垂径定理进行计算、简单证明，会结合勾股定理解决弦长、半径相关问题，提升综合解题能力. 学习重点 垂径定理的理解与应用. 学习难点 垂径定理条件辨析；构造直角三角形，结合勾股定理进行计算. 学习过程 一、情境活动，引入新知 活动 1.在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折，你发现了什么？ 2.任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D关于AB 对称吗？你还能在图中画出哪些关于AB对称的点？ 结论：圆是轴对称图形， 都是它的对称轴. 思考：根据圆的轴对称性，图中可以得到哪些相等关系？ 二、自主探究，建构新知 推导垂径定理: 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P. 连接OC，OD. 在△OCD中，由OC=OD，OP⊥CD，可得 ， ，于是∠AOC=∠AOD. 所以 ， . 垂径定理：垂直于弦的直径 . 注意两点：①直线过圆心；②直线垂直于弦；两个条件缺一不可。 例 2 如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=10. 求直径CD的长. 分析：本题属于圆中弦长计算经典题型。已知直径垂直弦，优先使用垂径定理，将弦长平分；连接半径构造直角三角形，设半径为未知数，依靠勾股定理建立方程求解. 本题原型为《九章算术》“圆材埋壁” 问题，核心方法是垂径定理+勾股定理的方程思想. 解： 例 3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D. 求证：AC=BD. 分析：图形含有同心圆与同一条弦，目标证明线段相等.利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段是通用辅助线；同一条垂线同时满足大圆、小圆的垂径条件，得到两组相等线段，通过等式性质作差即可证得结论. 证明： 三、合作探究，深度学习 1.探究：在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规分别作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形. （1）菱形；（2）梯形. 2.垂径定理的两个条件是什么，如果只满足其中一个条件，结论还成立吗？ 3.圆中处理弦的计算，常作辅助线：过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形，结合勾股定理求解. 四、分层练习，当堂评价 1.如何用折纸的方式确定一张圆形纸片的圆心？ 2.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD. 吗？为什么？ 3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在弦AB上运动，求OP的取值范围. 五、课堂小结 1.根据下面知识结构图，自主完善本节课知识框架： 2.反思：使用垂径定理，不能缺少哪两个条件？ 六、课后作业设计 1．下列命题中，正确的有（　　）个． ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②经过圆心的直线平分弦； ③圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴； ④垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑤在同圆中，互相垂直的两条弦不能互相平分 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如右图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为C，则下列结论中错误的是（　　） A．＝ B．AN＝BN C．AC＝CB D．OC＝CM 3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为________cm. 4.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB⊥AC,AB=8,AC=6.求⊙O的半径. 5.如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． （1）求此下水管道横截面的半径； （2）随着积水量的增加，水面又抬升0.7m，此时水面的宽度增加了多少？ 课后作业设计参考答案 1.【答案】A 【知识点】垂径定理及命题辨析 【分析】逐一判断命题正误： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，命题缺少条件，错误； ②经过圆心的直线平分弦，若弦是直径，任意过圆心直线都平分直径，但不一定垂直，命题表述不严谨，错误； ③对称轴是直线，直径是线段，应该是直径所在直线为对称轴，错误； ④垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，正确； ⑤在同圆中，两条直径互相垂直时可以互相平分，错误。 只有 1 个正确。 【详解】解：综上仅有命题④正确， 故选 A。 2.【答案】D 【知识点】垂径定理 【分析】MN 是直径，，满足垂径定理。 【详解】解：由垂径定理可得，AN=BN，AC=CB；无法推出 OC=CM。 故选 D。 3.【答案】3 【知识点】圆内最长弦、最短弦性质，勾股定理 【分析】圆内最长弦为直径，最短弦垂直于过该点的直径。 【详解】解：直径 10cm，半径 5cm；最短弦长 8cm，半弦长 4cm。 OM==3。 4.【答案】5 【知识点】圆周角定理，矩形判定，勾股定理 【分析】连接 BC，由 得 ，圆周角所对弦为直径。 【详解】解：连接 BC，，则 BC 为直径。 AB=8，AC=6，=10。 半径 = =5。 5.【知识点】垂径定理，勾股定理 （1）【答案】0.5m 【详解】解：设横截面圆心为 O，半径 r，过 O 作 于 C，连接 OA。 答：横截面半径 0.5m。 （2）【答案】0.2m 【详解】解：水面抬升 0.7m，新水面到圆心距离：0.7-(r-0.1)=0.7-0.4=0.3m。 设新弦长 EF，过 O 作，OH=0.3。 EF=0.8m。 水面宽度增加：0.8-0.6=0.2m。 答：水面宽度增加 0.2m。 ∴∵ 学科网（北京）股份有限公司 $