第1章·一元二次方程·期中综合复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章·一元二次方程·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能准确识别并化为一般式 ax2+bx+c=0(a≠0) · 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法并灵活选用 · 会用根的判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况，能由根的情况求参数 · 掌握根与系数的关系（韦达定理），能求代数式的值并处理参数综合问题 · 能建立一元二次方程模型解决传播、增长率、营销利润、图形面积等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程 一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a为二次项系数、b一次项系数、c常数项 二次项系数 a≠0 是隐含条件，求参数时必须检验 方程的解（根）：使左右两边相等的未知数的值 概念辨析例题：若方程(m-1)x|m|+1+2x=3是关于x的一元二次方程，求m的值 答案：m=-1 解析：需满足|m|+1=2且m-1≠0，由|m|=1得m=±1，又m≠1，故m=-1 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如(x+m)2=n(n≥0)，开方得x+m=± 配方法：化二次项系数为1，配方两边加一次项系数一半的平方 公式法：x=，是通法 因式分解法：化为ab=0形式，令各因式为0求解，最简便 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-4x-1=0 答案：x=2± 解析：移项得x2-4x=1，两边加4得(x-2)2=5，开方得x=2± ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根 由根的情况求参数：令Δ>0(=0/<0)解不等式，勿忘a≠0 韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1x2= 求代数式的值：用x1+x2、x1x2整体代入，如x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1,x2，求 x12+x22 的值 答案：11 解析：x1+x2=3，x1x2=-1，故x12+x22=32-2×(-1)=11 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：每轮1人传染x人，两轮后共(1+x)2=总人数 增长率问题：基数a，平均增长率x，两次增长后为a(1+x)2=b 营销利润：单件利润×销售量=总利润，注意降价与销量的联动 图形面积：按面积关系设边长列方程，结果须符合实际意义 概念辨析例题：某商品进价40元，售价50元时月售500件，售价每涨1元少卖10件，若要月利润8000元，设涨价x元，列方程 答案：(10+x)(500-10x)=8000 解析：单件利润为(10+x)元，销量为(500-10x)件，相乘等于总利润8000元 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 ax2+bx+c=0 二次项系数a≠0 配方法 两边加(一次项系数一半)2 先把二次项系数化为1 求根公式 x= 用前先算Δ判断有无实根 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前须Δ≥0 实际应用 审清等量关系列方程 结果要检验是否符合实际 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般式（第1-8题） · 先看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2 · 求参数时二次项系数a≠0必须作为限制条件 · 化为一般式后再确定各项系数 1．（22-23九年级上·全国·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、它是一元二次方程，故此选项符合题意； C、由已知方程得到：，未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故不是一元二次方程； B、是一元二次方程，故符合题意； C、该方程左边不是整式，故不是一元二次方程； D、该方程含有个未知数，不是一元二次方程； 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：A：满足一元二次方程的定义，符合题意； B：含有两个未知数，不符合题意； C：化简后，只含有一个未知数，不符合题意； D：是分式方程，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关结论即可． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于的方程是一元二次方程，则____________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值． 【详解】 ∵关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， ； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2) ； 【知识点】配方法的应用、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 【考点2】直接开平方法与配方法（第9-10题） · 能写成(x+m)2=n的优先用直接开平方法 · 配方关键：两边同时加上一次项系数一半的平方 · 配方后写成完全平方再开方 8．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）解：移项，得， 两边同时开方，得， ∴，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， ∴，． 【考点3】公式法与因式分解法（第11-15题） · 方程易分解时优先因式分解法，最快捷 · 公式法是通法，套用前先算Δ · 含括号或分式的方程先化简整理为一般式 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知，，x取什么值时，与相等？ 【答案】取或时，与相等 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先令与相等，得到，再把方程化为一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：令，则， 将方程化为一般形式，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 答：取或时，与相等． 11．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，． 12．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 13．（21-22九年级下·江苏徐州·阶段检测）解方程或不等式组： (1)； (2)； (3)解不等式组：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解∶ ， ， ， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 当时，， 所以原方程的解为； （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1) ① (2) 的值为或 (3) ，， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解分式方程（化为一元一次）、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 【考点4】根的判别式（第16-17题） · Δ>0、=0、<0分别对应两不等、两相等、无实根 · 判别式结论题常结合函数图象、交点个数考查 · 含字母参数时用Δ的符号建立不等式 16．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 17．（2022·河北石家庄·模拟预测）若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 【考点5】根与系数的关系（韦达定理）（第18-26题） · 先由韦达定理写出两根之和与两根之积 · 代数式求值用整体代入，熟记常见变形 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程为的两个根为， ， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为， 故选：B． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·山东德州·阶段检测）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）若、是方程的两个根，则________． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， 故答案为：4． 22．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 23．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则根据根与系数的关系得出，求出即可． 【详解】解：设另一个根为，则， 解得：， 所以，另一个根为， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，且，则化简________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查根与系数的关系，根据、满足的等式判断出、可看作方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 由，即，，且可知、可看作方程的两不相等的实数根，然后得出，从而得出结论． 【详解】， 即，，且， ∴、可看作方程的两不相等的实数根， 则， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是___________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，通过适当变形进行计算即可．解题的关键是熟知根与系数的关系与因式分解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴ ∴ 故答案为：． 26．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 【考点6】由解或根的情况求参数（第27-42题） · 已知一个根：代入方程求参数，再求另一根 · 由根的情况：令Δ满足条件解不等式 · 两根都大于某值等综合问题需结合判别式与韦达定理 27．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 28．（23-24九年级上·河南信阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意得：且，解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 29．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确；推导出，，则，故②正确；求出当时，，则点在函数图像上，有，故③正确；当时，的两个根，推导出，则，得到，故④正确，即可解答． 【详解】解：由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确； ∵二次函数过点， ∴即， 由抛物线开口向上，得， ∴，故②正确， ∵抛物线对称轴为， ∴当时， 若点在函数图像上，则，故③正确；， 当时，的两个根， 方程变形为， ， ∵， ∴， 则， ∴，故④正确． 综上，①②③④正确． 故选D． 30．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 31．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴ 且， ∴． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且，即且， 解得，， 故答案为：4． 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可． 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 34．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据方程有两个实数根得出，可得或，根据两个实数根都大于列不等式组，解不等式组即可得答案． 【详解】解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 35．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知：关于x的方程①有两个符号不同的实数根，且；关于x的方程②有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值____． 【答案】5或/或5 【知识点】加减消元法、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式、解二元一次方程组，根据①确定的取值范围，根据②利用根于系数的关系求出的值，根据方程有两个有理数根，得到，得到的二元一次方程组，求解即可．解题关键在于确定m的取值，然后分析出关于n和k的二元一次方程组． 【详解】解：∵有两个符号不同的实数根，且； ∴， 解得：； ∵的两根之积等于2， ∴，解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解； ∴转化为：， ∵方程有两个有理数根， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：5或． 36．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、异分母分式加减法 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 37．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 38．（2025·山东青岛·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 39．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 40．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否经过，并说明理由． 【答案】 解：由于方程有两个不相等的实数根， 则， 解得， 若直线经过点， 则当时，， 即， 解得， 但不满足，矛盾， 因此，直线不能经过点A． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解题的关键． 根据方程有两个不等实根，得到判别式大于零，求出的范围，再假设直线经过点A，代入坐标解得的值，与的范围比较，得出矛盾． 【详解】略 41．（23-24八年级下·安徽六安·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键． （1）利用根的判别式进行运算求解即可； （2）利用韦达定理表示出，，化简后，代入运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围为； （2）∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 42．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 【考点7】传播与增长率问题（第43-45题） · 传播模型：(1+x)2=总数，注意初始1人 · 增长模型：a(1+x)2=b，下降则用a(1-x)2 · 倒出药液等问题套用同一变化率模型 43．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人为等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：， 解得：（舍去），， 故选：． 44．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这时容器内剩下的纯药液是28L．假设每次倒出的液体是xL，则其中第二次倒出的纯药液是 ____________________L，列方程为_____． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用；先表示第一次剩下的纯药液为，再表示第二次倒出的纯药液，再结合最后剩下的纯药液列方程即可． 【详解】解：第一次剩下：， 第二次倒出的纯药液是：； 由题意得，， 整理得：， 故答案为：，． 45．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 【考点8】营销与利润问题（第46-50题） · 总利润=单件利润×销售数量 · 涨价(降价)与销量增减要对应准确 · 常结合函数最值，注意实际取值范围 46．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 47．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为______． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 48．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 49．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值 (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． （3）略 50．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 【考点9】图形面积与动态几何应用（第51-60题） · 按面积公式或几何关系设未知数 · 动态问题用时间t表示线段长度再列方程 · 解出后检验边长、时间是否符合图形实际 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 52．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 53．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 54．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解． 【详解】解：∵有x个队参赛， ∴共比赛场， ∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛， ∴， 故答案为： 55．（26-27九年级上·全国·课后作业）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 56．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得，， 故答案为：． 57．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、求不等式组的解集 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 58．（25-26九年级上·全国·阶段检测）某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为． (1)求围成的矩形苗圃园的面积； (2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？ 【答案】(1)苗圃园的面积为160平方米 (2)小路的宽为1米 【知识点】根据矩形的性质求面积、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，找准等量关系列出方程是解题关键． （1）根据矩形边长的比例关系设未知数，结合围墙长度和门的宽度列出方程，求出矩形的长和宽，进而计算面积； （2）把种植玫瑰花的区域看作一个新的矩形，根据其面积列出一元二次方程，求解得出鹅卵石小路的宽度． 【详解】（1）设与院墙垂直的一边长为米，则与院墙平行的一边长为米，且， 即， 由题意，得，解得， 与院墙垂直的一边长为10米，与院墙平行的一边长为16米， 围成的矩形苗圃园的面积为平方米； （2）设小路的宽为米，由题意，得， 整理，得，解得(舍去)，， 鹅卵石小路的宽为1米． 59．（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、单项式乘多项式的应用、公式法解一元二次方程、列代数式、二次根式的乘法 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 60．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)每个车位的月租金应上涨40元 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：二次项系数a≠0是最易错的隐含条件 · 解法过关：四种方法按题选用，因式分解优先、公式法兜底 · 判别式过关：Δ符号与根的对应关系要熟，求参数勿忘限制 · 韦达过关：两根和与积整体代入，常见变形要记牢 · 应用过关：传播、增长率、利润、面积四类模型等量关系要会 【作业1】．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 【作业2】．（23-24九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解． 【详解】解：， 或， 解得， 故选D． 【作业3】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 【作业4】．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，不符合题意； B、，含有2个未知数，不符合题意； C、，不是整式方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【作业5】．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：月份售价为21万元，月均下降率是，5月份售价为18万元， ． 故选：D． 【作业6】．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 【作业7】．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 【作业8】．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 【答案】12 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出的值是解题的关键；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个根为， 则a的值为_____． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是根的定义代入求解． 由于方程有一个根为0，将代入方程即可求出a的值。 【详解】将代入方程得 ∴ ∴ 故答案为：1． 【作业10】．（23-24九年级上·山西长治·阶段检测）将一元二次方程配方后可变形为______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）若是方程的两根，则____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 【作业12】．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 【作业13】．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为____________． 【答案】3 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 【作业14】．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 【作业15】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值； 【答案】(1) 解：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． （1）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可； （2）直接把代入方程求出m的值． 【详解】（1）略 （2）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：． 【作业16】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键． （1）直接开平方化为一元一次方程即可求解； （2）将原式整理为一元二次方程一般式，然后运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ，； （2）解： ， 或 解得：，． 【作业17】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 【作业18】．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若4是这个方程的一个根，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根． 【答案】(1)的值为5，方程的另一根为1 (2) 证明： ， 对于任意实数，原方程一定有实数根． 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根． （2）根据根的判别式进行论证即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：． 设方程的另一根为，根据方程根与系数的关系则 ． ∴， 即的值为5，方程的另一根为1． （2）略 【作业19】．（23-24九年级上·山西晋中·期中）“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)90元/盒 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； （2）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 【作业20】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出矩形的长与宽是解题关键． 设为米，则，根据“面积为”列出方程并解答． 【详解】解：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园，理由如下： 设AB长为时，， 由题意，得：， 解得：，， 当，（舍去）； 当，， 答：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·一元二次方程·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能准确识别并化为一般式 ax2+bx+c=0(a≠0) · 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法并灵活选用 · 会用根的判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况，能由根的情况求参数 · 掌握根与系数的关系（韦达定理），能求代数式的值并处理参数综合问题 · 能建立一元二次方程模型解决传播、增长率、营销利润、图形面积等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程 一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a为二次项系数、b一次项系数、c常数项 二次项系数 a≠0 是隐含条件，求参数时必须检验 方程的解（根）：使左右两边相等的未知数的值 概念辨析例题：若方程(m-1)x|m|+1+2x=3是关于x的一元二次方程，求m的值 答案：m=-1 解析：需满足|m|+1=2且m-1≠0，由|m|=1得m=±1，又m≠1，故m=-1 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如(x+m)2=n(n≥0)，开方得x+m=± 配方法：化二次项系数为1，配方两边加一次项系数一半的平方 公式法：x=，是通法 因式分解法：化为ab=0形式，令各因式为0求解，最简便 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-4x-1=0 答案：x=2± 解析：移项得x2-4x=1，两边加4得(x-2)2=5，开方得x=2± ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根 由根的情况求参数：令Δ>0(=0/<0)解不等式，勿忘a≠0 韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1x2= 求代数式的值：用x1+x2、x1x2整体代入，如x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1,x2，求 x12+x22 的值 答案：11 解析：x1+x2=3，x1x2=-1，故x12+x22=32-2×(-1)=11 ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：每轮1人传染x人，两轮后共(1+x)2=总人数 增长率问题：基数a，平均增长率x，两次增长后为a(1+x)2=b 营销利润：单件利润×销售量=总利润，注意降价与销量的联动 图形面积：按面积关系设边长列方程，结果须符合实际意义 概念辨析例题：某商品进价40元，售价50元时月售500件，售价每涨1元少卖10件，若要月利润8000元，设涨价x元，列方程 答案：(10+x)(500-10x)=8000 解析：单件利润为(10+x)元，销量为(500-10x)件，相乘等于总利润8000元 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 ax2+bx+c=0 二次项系数a≠0 配方法 两边加(一次项系数一半)2 先把二次项系数化为1 求根公式 x= 用前先算Δ判断有无实根 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前须Δ≥0 实际应用 审清等量关系列方程 结果要检验是否符合实际 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般式（第1-8题） · 先看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2 · 求参数时二次项系数a≠0必须作为限制条件 · 化为一般式后再确定各项系数 1．（22-23九年级上·全国·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于的方程是一元二次方程，则____________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【考点2】直接开平方法与配方法（第9-10题） · 能写成(x+m)2=n的优先用直接开平方法 · 配方关键：两边同时加上一次项系数一半的平方 · 配方后写成完全平方再开方 8．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【考点3】公式法与因式分解法（第11-15题） · 方程易分解时优先因式分解法，最快捷 · 公式法是通法，套用前先算Δ · 含括号或分式的方程先化简整理为一般式 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知，，x取什么值时，与相等？ 11．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 12．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 13．（21-22九年级下·江苏徐州·阶段检测）解方程或不等式组： (1)； (2)； (3)解不等式组：． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【考点4】根的判别式（第16-17题） · Δ>0、=0、<0分别对应两不等、两相等、无实根 · 判别式结论题常结合函数图象、交点个数考查 · 含字母参数时用Δ的符号建立不等式 16．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 17．（2022·河北石家庄·模拟预测）若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【考点5】根与系数的关系（韦达定理）（第18-26题） · 先由韦达定理写出两根之和与两根之积 · 代数式求值用整体代入，熟记常见变形 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 18．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 20．（23-24九年级上·山东德州·阶段检测）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 21．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）若、是方程的两个根，则________． 22．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 23．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根为________． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，且，则化简________． 25．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是___________． 26．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【考点6】由解或根的情况求参数（第27-42题） · 已知一个根：代入方程求参数，再求另一根 · 由根的情况：令Δ满足条件解不等式 · 两根都大于某值等综合问题需结合判别式与韦达定理 27．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·河南信阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 29．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 30．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 31．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 34．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 35．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知：关于x的方程①有两个符号不同的实数根，且；关于x的方程②有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值____． 36．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是______． 37．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 38．（2025·山东青岛·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 39．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 40．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否经过，并说明理由． 41．（23-24八年级下·安徽六安·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 42．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【考点7】传播与增长率问题（第43-45题） · 传播模型：(1+x)2=总数，注意初始1人 · 增长模型：a(1+x)2=b，下降则用a(1-x)2 · 倒出药液等问题套用同一变化率模型 43．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这时容器内剩下的纯药液是28L．假设每次倒出的液体是xL，则其中第二次倒出的纯药液是 ____________________L，列方程为_____． 45．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【考点8】营销与利润问题（第46-50题） · 总利润=单件利润×销售数量 · 涨价(降价)与销量增减要对应准确 · 常结合函数最值，注意实际取值范围 46．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 47．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为______． 48．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 49．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 50．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【考点9】图形面积与动态几何应用（第51-60题） · 按面积公式或几何关系设未知数 · 动态问题用时间t表示线段长度再列方程 · 解出后检验边长、时间是否符合图形实际 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 52．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 53．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 54．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 55．（26-27九年级上·全国·课后作业）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 56．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 57．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 58．（25-26九年级上·全国·阶段检测）某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为． (1)求围成的矩形苗圃园的面积； (2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？ 59．（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 60．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：二次项系数a≠0是最易错的隐含条件 · 解法过关：四种方法按题选用，因式分解优先、公式法兜底 · 判别式过关：Δ符号与根的对应关系要熟，求参数勿忘限制 · 韦达过关：两根和与积整体代入，常见变形要记牢 · 应用过关：传播、增长率、利润、面积四类模型等量关系要会 【作业1】．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【作业2】．（23-24九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【作业4】．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【作业7】．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【作业8】．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个根为， 则a的值为_____． 【作业10】．（23-24九年级上·山西长治·阶段检测）将一元二次方程配方后可变形为______． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）若是方程的两根，则____． 【作业12】．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【作业13】．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为____________． 【作业14】．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【作业15】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值； 【作业16】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)． 【作业17】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【作业18】．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若4是这个方程的一个根，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根． 【作业19】．（23-24九年级上·山西晋中·期中）“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【作业20】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $