专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用一元二次方程的解法、判别式与韦达定理处理含参与新定义问题 · 掌握反比例函数与一次函数、几何图形综合及k的几何意义的压轴解法 · 熟练运用垂径定理、圆周角定理解决圆的复杂证明与计算 · 掌握切线的判定与性质、点与圆的最值、外接圆等综合模型 · 能拆解正多边形和圆、弧长扇形圆锥及圆与函数几何综合的压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程综合 四种解法择优；配方法既是解法也是代数变形工具 判别式Δ=b2-4ac判断根的情况，抛物线与x轴交点即方程实根 韦达定理x1+x2=-、x1x2=整体代换 新定义、换元法问题转化为一元二次方程求解 概念辨析例题：用换元法解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 答案：x=2或x=-3 解析：设y=x2+x，则y2-4y-12=0，解得y=6或y=-2；y=6时x2+x-6=0得x=2或x=-3，y=-2无实根 ☆ 2.反比例函数综合 y=，k的符号定象限，|k|=图象上点与坐标轴围成矩形面积 与一次函数交点：联立方程组，交点坐标同时满足两式 与几何图形结合：用坐标表示线段、面积，注意相似与全等 实际问题：注意自变量范围，从图象获取信息 概念辨析例题：反比例函数y=图象上一点P向x轴作垂线，垂足为Q，△OPQ面积为4，求k 答案：k=8或k=-8 解析：△OPQ面积=|k|=4，故|k|=8，k=±8 ☆ 3.圆的基本性质综合 垂径定理+勾股：遇弦作弦心距，构造直角三角形求线段 圆周角=同弧圆心角一半；直径所对圆周角为90° 圆内接四边形对角互补；同弧等弧所对圆周角相等 圆综合中常结合全等、相似、解直角三角形 概念辨析例题：⊙O中弦AB=8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O半径 答案：半径r=5 解析：作OC⊥AB于C，则AC=4，OC=3，由勾股r==5 ☆ 4.位置关系、切线与正多边形 点与圆由d与r比较；直线与圆由圆心到直线距离与r比较 切线：连半径得垂直；证切线即证半径垂直于直线；切线长定理 三角形外接圆圆心为三边中垂线交点（外心），直角三角形外心在斜边中点 正多边形构造半径、边心距、边长一半的直角三角形；弧长扇形圆锥公式 概念辨析例题：圆锥底面半径为2，母线长为6，求侧面积与侧面展开图圆心角 答案：侧面积12π，圆心角120° 解析：S=π×2×6=12π；底面周长4π=，解得n=120 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 先保证a≠0再讨论 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先验Δ≥0 反比例k △OPQ面积=|k| 注意象限定符号 垂径定理 垂直弦的直径平分弦及弧 作弦心距用勾股 切线 切线⊥过切点半径 证切线连半径证垂直 弧长扇形圆锥 l=，S侧=πRl 展开弧长=底面周长 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-6题） · 按结构择优，换元法把复杂方程化为标准形式 · 配方法是代数变形的核心工具 · 公式法用前先算Δ 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·三模）在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 4．（24-25九年级上·北京·阶段检测）解方程：． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【考点2】根的判别式与根与系数的关系（第7-10题） · 由Δ符号与韦达定理整体代换求值 · 含参问题注意二次项系数不为0 · 新定义运算先按规则转化为方程 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 9．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 10．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【考点3】一元二次方程的实际应用（第11-13题） · 握手循环赛、营销利润问题找准等量关系 · 列方程后检验根是否符合实际 · 最值问题结合二次函数顶点 11．（23-24九年级上·福建南平·阶段检测）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． (1)每天的销售量为______瓶，每瓶洗手液的利润是______元．（用含x的代数式表示）； (2)若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 12．（23-24九年级上·江西南昌·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： (1)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 13．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%． (1)求，两种文具的单价分别为多少元？ (2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为 ，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值． 【考点4】反比例函数综合（第14-20题） · k的几何意义：三角形、矩形面积与|k|挂钩 · 与一次函数、几何图形联立求交点 · 用坐标表示线段长度，结合相似全等 14．（23-24九年级上·河南·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广西桂林·一模）如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为8，则的值为（    ）    A．32 B．16 C．8 D．4 16．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______． 19．（2022·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 20．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为， ，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【考点5】圆的基本性质（第21-36题） · 垂径定理+勾股求线段，圆周角与圆心角互化 · 见直径构造直角，圆内接四边形对角互补 · 圆综合常结合全等、相似、解直角三角形 21．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．任意三角形都有内切圆 D．相等的圆心角所对的弧也相等 22．（24-25九年级上·四川德阳·期中）已知的边，且内接于半径为2的，则的度数（   ） A． B． C．或 D．或 23．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）如图，是的直径，A，C是上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 25．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 26．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 29．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则____°． 30．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图， 点A、B、C在⊙O上，，，则的度数是____________． 31．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时，__________________，连接，若，则____________________． 32．（2026·河南平顶山·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 33．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 34．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 35．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 36．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【考点6】与圆有关的位置关系（第37-43题） · 点与圆、直线与圆由距离与半径比较 · 外心坐标问题转化为线段中垂线交点 · 点与圆上点的最值用圆心距加减半径 37．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 39．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 40．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，则的重心和外心的距离为______． 41．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是_____． 42．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算，利用公式解决下列问题： (1)求直线与直线之间的距离． (2)已知直线分别交x，y轴于A，B两点，是以为圆心，2为半径的圆，P为上的动点，试求出面积的最大值． 43．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【考点7】切线的性质与判定（第44-48题） · 有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径 · 切线长定理与勾股联用 · 切线与相似、全等综合时先找直角 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 45．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 46．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为______． 47．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 48．（2026·河北邯郸·一模）如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； (2)如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； (4)点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【考点8】正多边形和圆（第49-57题） · 构造半径、边心距、边长一半的直角三角形 · 中心角、边长、面积在直角三角形中计算 · 不规则阴影面积用割补转化 49．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 50．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 51．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 52．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为________． 53．（23-24九年级下·四川达州·期中）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距的长为________．    54．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 55．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为______．    56．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 57．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【操作感知】 如图，以点为旋转中心，将正方形顺时针旋转，用圆规画出点运动的路径； 【深入感悟】 如图，两个正方形的边长相等，先将正方形与右侧正方形的一边重合，再将正方形绕右侧正方形按顺时针方向无滑动地滚动一周． 用圆规画出点运动的路径；若正方形的边长为，求点运动的路径总长； 【灵活运用】 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的一条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向无滑动地滚动一周．若正方形的边长为，则在运动过程中，点距出发点的最大距离为 ． 【考点9】弧长、扇形与圆锥（第58-60题） · 弧长、扇形面积公式直接代入 · 圆锥侧面展开：弧长=底面周长 · 旋转弧形路径用弧长公式 58．（23-24九年级上·云南昆明·期中）圆锥的底面积为，高为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，线段在的直径上运动，，，分别过点，作，，与分别相交于点，．设的长度为，则的大小范围是_____． 60．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 💯 课后巩固 【作业1】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径是2，如果点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【作业4】．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【作业5】．（2025·江苏无锡·二模）反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【作业6】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为______． 【作业8】．（24-25九年级上·福建·开学考试）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 【作业9】．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 【作业10】．（第10讲正多边形与圆（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））正五边形的一个中心角等于_______度． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为_______． 【作业12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【作业13】．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上的动点，连接，以点F为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为_________． 【作业15】．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【作业16】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 【作业18】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【作业19】．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：请在图1的线段上找一点，使得到的距离等于，以为圆心，为半径作；（不写作法，保留作图痕迹） (2)设交于点，延长交于点，连接，是上的动点（端点除外），过点作交于点，若至的距离等于5，，，．在点运动过程中，关于的函数表达式为____________．（如需画草图，请使用备用图） 【作业20】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 复习建议 · 方程过关：含参、新定义、换元问题化为标准方程 · 反比例过关：k的几何意义与函数几何综合要熟练 · 圆证明过关：垂径、圆周角、切线三线贯通 · 位置关系过关：距离与半径比较，切线连半径 · 压轴过关：把综合题拆成基本图形模型逐个突破 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用一元二次方程的解法、判别式与韦达定理处理含参与新定义问题 · 掌握反比例函数与一次函数、几何图形综合及k的几何意义的压轴解法 · 熟练运用垂径定理、圆周角定理解决圆的复杂证明与计算 · 掌握切线的判定与性质、点与圆的最值、外接圆等综合模型 · 能拆解正多边形和圆、弧长扇形圆锥及圆与函数几何综合的压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程综合 四种解法择优；配方法既是解法也是代数变形工具 判别式Δ=b2-4ac判断根的情况，抛物线与x轴交点即方程实根 韦达定理x1+x2=-、x1x2=整体代换 新定义、换元法问题转化为一元二次方程求解 概念辨析例题：用换元法解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 答案：x=2或x=-3 解析：设y=x2+x，则y2-4y-12=0，解得y=6或y=-2；y=6时x2+x-6=0得x=2或x=-3，y=-2无实根 ☆ 2.反比例函数综合 y=，k的符号定象限，|k|=图象上点与坐标轴围成矩形面积 与一次函数交点：联立方程组，交点坐标同时满足两式 与几何图形结合：用坐标表示线段、面积，注意相似与全等 实际问题：注意自变量范围，从图象获取信息 概念辨析例题：反比例函数y=图象上一点P向x轴作垂线，垂足为Q，△OPQ面积为4，求k 答案：k=8或k=-8 解析：△OPQ面积=|k|=4，故|k|=8，k=±8 ☆ 3.圆的基本性质综合 垂径定理+勾股：遇弦作弦心距，构造直角三角形求线段 圆周角=同弧圆心角一半；直径所对圆周角为90° 圆内接四边形对角互补；同弧等弧所对圆周角相等 圆综合中常结合全等、相似、解直角三角形 概念辨析例题：⊙O中弦AB=8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O半径 答案：半径r=5 解析：作OC⊥AB于C，则AC=4，OC=3，由勾股r==5 ☆ 4.位置关系、切线与正多边形 点与圆由d与r比较；直线与圆由圆心到直线距离与r比较 切线：连半径得垂直；证切线即证半径垂直于直线；切线长定理 三角形外接圆圆心为三边中垂线交点（外心），直角三角形外心在斜边中点 正多边形构造半径、边心距、边长一半的直角三角形；弧长扇形圆锥公式 概念辨析例题：圆锥底面半径为2，母线长为6，求侧面积与侧面展开图圆心角 答案：侧面积12π，圆心角120° 解析：S=π×2×6=12π；底面周长4π=，解得n=120 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 先保证a≠0再讨论 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 先验Δ≥0 反比例k △OPQ面积=|k| 注意象限定符号 垂径定理 垂直弦的直径平分弦及弧 作弦心距用勾股 切线 切线⊥过切点半径 证切线连半径证垂直 弧长扇形圆锥 l=，S侧=πRl 展开弧长=底面周长 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-6题） · 按结构择优，换元法把复杂方程化为标准形式 · 配方法是代数变形的核心工具 · 公式法用前先算Δ 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故不是一元二次方程； B、是一元二次方程，故符合题意； C、该方程左边不是整式，故不是一元二次方程； D、该方程含有个未知数，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（2024·江苏宿迁·三模）在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【知识点】配方法的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解一元二次方程． （1）用直接开平方法解答即可； （2）用因式分解法解答即可； （3）用因式分解法解答即可； （4）用配方法解答即可； 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， ∴； （2）解：， ∴或， ∴； （3） 解：， ∴或， ∴； （4）解：移项，得， 配方，得， ∴， ∴，即， ∴． 4．（24-25九年级上·北京·阶段检测）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把进行配方，得，则，再开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】解一元二次方程——配方法、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数运算的法则和解一元二次方程的方法是关键． （1）先计算负指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，进行加减运算； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【考点2】根的判别式与根与系数的关系（第7-10题） · 由Δ符号与韦达定理整体代换求值 · 含参问题注意二次项系数不为0 · 新定义运算先按规则转化为方程 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式且，求出结果即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出 与 的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 9．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、新定义下的实数运算 【分析】将已知两式相减，结合得到，代入反比例函数解析式得到一元二次方程，根据方程有两个不相等实根结合反比例函数定义求的范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上，且存在两个不同的关联点， ∴，整理得， 该方程需有两个不相等的实数根，且反比例函数要求， ∴，且， 计算得，解得， 综上，的取值范围是且． 10．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则；若一元二次方程有实数根，则；据此即可求解． 【详解】解：存在，使得等于44，理由如下： ∵方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 【考点3】一元二次方程的实际应用（第11-13题） · 握手循环赛、营销利润问题找准等量关系 · 列方程后检验根是否符合实际 · 最值问题结合二次函数顶点 11．（23-24九年级上·福建南平·阶段检测）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． (1)每天的销售量为______瓶，每瓶洗手液的利润是______元．（用含x的代数式表示）； (2)若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 【答案】(1)， (2)元或元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元； （2）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元， 故答案为：，； （2）解：依题意得：， 解得：． 答：销售单价应上涨3元或5元． 12．（23-24九年级上·江西南昌·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： (1)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】(1)每件衬衫应降价元 (2)每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． （2）设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 13．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%． (1)求，两种文具的单价分别为多少元？ (2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为 ，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值． 【答案】(1)款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x的值，即可解答； （2）由题意可列出关于的一元二次方程，解出m的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】（1）解：设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元， 由题意：， 解得：， 答：款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元； （2）由题意：， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 【考点4】反比例函数综合（第14-20题） · k的几何意义：三角形、矩形面积与|k|挂钩 · 与一次函数、几何图形联立求交点 · 用坐标表示线段长度，结合相似全等 14．（23-24九年级上·河南·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上的点，确定解析式，计算N时，得值，根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】设反比例函数的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴， 当N时，， ∵时，在每个象限内，F随L的增大而减小， ∴至少需要， 故选B． 15．（2024·广西桂林·一模）如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为8，则的值为（    ）    A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【知识点】三线合一、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质等知识点，过作于，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积求出，即可求出，能求出是解此题的关键． 【详解】解：过作于，如图：    ∵， ∴， 设点的坐标为， 则， ， ∵的面积为8， ∴， ∵在反比例函数上， ∴， 即， 故选：C． 16．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、y=ax²+bx+c的最值、一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点，求出，同理可得，所以，则，从而可得垂直平分，所以，得点的横坐标与横坐标相同，且为，又点在函数图像上，然后代入即可求出的坐标；分别过作轴于点，轴于点，设，则，联立，得到，则，证明，得，故有，要使最大，则需最小，当时，有最小值，此时有最大值，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点， 由可得，当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标与横坐标相同，且为， ∵点在函数图像上， ∴； 如图，分别过作轴于点，轴于点， 设，则， ∵点在图像上， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使最大，则需最小， ∴当时，有最小值，此时有最大值， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，垂直平分线的性质等知识，利用数形结合的思想是解题的关键． 19．（2022·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数 的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 20．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为， ，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【答案】（1）24，16；（2）存在，，； ， 【知识点】根据矩形的性质求面积、解一元二次方程——配方法、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍矩形”，结合图像取近似数，即可作答． 联立方程组，求出，再求出，即可作答． 本题考查了一次函数与反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8， 则 ∴它的“2倍矩形”的周长为24，面积为16； 故答案为：24，16； （2）观察图像，两个函数有交点， 则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”， ∵， ∴结合图像，则它的长和宽分别约为和， 故答案为：存在，，； 依题意， 整理得 ∴， ∴ 解得或， ∵ ∴（舍去）， ∴宽为， 即． 【考点5】圆的基本性质（第21-36题） · 垂径定理+勾股求线段，圆周角与圆心角互化 · 见直径构造直角，圆内接四边形对角互补 · 圆综合常结合全等、相似、解直角三角形 21．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．任意三角形都有内切圆 D．相等的圆心角所对的弧也相等 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查圆的相关定理以及性质和三角形的相关性质，根据圆的相关定理以及性质和三角形的相关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，故本选项不符合题意． B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意． C、任何一个三角形都有内切圆，原说法正确，故本选项符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 22．（24-25九年级上·四川德阳·期中）已知的边，且内接于半径为2的，则的度数（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、利用勾股定理的逆定理求解、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，勾股逆定理，先连接，通过计算得，即，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：如图所示：连接， ∵内接于半径为2的， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上，则； 当在优弧上，则； 故选：D． 23．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）如图，是的直径，A，C是上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，则，求出的度数，则由同弧所对的圆周角相等可得的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 25．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求解、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 27．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 28．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 以为边在外作等边，取的外心为，连接， ∵， ∴点在上运动， 作点关于的对称点，连接交于点， 当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， 过点作直线的垂线，垂足为，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是的外心， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B． 29．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则____°． 【答案】60 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 30．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图， 点A、B、C在⊙O上，，，则的度数是____________． 【答案】/125度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】题目主要考查平行线的性质及圆周角定理，圆内接四边形求角度等，根据题意得出弧所对的圆周角为，再利用圆内接四边形求角度是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴弧所对的圆周角为， ∴， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时，__________________，连接，若，则____________________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，，即可证明，得，证明，则，即，故，根据勾股定理列式作答即可；如图，因为，是直径，所以，因为，四边形为矩形，设，证明，求得，据此列式计算作答即可． 【详解】解：是直径，弦于点 ，， ， ， ，， ， ， 故， ，， ， ， 即 ， ， 故， ， 在中，， ， 解得， ， 则， 如图：当时，连接， ∵是直径，弦于点， ， ∴四边形为矩形， ∴，，，， 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∵，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（2026·河南平顶山·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求其他不规则图形的面积、勾股定理与网格问题、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】连接，标记字母F，H．易证，得出，求出，从而可得，分别为，所在圆的直径，由网格特点可得，，，，则，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，标记字母F，H． 由网格特点可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，分别为，所在圆的直径． 由网格特点可得，，，， ∴， ∴． 33．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 【答案】 ，理由如下： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键，先求出及，证明即可证明结论． 【详解】略 34．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 【答案】(1) (2)①不变，②， 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． 【详解】（1）解： 为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； （2）解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 35．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 36．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、角平分线的性质定理、根据正方形的性质求角度、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 【考点6】与圆有关的位置关系（第37-43题） · 点与圆、直线与圆由距离与半径比较 · 外心坐标问题转化为线段中垂线交点 · 点与圆上点的最值用圆心距加减半径 37．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在内， 故选：B ． 39．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】点与圆上一点的最值问题、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 40．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、求三角形外心坐标 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    41．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、判断直线和圆的位置关系、坐标与图形 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 42．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算，利用公式解决下列问题： (1)求直线与直线之间的距离． (2)已知直线分别交x，y轴于A，B两点，是以为圆心，2为半径的圆，P为上的动点，试求出面积的最大值． 【答案】(1)这两条直线之间的距离等于 (2)18 【知识点】二次根式的混合运算、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】（1）在直线上任取一点，由直线与平行，则两直线间的距离即为点到的距离；再根据题干所给距离公式解答即可； （2）分别令、求得对应的y和x，进而确定点A，B的坐标和的长度；设圆心到直线即的距离为的半径为，然后根据题干所给距离公式求得半径R，然后再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点到直线的距离的最大值，最后运用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在直线上任取一点， ∵直线与平行， ∴这两条平行线之间的距离等于点到直线的距离． ∵直线可变形为，其中． ∴点到直线的距离． ∴这两条直线之间的距离等于； （2）解：令得；令得， ∴， 设圆心到直线即的距离为的半径为， ∴，， 又∵上任意点到直线的距离， ∴上任意点到直线的距离的最大值，此时，直线与相切， 所以的面积的最大值为：． 【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式，直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、平行线的性质等知识，弄清题意，明确所给“点到直线的距离公式”的内涵是解答本题的关键． 43．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半； (2) 证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； (3)，B、E、D、C，； (4) 证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、 三角形外接圆的概念辨析、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）略 （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； （4）略 【考点7】切线的性质与判定（第44-48题） · 有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径 · 切线长定理与勾股联用 · 切线与相似、全等综合时先找直角 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 45．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 46．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、根据特殊角三角函数值求角的度数、全等的性质和SAS综合（SAS）、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求特殊三角形外接圆的半径、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】作的外接圆，圆心为，连接、，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，根据等边三角形的性质以及角的和差得，再分析点的两个临界位置，求出的度数，即可求解． 【详解】解：作的外接圆，圆心为，连接、， ∵点是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴； 当点和点趋近于重合时，可看作圆的切线， 则， ∴， ∵是的中点， ∴点和点也趋近于重合， ∴； 当点和点重合时，则点是的中点， 又∵等边三角形， ∴， ∴，即； 综上，的度数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质，探究出点的运动轨迹是解题的关键． 48．（2026·河北邯郸·一模）如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； (2)如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； (4)点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) 解：说法正确，理由如下： 设，由圆周角定理可得， 连接，，， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； (3)当是直角三角形时，或 (4)最小值 【知识点】切线的性质定理、利用菱形的性质求线段长、 三角形外接圆的概念辨析、圆周角定理 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）设，由圆周角定理可得，连接，，，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【详解】（1）解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； （2）略 （3）解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 由过程同理可得，，，， ∴，， 由菱形的性质可得， ∴，， ∴和中， ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或； （4）解：作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 【考点8】正多边形和圆（第49-57题） · 构造半径、边心距、边长一半的直角三角形 · 中心角、边长、面积在直角三角形中计算 · 不规则阴影面积用割补转化 49．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 50．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故①正确； 因为当最长时，则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在上取一点E，使，如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，则， 过点A作于点，如图所示： 在中，， 则， 因为 所以 在中，， ∵是等边三角形， ，故④是错误的； 把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示： 因为， 所以是等边三角形， 易知 所以 则 要使四边形最大面积，则最大 此时为的直径 由②知， 则 所以 因为 所以在， 那么 则，故⑤是正确的； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题． 51．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】判断命题真假、正多边形和圆的综合、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及确定圆的条件、正多边形的对称性、正六边形的性质以及三角形的外心性质，根据相关性质判断命题的真假即可． 【详解】解：∵ ①三点共线时不能确定一个圆，故假命题； ∵ ②正多边形不一定是中心对称图形（如正三角形），故假命题； ∵ ③正六边形的半径（外接圆半径）与边长相等，故真命题； ∵ ④三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，故真命题； ∴ 真命题有2个， 故选：C． 52．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为________． 【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的内角和，本题即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， 为正三角形， ， ∴， 又∵， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 53．（23-24九年级下·四川达州·期中）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距的长为________．    【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质．连接，根据正六边形的性质可得是等边三角形，从而得到，，可得到，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 54．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为______．    【答案】 【知识点】正方形性质理解、正多边形和圆的综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵为圆的直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 56．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【答案】． 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 57．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【操作感知】 如图，以点为旋转中心，将正方形顺时针旋转，用圆规画出点运动的路径； 【深入感悟】 如图，两个正方形的边长相等，先将正方形与右侧正方形的一边重合，再将正方形绕右侧正方形按顺时针方向无滑动地滚动一周． 用圆规画出点运动的路径；若正方形的边长为，求点运动的路径总长； 【灵活运用】 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的一条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向无滑动地滚动一周．若正方形的边长为，则在运动过程中，点距出发点的最大距离为 ． 【答案】 【操作感知】如图所示， 即为所求； 【深入感悟】如图所示，、 、即为所求； 【灵活运用】 【知识点】正多边形和圆的综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】【操作感知】以为圆心，长为半径画即可； 【深入感悟】以为圆心，长为半径画半圆弧；以为圆心，长为半径画半圆弧 ；以为圆心，长为半径画半圆弧 即可； 连接，利用勾股定理即可求得的长，再运用半圆的周长公式即可求得答案； 【灵活运用】延长交弧线于，则线段的长即为点在滚动过程中到出发点的最大距离，连接，过点作于点，由勾股定理可得的长 ， 利用多边形的内角和公式结合直角三角形的性质可求得的度数，从而可求得的长，进而得解． 【详解】解：【操作感知】略 【深入感悟】略 如图所示，连接，则， 点运动的路径总长为； 【灵活运用】如图所示，点的运动轨迹是图中弧线，延长交弧线于，则线段的长即为点在滚动过程中到出发点的最大距离， 连接，过点作于点， 由勾股定理得 ， 在中，，， ， ， ， ， 即点在滚动过程中距出发点的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，旋转变换，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点的运动轨迹． 【考点9】弧长、扇形与圆锥（第58-60题） · 弧长、扇形面积公式直接代入 · 圆锥侧面展开：弧长=底面周长 · 旋转弧形路径用弧长公式 58．（23-24九年级上·云南昆明·期中）圆锥的底面积为，高为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】设该圆锥地面半径为r，根据底面积，求出底面半径，再求出该圆锥的底面周长，根据勾股定理求出，最后根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，该圆锥的侧面展开图为扇形， 设该圆锥地面半径为r， ， 解得：（舍去）， 则， 该圆锥的底面周长，即， ∵， ∴根据勾股定理可得：， ∴该圆锥侧面积， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了求圆锥成侧面积，解题的关键是掌握扇形面积公式：． 59．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，线段在的直径上运动，，，分别过点，作，，与分别相交于点，．设的长度为，则的大小范围是_____． 【答案】 【知识点】求弧长、根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质 【分析】作于点，连接，由矩形的判定和性质，结合勾股定理可得，随着点和点的高度差的增大而增大，当点和点在的同侧，且时，为等边三角形，可得的最小值，当点和点在的异侧，且时，过圆心，可得的最大值． 【详解】解：作于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴随着点和点的高度差的增大而增大， ∴当点和点在的同侧，且时，取得最小值，此时取最小值；当点和点在的异侧，且时，取得最大值，此时取最大值； 当点和点在的同侧，且时， ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的直径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 当点和点在的异侧，且时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴的大小范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求弧长． 60．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 【答案】(1) (2) 符合规定， 理由：总面积的一半：； 绿地面积； 因，故符合规定． 答：（1）绿地面积为； （2）这个设计图符合规定． 【知识点】圆的周长和面积问题、列代数式 【分析】本题考查了代数式运算与几何图形面积的计算，解题的关键是通过总面积减去水池、休息区的面积得到绿地面积；通过比较绿地面积与总面积的一半判断是否符合规定． （1）先求长方形广场总面积，再求正方形水池面积与四个四分之一圆组成的整圆面积，用总面积减去这两部分得绿地面积； （2）计算总面积的一半，比较绿地面积与该值的大小． 【详解】（1）解：长方形总面积：； 水池面积：； 四个圆形休息区面积和：； 绿地面积：． （2）略 💯 课后巩固 【作业1】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 【作业2】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、当时，原方程化为：，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，有两个未知数，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径是2，如果点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆位置关系的判定方法：设的半径为，点到圆心的距离为，则时，点在外；时，点在上；时，点在内． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为，由题意得，． ∵，即， ∴点在外； 故选：A． 【作业4】．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图连接、 交于点，作 交于点，可证，连接，当为 中点时最大，即可求出，最后可以求出最小值 【详解】解：如图连接、 交于点 ， 在矩形中，，， ∵， ∴四点共线，以为圆心 为半径作圆， 作 交于点， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ，当最大时最小， ∴连接，当为 中点时最大，则， ∵ ，且为中点， ∴ ，则， ∴ ， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B． 【点睛】本题利用矩形的性质，圆周角定理，四点共圆，相似三角形的判定和性质，构造辅助圆求解最小值是解题的关键． 【作业5】．（2025·江苏无锡·二模）反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据，则，所以反比例函数的图象在第二、第四象限，在每个象限，y随x增大而增大，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出、与0的大小即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的图象在第二、第四象限内，在每个象限，y随x增大而增大， 当时，则， ∴都在第二象限， ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴都在第四象限， ∴，故B选项正确，符合题意； 当时，，在第二象限，在第四象限， ∴，故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【作业6】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 【作业7】．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为______． 【答案】5 【知识点】求扇形面积 【分析】已知扇形的圆心角度数与面积，求半径，可利用扇形面积公式列方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】设此扇形的半径为， 由题意得，圆心角，面积， 根据扇形面积公式，代入已知条件得： 等式两边同时约去，化简得： 整理得， 因为扇形半径为正数，所以． 【作业8】．（24-25九年级上·福建·开学考试）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，由根与系数的关系得到，由方程解的定义得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业9】．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可． 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ， ，， ， . 米，， 米 设，则， 在中，， ， 即的半径长为米． 故答案为：． 【作业10】．（第10讲正多边形与圆（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））正五边形的一个中心角等于_______度． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角为：． 故答案为： 【作业11】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为_______． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形外接圆，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理；由勾股定理求得斜边，由斜边上中线性质得三角形外接圆半径． 【详解】解：由勾股定理得：， 由于直角三角形外接圆圆心在斜边的中点，半径为斜边的一半， 所以外接圆的半径为， 故答案为：． 【作业12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 【作业13】．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上的动点，连接，以点F为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为_________． 【答案】或 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识．分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ． 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得； 故答案为：或． 【作业15】．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 【作业16】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 【答案】(1)不是；不是 (2) 正方形的“伴侣形”即为所求：    (3)， (4) 【知识点】求弧长、正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、正多边形的内角问题 【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论； （2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案； （3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得； （4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长． 【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”； 不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”； （2）设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，    由题意得，则为等边三角形，得， ∴，同理， ∴， 则， 故正方形的“伴侣形”的周长， （3）    连接、、和，如图， 由题意得，则和为等边三角形，得， ∵， ∴ 则， 故当时，其“远伴侣形”的周长为， 当时，“远伴侣形”的周长为， （4）． 【点睛】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角度和弧长公式． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆的基本概念辨析、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，再由，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【作业18】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 【作业19】．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：请在图1的线段上找一点，使得到的距离等于，以为圆心，为半径作；（不写作法，保留作图痕迹） (2)设交于点，延长交于点，连接，是上的动点（端点除外），过点作交于点，若至的距离等于5，，，．在点运动过程中，关于的函数表达式为____________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1) 如图，即为所作： (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）由角平分线的判定可得，点在的平分线上，作的平分线与交点即为点，再以点O为圆心，为半径即可作； （2）记与交点为点，连接，过点作于点，由题意得的半径为5，则，由圆周角定理结合勾股定理先求出，有面积法求出，再由勾股定理得到，即可求解，由求出，再由，即可建立起函数关系式． 【详解】（1）略 （2）解：记与交点为点，连接，过点作于点， 由题意得的半径为5，则， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，尺规作图角平分线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【作业20】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 开方得：， ∴； （2）移项得：， 因式分解得：， ∴或 ∴； （3）因式分解得：， ∴或， ∴； （4） ∴ ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选用解法是解题的关键． 复习建议 · 方程过关：含参、新定义、换元问题化为标准方程 · 反比例过关：k的几何意义与函数几何综合要熟练 · 圆证明过关：垂径、圆周角、切线三线贯通 · 位置关系过关：距离与半径比较，切线连半径 · 压轴过关：把综合题拆成基本图形模型逐个突破 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $