期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共82题）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版·九年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共82题）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册 苏科版（2024年版）九年级数学上册　期中复习　第1章 一元二次方程　第2章 反比例函数 含 12 个考点例题　/　共 82 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 27）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能把一元二次方程化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）并读出各项系数；会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解方程，能按方程特点选最简便的方法。 2．会用Δ=b²-4ac判断根的情况并由根的情况求字母范围；会用x1+x2=，x1x2=求x1²+x2²，1/x1+1/x2等对称式的值，并回代检验Δ≥0。 3．会列一元二次方程解决平均增长（降低）率、长方形面积、销售利润、动点这四类问题，并按实际意义取舍根。 4．能由一对对应值求反比例函数y=的表达式，由k的符号判断双曲线所在象限和每个象限内的增减性；会用|k|求矩形、三角形面积，会求双曲线与直线的交点，会用反比例函数解决路程、工程、压强类实际问题。 学习重难点 重点：一元二次方程的四种解法与根的判别式、根与系数的关系；增长率、面积、利润、动点四类应用题的等量关系；反比例函数的图象与性质、k的几何意义、与一次函数的交点。 难点：含字母系数的方程要先看二次项系数是否为0；用韦达定理前必须保证Δ≥0；两边有公因式时不能约去；增减性只在每一个象限内成立，两点分属两支时先看函数值的正负；由面积求k要结合象限确定符号。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　一元二次方程的概念与一般形式 2 知识点 02　直接开平方法与配方法 3 知识点 03　公式法与根的判别式 3 知识点 04　因式分解法 3 知识点 05　根与系数的关系（韦达定理） 4 知识点 06　用一元二次方程解决问题 4 知识点 07　反比例函数的概念 4 知识点 08　反比例函数的图象：双曲线 5 知识点 09　反比例函数的增减性 5 知识点 10　k的几何意义 6 知识点 11　反比例函数与一次函数的交点 6 知识点 12　用反比例函数解决实际问题 7 考点 1　直接开平方法与一元二次方程的概念 7 考点 2　配方降次与完全平方式求最值 8 考点 3　求根公式解方程与判别式定范围 9 考点 4　因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 10 考点 5　根与系数的关系（韦达定理） 11 考点 6　增长率与面积问题 12 考点 7　销售利润与动点问题 13 考点 8　反比例函数的概念与图象所在象限 14 考点 9　k的几何意义与图形面积 15 考点 10　反比例函数的增减性与比较大小 17 考点 11　反比例函数与一次函数的综合 18 考点 12　用反比例函数解决实际问题 20 易错专练 21 课后作业（一）基础巩固 22 课后作业（二）能力进阶 23 课后作业（三）拓展延伸 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　一元二次方程的概念与一般形式 只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。任何一个一元二次方程经过去括号、移项、合并同类项，都能化成一般形式+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中，bx，c分别叫作二次项、一次项和常数项，a，b分别叫作二次项系数、一次项系数。判断时要先整理再看：例如(3x+2)(x-1)=+7整理后是-x-9=0，二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-9。小提示：系数连同前面的符号一起读；“a≠0”是一元二次方程的身份条件，含字母系数时必须单独写出。 +bx+c=0（a≠0） 整理顺序：去括号、移项、合并同类项 知识点　02　直接开平方法与配方法 根据平方根的意义，方程=p（p≥0）的根是x=±；形如=k的方程，当k≥0时，x=-h±，当k<0时方程没有实数根。把一元二次方程变形成=n的形式再开平方的方法叫作配方法，步骤是：二次项系数化为1，常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，最后开平方。例如+12x-13=0，移项得+12x=13，两边加36得=49，所以x1=1，x2=-13。小提示：两边要同时加，漏加右边是配方中最常见的错误。 =k（k≥0）⇒x=-h± +px+= 知识点　03　公式法与根的判别式 一元二次方程+bx+c=0（a≠0），当-4ac≥0时，它的根是x=，这个式子叫作求根公式，把a，b，c的值直接代入求根公式求根的方法称为公式法。式子-4ac叫作根的判别式，用“Δ”表示：Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时没有实数根。例如-5x-4=0中Δ=25+48=73>0，方程有两个不相等的实数根。小提示：先化成一般形式再读a，b，c，符号一并带入。 x=（-4ac≥0） Δ=-4ac 知识点　04　因式分解法 当一元二次方程的一边是0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，就把它转化成两个一元一次方程，这种解法叫作因式分解法。常用的分解方式是提公因式和乘法公式（平方差、完全平方）。例如-9x=0可化为x(x-9)=0，得x1=0，x2=9。小提示：方程两边含有相同的含未知数的因式时，不能直接约去，要移项后提公因式，否则会丢根。 A·B=0⇒A=0或B=0 -=(a+b)(a-b) 知识点　05　根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，这一关系也称为韦达定理。它可以在不解方程的情况下求出与两根有关的对称式的值，如x1²+x2²=-2x1x2。例如+2x-8=0的两个根是2和-4：=-2恰好等于2+(-4)，=-8恰好等于2×(-4)。小提示：使用前提是方程有实数根，含字母时求出字母后必须回代检验Δ≥0。 x1+x2= x1x2= 知识点　06　用一元二次方程解决问题 列一元二次方程解应用题的一般步骤是：审题、设未知数、找等量关系列方程、解方程、检验并作答。常见模型有三类：①平均增长（降低）率：原量为a，平均每次增长率为x，两次后的量b=（降低时为）；②面积问题：抓住“图形面积＝长×宽”，剪去、平移后的部分用含x的式子表示；③利润问题：总利润＝单件利润×销售量，售价变化引起销量变化。例如某厂产量两年内由100万件增加到121万件，设年平均增长率为x，则=121，=1.21，1+x=±1.1，得x=10%或x=-2.1，增长率不能为-210%，x=-2.1舍去。小提示：解出的两个根都要检验，负的增长率、超过墙长的边长、不在运动时间内的时间都要舍去。 b= 总利润=单件利润×销售量 知识点　07　反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x和y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么称y是x的反比例函数，它也可以写成y=（k≠0）的形式，其中k是常数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。确定反比例函数只需要一对对应值：例如已知当x=3时y=4，则k=3×4=12，函数表达式为y=。判断两个量是否成反比例，就看它们的乘积是否是一个不为0的定值，例如面积为45的矩形，长x与宽y满足xy=45。小提示：y=中分母是x的一次单项式，y=以及分母是x的平方的式子都不是反比例函数。 y=（k≠0） k=xy 知识点　08　反比例函数的图象：双曲线 反比例函数y=（k≠0）的图象由两支曲线组成，称为双曲线。两支曲线关于原点成中心对称；k>0时两支分别位于第一、三象限，k<0时两支分别位于第二、四象限。双曲线与两条坐标轴都没有公共点，两支曲线无限接近坐标轴但永不相交。画图用列表、描点、连线，自变量取值要关于0对称地选取，连线用平滑曲线。小提示：若点(a，b)在双曲线上，则点(-a，-b)一定也在这条双曲线上；|k|越大，双曲线离原点越远。 k>0：第一、三象限 k<0：第二、四象限 知识点　09　反比例函数的增减性 在每一个象限内，y的变化趋势由k的符号决定：k>0时y随x的增大而减小，k<0时y随x的增大而增大。增减性只在同一象限（同一支）内成立，两个点分别在两支上时，要先看函数值的符号。比较函数值大小有三种方法：代入求值、利用增减性、看图象的高低。例如点A(-1，y1)，B(2，y2)在y=上，y1=3>0，y2=-1.5<0，所以y1>y2。小提示：不能说“反比例函数y随x的增大而减小”，必须加上“在每一个象限内”。 k>0：每支下降 k<0：每支上升 知识点　10　k的几何意义 过双曲线y=上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，则矩形PMON的面积等于|k|；连接OP，则△OPM的面积等于|k|/2。这两个面积与点P的位置无关，是不变的。由面积反求k时先得|k|，再由双曲线所在的象限确定k的符号。例如点P(2.5，4)在y=上，矩形PMON的面积为2.5×4=10，△OPM的面积为5。反过来，只要知道这样的矩形或三角形的面积，就能求出|k|。小提示：面积为正，k可正可负，别漏掉看象限。 S矩形PMON=|k| S△OPM=|k|/2 知识点　11　反比例函数与一次函数的交点 求双曲线y=与直线y=ax+b的交点，就是解由两个表达式组成的方程组：由=ax+b去分母得+bx-k=0，它的实数根就是交点的横坐标。判别式可以判断交点个数，根与系数的关系可以处理两交点横坐标的和与积。比较两个函数值的大小时，看同一个x对应的两图象谁在上方，分界点是交点横坐标和0（双曲线在x=0处断开）。例如y=x+2与y=的交点是A(1，3)和B(-3，-1)，由图可知，当x<-3或0<x<1时，双曲线在直线上方。 =ax+b⇒+bx-k=0 直线在双曲线上方⇔一次函数值较大 知识点　12　用反比例函数解决实际问题 当一个量保持不变、另外两个量的乘积等于它时，这两个量成反比例关系，如：路程一定时，时间t与速度v满足t=；压力一定时，压强p与受力面积S满足p=；工作总量一定时，工作时间与工作效率成反比例。解题步骤：先确定变量，由已知一组数据求k，再写出表达式并注明自变量取值范围，最后代入求值或利用增减性求范围。例如压力为600N时，p=，受力面积越大，压强越小。小提示：实际问题中自变量通常取正数，图象只画第一象限的一支。 t= p= 【题型1】直接开平方法与一元二次方程的概念 方程一边是含未知数的式子的平方、另一边是常数时，最快的办法是直接开平方：先把平方前的系数除掉，再看右边的正负，右边为正就写出“正、负”两个值。 例1　两个方程的一边都是某个式子的平方，用直接开平方法求出它们的实数根：(1) =49；(2) =18。 【分析】两个方程的一边都是含x的式子的平方，另一边是非负数，可以先把平方项的系数化成1，再直接开平方降次。 【解答】(1) 两边都除以4，得=。 开平方，得2x-3=或2x-3=。 解得x1=，x2=。 (2) 开平方，得5-x=或5-x=。 解得x1=5+，x2=5-。 【方法小结】形如=k的方程，先把系数a除掉，再看右边是否非负：非负就开平方得到两个一元一次方程，负数就没有实数根。开平方时“±”两个都要写。 题型1　变式：直接开平方法与一元二次方程的概念 三道变式依次练：开平方后按大小取根、由一个已知根反推另一个根、把双曲线上的点代入后得到可直接开平方的方程。 变式1　用直接开平方法解方程=16，求得的两个实数根里数值较大的那个是（　　）。 A． B．3 C． D． 变式2　已知方程=p的一个实数根是，那么p=________，这个方程的另一个实数根是________。 变式3　已知点A(a，2a)在双曲线y=上，并且点A在第三象限。求a的值和点A的坐标。 【题型2】配方降次与完全平方式求最值 配方法的核心是“二次项系数为1时，两边同加一次项系数一半的平方”。系数不是1的方程先整体除以二次项系数，再按移项、配方、开方三步走。 例1　先把方程写成=n的样子，再开平方求根：(1) -14x+40=0；(2) +6x-1=0。 【分析】(1) 二次项系数是1，移项后两边加上一次项系数一半的平方即可；(2) 二次项系数是2，先两边都除以2。 【解答】(1) 移项，得-14x=-40。 两边都加上，得-14x+49=9，即=9。 开平方，得x-7=±3，所以x1=10，x2=4。 (2) 两边都除以2，得+3x-=0，移项得+3x=。 两边都加上，得=。 开平方，得x+=±，所以x1=，x2=。 【方法小结】配方的关键一步是“两边同加一次项系数一半的平方”，前提是二次项系数为1；系数不为1时先除，不要只除左边的部分项。 题型2　变式：配方降次与完全平方式求最值 变式把配方用在三个地方：只求配方后右边的常数、用配方求代数式的最小值、解由双曲线上的点得到的方程。 变式1　把+10x-4=0的常数项移到右边，再在两边加上同一个数，使左边成为，这时右边的数是（　　）。 A．21 B．29 C．104 D．4 变式2　用配方法可知，代数式-6x+14的最小值是________，此时x=________。 变式3　已知双曲线y=经过点(n+6，n)。用配方法求n的值。 【题型3】求根公式解方程与判别式定范围 求根公式是解一元二次方程的通法，代入前一定先化成一般形式并算出b²-4ac；判别式的正负决定根的个数，反过来也能由根的情况求字母的范围。 例1　(1) 代入求根公式，求+2x-2=0的实数根；(2) 若-(2m-1)x++1=0（x为未知数）有两个不等的实根，求m的范围。 【分析】(1) 先确定a，b，c，算出-4ac再代入求根公式；(2) “两个不相等的实数根”⇔Δ>0，列出关于m的不等式。 【解答】(1) a=5，b=2，c=-2，-4ac=4+40=44>0。 x===，所以x1=，x2=。 (2) Δ=-+1)=-4m+1--4=-4m-3。 由题意-4m-3>0，解得m<。 【方法小结】公式法三步：化一般形式、算Δ、代公式；判别式题把“根的情况”翻译成Δ的符号，再解关于字母的不等式。 题型3　变式：求根公式解方程与判别式定范围 变式从三个角度用判别式：直接计算它的值、把“两个式子的值总不相等”转化为方程无实数根、由双曲线与直线的公共点个数列不等式。 变式1　对一元二次方程-3x-6=0计算-4ac，结果是（　　）。 A．-39 B．39 C．57 D．33 变式2　若对任意实数x，代数式-2x+m的值与2x-1的值都不相等，则m的取值范围是________。 变式3　若双曲线y=（k≠0）与直线y=x-5有两个公共点，求k的取值范围。 【题型4】因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 一边为0、另一边能分解成两个一次因式的积，就能一步降次。教材中的分解手段是提取公因式和平方差、完全平方公式；两边含相同因式时要移项提取，不能约去。 例1　(1) -=0与(2) x(x-5)=4(x-5)这两个方程都能化成“两个一次式的积等于0”的形式，求它们的实数根。 【分析】(1) 左边是两个式子的平方差，用平方差公式分解；(2) 两边都含因式(x-5)，移项后提公因式，不能两边同时约去x-5。 【解答】(1) 原方程可变形为(4x+1+3x)(4x+1-3x)=0，即(7x+1)(x+1)=0。 所以7x+1=0或x+1=0，得x1=-1，x2=。 (2) 移项，得x(x-5)-4(x-5)=0，提公因式得(x-5)(x-4)=0。 所以x-5=0或x-4=0，得x1=5，x2=4。 【方法小结】因式分解法先让一边为0，再把另一边分解成两个一次因式的积；两边有公因式时一律“移项—提取”，约去公因式会丢根。 题型4　变式：因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 三道变式分别是：左边为完全平方式的方程、先移项再提公因式的方程、由两点同在一条双曲线上得到的方程（注意k≠0的取舍）。 变式1　方程-+5=0的根是x1=x2=（　　）。 A． B．5 C． D． 变式2　把方程=7-x的右边移到左边后提取公因式，可求得它的两个根为________。 变式3　双曲线y=同时经过点A(a，a)和点B(2，5a)。求a和k的值。 【题型5】根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理把两根之和、两根之积直接写成系数的式子，求与两根有关的对称式时不必解方程；用之前先确认Δ≥0。 例1　设-7x+4=0的两根为s，t，借助s+t与s t的值，求：(1) s²+t²；(2) (2s-1)(2t-1)。 【分析】先由Δ确认方程有实数根，再写出两根之和与两根之积，把所求式子变形成只含和与积的式子。 【解答】Δ=49-32=17>0，方程有两个不相等的实数根，s+t=，s t=2。 (1) s²+t²=-2s t=-4=。 (2) (2s-1)(2t-1)=4s t-2(s+t)+1=8-7+1=2。 【方法小结】对称式的通法是“配成和与积”：平方和用完全平方公式转化，两个一次式的积先展开再整体代入。 题型5　变式：根与系数的关系（韦达定理） 变式练三类问题：整体代入求代数式的值、由一个根求另一个根和常数项、由交点横坐标的平方和反求双曲线的k。 变式1　已知a，b是一元二次方程-9x-3=0的两个实数根，则代数式2(a+b)+4ab的值为（　　）。 A． B． C． D．6 变式2　x=是方程-11x+c=0的一个根。用两根之和先求出另一个根________，再用两根之积求出常数c=________。 变式3　双曲线y=与直线y=-x+7相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1²+x2²=25。求k的值及两个交点的坐标。 【题型6】增长率与面积问题 增长率问题抓住“基数×＝末量”，面积问题抓住“剩余部分仍是规则图形”。解出的根要回到实际情境检验，负的增长率、超出范围的长度都要舍去。 例1　某县新能源汽车充电桩2023年底有400个，2025年底增加到529个。(1) 这两年里，充电桩数量平均每年增长的百分率是多少？(2) 2024年底该县有充电桩多少个？ 【分析】两年增长两次，末量＝初量×；第(2)问是2023年底的量增长一次。 【解答】(1) 设年平均增长率为x，根据题意得=529。 两边都除以400，得=1.3225，开平方得1+x=±1.15。 所以x1=0.15=15%，x2=-2.15（增长率不能为负，舍去）。 (2) 400×(1+15%)=460（个）。 答：平均每年增长15%，2024年底有充电桩460个。 【方法小结】增长率方程一般用直接开平方法解，得到的负根要结合实际舍去；中间某一年的量只乘一次(1+x)。 题型6　变式：增长率与面积问题 三道变式是：列出两次降价的方程、矩形展板四周贴边条后的面积、双曲线上一点与坐标轴围成矩形的周长。 变式1　某品牌扫地机器人在“双十一”前后连续两次下调价格，每台标价由2500元变为2116元，且两次下调的百分率相同。若把这个百分率记作x，能正确反映这一变化的方程是（　　）。 A．2500(1-2x)=2116 B．=2116 C．=2500 D．2500(1-=2116 变式2　学校宣传栏里有一块长40dm、宽25dm的矩形展板，沿展板四周贴一圈宽度都是x dm的彩色边条，边条以内留作展示区。若展示区的面积是450dm²，则x=________。 变式3　点P在双曲线y=（x>0）上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，矩形PMON的周长是20。求点P的坐标。 【题型7】销售利润与动点问题 利润问题先写“单件利润”和“销量”两个含未知数的式子再相乘；两个根都合理时，按“让利顾客”“销量更大”这类附加条件取舍。 例1　一家果汁店的鲜榨橙汁每杯成本7元。当每杯卖15元时，一天能卖出50杯；每杯每便宜0.5元，一天就能多卖出10杯。店长打算降价促销，并希望每天从橙汁上赚到520元，同时尽可能让顾客得到实惠。每杯橙汁应卖多少元？ 【分析】利润＝每杯利润×日销量。设每杯降价x元，每杯利润是(15-7-x)元；降价x元相当于下调了2x个0.5元，日销量增加20x杯。 【解答】设每杯降价x元，根据题意得(8-x)(50+20x)=520。 整理得-110x+120=0，即-11x+12=0。 用公式法：Δ=121-96=25，x=，所以x1=4，x2=1.5。 要让顾客得到实惠，降价越多越好，取x=4，售价为15-4=11（元）。 答：每杯橙汁应卖11元。 【方法小结】利润题先写“单件利润”和“销量”两个含x的式子再相乘；两个根都合题意时，按“让利顾客”“减少库存”等附加条件取舍。 题型7　变式：销售利润与动点问题 变式包括：直角三角形边上两个动点围成的三角形面积、由售价与日销量的关系求售价、坐标系中随时间变化的线段长度。 变式1　如图，△ABC中∠ABC=90°，边AB长12cm，边BC长18cm。点P以每秒1cm的速度由B向A移动；同一时刻点Q以每秒2cm的速度由C向B移动，Q到达B时两点一起停下。当△PBQ的面积为20cm²时，两点已经移动了几秒？ 变式2　某水果店购进一种水果的成本为每千克6元，经测算，售价为每千克x元（6<x<24）时，日销量为(240-10x)kg。要使日利润达到720元且日销量尽可能大，售价应定为每千克________元。 变式3　点P从坐标原点O开始沿x轴向右匀速移动，每秒移动1个单位长度。过点P作x轴的垂线，分别交双曲线y=（x>0）于点Q，交直线y=x于点R。当运动时间为t s（t>0）时，线段QR的长为2。求t的值。 【题型8】反比例函数的概念与图象所在象限 反比例函数由一对对应值确定；k的符号决定双曲线在哪两个象限。含字母的k先由象限得到不等式，再由已知点列方程，求出的值要回代检验。 例1　对反比例函数y=来说，自变量取任何正数，得到的函数值都大于0。(1) 求m的取值范围；(2) 点(m，m+1)恰好落在这个函数的图象上，确定m以及函数的表达式。 【分析】x>0时y>0，说明图象有一支在第一象限，两支分别在第一、三象限，即k>0；点在图象上⇔点的坐标满足xy=k，由此得到关于m的一元二次方程，解出后检验(1)中的范围。 【解答】(1) 由题意3-m>0，解得m<3。 (2) 由k=xy，得3-m=m(m+1)，整理得+2m-3=0。 配方得=4，所以m1=1，m2=-3，两个值都满足m<3。 当m=1时，k=3-1=2，函数表达式为y=；当m=-3时，k=3+3=6，函数表达式为y=。 【方法小结】“象限定符号，点定数值”：先用象限写出k的不等式，再用点的坐标列方程，解出的字母必须回到不等式里检验。 题型8　变式：反比例函数的概念与图象所在象限 三道变式是：从四个等式中认出反比例函数、由一点求k并判断象限、由一对对应值列出关于字母的一元二次方程。 变式1　下面每个等式都含有变量x和y，只有一个等式里y是x的反比例函数，这个等式是（　　）。 A．y= B．y= C．xy= D．x+y=4 变式2　反比例函数y=的图象经过点(1.5，-6)，则k=________，它的图象位于第________象限。 变式3　已知y=是反比例函数，并且当x=4时，y=6。求m的值与这个函数的表达式。 【题型9】k的几何意义与图形面积 双曲线上任一点向两轴作垂线，围成的矩形面积是|k|，与原点连成的直角三角形面积是|k|的一半；由面积求k时，符号要看双曲线所在的象限。 例1　如图，点A在反比例函数y=的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，△AOB的面积为3.5，图象的一支在第二象限。(1) 求k的值；(2) 若点A的纵坐标为2，求点A的坐标。 【分析】△AOB的面积等于|k|/2，先得|k|，再由图象所在象限定k的符号。 【解答】(1) 设A(a，b)，则OB=|a|，AB=|b|，△AOB的面积为|a|·|b|÷2=|k|÷2=3.5，所以|k|=7。 图象在第二、四象限，k<0，所以k=-7。 (2) 把y=2代入y=，得2=，解得x=-3.5，所以A(-3.5，2)。 【方法小结】先由面积得|k|，再看象限定符号，两步都不能少；反过来，已知k求面积时直接取|k|或|k|/2。 题型9　变式：k的几何意义与图形面积 变式把面积关系放进三种图形：顶点在坐标轴上的三角形、给出三角形面积求点的坐标、两条双曲线之间的三角形。 变式1　如图，点A在双曲线y=上，AC⊥y轴于点C，点B是x轴上任意一点，连接AB，BC，则△ABC的面积是（　　）。 A．16 B．8 C．32 D．4 变式2　点P(m，m+3)在双曲线y=（k>0）位于第一象限的一支上，过点P作PA⊥x轴于点A，△POA的面积为5，则m=________。 变式3　如图，点P在双曲线y=（x>0）上，PA⊥x轴于点A，PA交双曲线y=（x>0）于点C，连接OP，OC。(1) 求△POC的面积；(2) 若点P的横坐标为1.5，求PC的长。 【题型10】反比例函数的增减性与比较大小 比较函数值或求取值范围，先看两点是否在同一象限：同一象限内用增减性，不在同一象限时先看函数值的正负。求范围时算出端点处的函数值，再由增减性定方向。 例1　某反比例函数y=在x=4时的函数值为-2.5，它的图象如图所示。(1) 当1≤x≤5时，求y的取值范围；(2) 当x>0且y<-5时，求x的取值范围。 【分析】先求k，再用“k<0时每个象限内y随x的增大而增大”，端点处的函数值就是范围的边界。 【解答】k=4×(-2.5)=-10，函数表达式为y=。 (1) 当x=1时y=-10，当x=5时y=-2。k<0，在第四象限内y随x的增大而增大，所以-10≤y≤-2。 (2) 当y=-5时，=-5，解得x=2。在第四象限内y随x的增大而增大，y<-5对应的是x<2的部分，又x>0，所以0<x<2。 【方法小结】求取值范围：算出端点值，再由增减性决定方向；注意x=0处图象断开，范围不能跨过0。 题型10　变式：反比例函数的增减性与比较大小 三道变式分别是：三个点的函数值排序、两点分居y轴两侧时比较大小、先由判别式求出k再比较函数值。 变式1　点(-5，a)，(-3，b)，(6，c)都在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　）。 A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 变式2　若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y=的图象上，且x1<0<x2，则y1________y2（填“>”“<”或“=”）。 变式3　已知关于x的一元二次方程-4x+m=0有两个相等的实数根，点(-2，y1)，(3，y2)在反比例函数y=的图象上。求m的值，并比较y1与y2的大小。 【题型11】反比例函数与一次函数的综合 直线与双曲线的交点坐标就是两个表达式组成的方程组的解，消去y后得到一元二次方程；求三角形面积时，常用直线与坐标轴的交点把图形分成两个底在坐标轴上的三角形。 例1　如图，直线y=2x-2经过双曲线y=上的点A(2，a)，并与双曲线在第三象限相交于点B。(1) 求k的值及点B的坐标；(2) 求△AOB的面积。 【分析】点A同时在两个图象上，先用直线求a，再求k；联立两个表达式得到一元二次方程，另一个根就是点B的横坐标。△AOB的面积用直线与y轴的交点把它分成两块。 【解答】(1) 把x=2代入y=2x-2，得a=2，所以A(2，2)，k=2×2=4。 联立=2x-2，整理得-x-2=0，配方得=，x1=2，x2=-1。 当x=-1时，y=2×(-1)-2=-4，所以B(-1，-4)。 (2) 直线y=2x-2与y轴交于点C(0，-2)，OC=2。 △AOB的面积＝△AOC的面积＋△BOC的面积＝2×2÷2+2×1÷2=3。 【方法小结】交点坐标＝方程组的解；求“斜三角形”面积时，用坐标轴上的交点把它分成两个底在坐标轴上的三角形。 题型11　变式：反比例函数与一次函数的综合 变式练三种综合方式：由图象比较两个函数值的大小、利用中心对称写出另一个交点、用两交点横坐标之和求直线的表达式。 变式1　如图，直线y=-x+9与双曲线y=交于(2，7)，(7，2)两点，则使-x+9>成立的x的取值范围是（　　）。 A．x<0或2<x<7 B．2<x<7 C．x>7 D．0<x<2或x>7 变式2　过原点的直线y=mx与双曲线y=有两个交点，其中一个是A(-4，3)，则k=________，另一个交点B的坐标为________。 变式3　直线y=x+b与双曲线y=的两个交点的横坐标分别是x1，x2，且x1+x2=-1。求b的值及两个交点的坐标。 【题型12】用反比例函数解决实际问题 实际问题中找“保持不变的量”：两个变量的积等于它，就建立反比例函数模型。求“至少”“至多”时先求临界值，再用增减性判断不等号的方向。 例1　给一个储油罐注满油，所需时间t（单位：h）与每小时注油量v（单位：m³/h）之间的函数图象如图所示，图象经过点(8，30)。(1) 求t关于v的函数表达式；(2) 若要求在6h内（含6h）注满，每小时注油量至少为多少？ 【分析】储油罐的容积不变，t与v的乘积是定值，t是v的反比例函数。 【解答】(1) 设t=，把v=8，t=30代入，得k=8×30=240，所以t=（v>0）。 (2) 当t=6时，v=240÷6=40。 k>0，在第一象限内t随v的增大而减小，要使t≤6，需v≥40。 答：每小时注油量至少为40m³。 【方法小结】“至少”“至多”类问题，先求出临界值，再由增减性判断不等号的方向。 题型12　变式：用反比例函数解决实际问题 三道变式来自菱形面积、啮合齿轮的转速、护栏工程提前完工三个情境，最后一题要解分式方程并检验。 变式1　一个菱形的面积为24cm²，它的两条对角线长分别为x cm和y cm，则y关于x的函数表达式是y=________。 变式2　两个互相啮合的齿轮，转速n（单位：转/min）与齿数z成反比例。一个齿轮有40个齿时转速为90转/min，与它啮合的另一个齿轮有24个齿，则后者的转速为（　　）。 A．54转/min B．106转/min C．150转/min D．225转/min 变式3　某道路改造工程要安装1200m长的护栏，原计划每天安装x m，完成任务需要t天。(1) 用含x的式子表示天数t；(2) 实际施工时每天比原计划多安装20m，结果提前5天完成，求原计划每天安装多少米。 　易错专练 下面7题对应期中卷上最常见的失分点：含字母系数时忽略方程的次数、构成三角形的边长漏分类、用韦达定理前不验判别式、跨象限用增减性、由面积求k漏符号、两边约去含未知数的因式、忽略二次项系数不为0。每题先看错误示例，再对照错因与正解。 1．等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是关于x的方程-12x+m=0的两个根，则m的值是（　　）。 A．35 B．36 C．35或36 D．30 2．若-14x+48=0的两根分别等于直角三角形中两条边的长度，则第三条边长________。 3．方程-2mx++m-6=0（m为常数）的两个实数根分别平方后相加，结果是124。求m。 4．在函数y=中，x=-3对应的函数值记为y1，x=7对应的函数值记为y2，那么y1________y2（填“>”或“<”）。 5．点P在反比例函数y=的图象上，PQ⊥x轴于点Q，△POQ的面积为6.5，且该函数图象的一支位于第二象限，则k=________。 6．解方程：x(x-3)=x。 7．方程(2m-6)+x+-9=0是关于x的一元二次方程，把x=0代入后等式成立，则m=________。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖两章必会的基本功：一般形式与系数、反比例函数求值、判别式、增减性、开平方与配方、公式法、韦达定理的直接应用，以及由一点求反比例函数的表达式。 1．方程3x(x-2)=5-整理成+bx+c=0（a>0）的形式后，b的值是（　　）。 A．-6 B．6 C．-5 D．4 2．点(-2，m)落在双曲线y=上，m的值等于（　　）。 A．-13 B．52 C．-52 D．13 3．对于方程-+1=0，它的根的判别式与根的情况分别是（　　）。 A．Δ=24，有两个不相等的实数根 B．Δ=-24，没有实数根 C．Δ=0，有两个相等的实数根 D．Δ=0，没有实数根 4．若双曲线y=的每一支都是从左往右下降的，则k可以取下面的（　　）。 A．1 B．2 C．3 D．5 5．对方程=16两边开平方，得到的两个根是________。 6．把x=-2代入方程+5x+c=0的左边，左边的值恰好为0，由此求得c=________，方程的另一个根是________。 7．一个反比例函数图象上某点的横坐标是-4、纵坐标是-5.5，这个函数的表达式是________；当x=11时，y=________。 8．设x1，x2是方程+9x-2=0的两个根，则1/x1+1/x2=________。 9．两个方程各用一种指定的方法求出实数根：(1) -8x+6=0（配方法）；(2) +3x-4=0（公式法）。 10．反比例函数的图象过点(3，-9)。(1) 写出它的表达式；(2) 当自变量x满足-9≤x≤-3时，函数值y在什么范围内变化？ 　课后作业（二）能力进阶 下面10题需要把知识点串起来用：对称式求值、双曲线上两点的坐标、判别式为0、增长率、增减性定字母范围、体积模型、选择解法、含字母方程的证明与求值、直线与双曲线围成的三角形面积，以及带附加条件的利润问题。 11．方程-6x-4=0的两根记为α，β，则α²β+αβ²的值是（　　）。 A．24 B．-24 C．2 D．44 12．纵坐标为7的点A(a，7)和横坐标为5的点B(5，b)都落在双曲线y=上，a+b等于（　　）。 A．12 B．2 C．-12 D．35 13．方程-4x+3k+1=0的判别式的值为0，k的值是________，方程的两个相等实根都是________。 14．某网店5月份的销售额为50万元，7月份的销售额为56.18万元，则这两个月销售额的月平均增长率是________。 15．反比例函数y=的图象上有两点(1，y1)，(3，y2)，且y1<y2，则m的取值范围是________。 16．一个长方体水箱的容积为6m³，它的底面积S（单位：m²）与高h（单位：m）之间的函数表达式为h=________；当S=2.4时，h=________。 17．根据方程的特点选择解法：(1) =3(5-2x)；(2) x(x+4)=3。 18．方程+(1-2m)x+-m=0中，m是常数。(1) 写出Δ关于m的式子并化简，据此证明无论m为何值方程均有两个相异实根；(2) 若这个方程的一个根恰好是另一个根的2倍，求m的值。 19．如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于C，D两点，与双曲线y=（x>0）交于A，B两点（点A在点B的左侧）。(1) 求A，B两点的坐标；(2) 求△AOB的面积。 20．一家书店以每本25元的成本进了一批练字帖。定价每本35元时，每月能卖出600本；定价每上调1元，月销量相应少20本。书店希望这种练字帖每月获利7500元，并且月销量不少于400本，定价应为每本多少元？ 　课后作业（三）拓展延伸 下面7题综合程度更高：含字母方程的根与系数、矩形中的双曲线、交点坐标满足的平方关系、靠墙围栏、三年累计增长、双曲线上两点与原点围成的三角形、由方程的根确定反比例函数。 21．已知关于x的方程-2(k+1)x++2=0有两个实数根x1，x2，且(x1-1)(x2-1)=8，求k的值。 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=12，OC=4。OB的中点D在反比例函数y=（x>0）的图象上，这个图象还与边AB相交于点E、与边BC相交于点F。(1) 求k的值及E，F两点的坐标；(2) 求△OEF的面积。 23．直线y=x+3与双曲线y=相交，其中一个交点为A(m，n)，且+=29。求k的值。 24．如图，用长32m的篱笆围一个矩形鸡舍，鸡舍一面靠墙（墙长12m），中间用一道与墙垂直的篱笆隔成两间。若鸡舍的总面积为64m²，求鸡舍垂直于墙的一边的长。 25．某社区图书室第一年购书2000册，以后每年购书量的增长率相同，三年共购书6620册。求每年购书量的平均增长率。 26．反比例函数y=的图象上有两点A(2，12)，B(8，3)，O为坐标原点。(1) 求直线AB的函数表达式；(2) 求△AOB的面积。 27．方程-11x+28=0的两个根分别是点P的横坐标和纵坐标（横坐标小于纵坐标），反比例函数y=的图象经过点P。(1) 求k的值；(2) 直线OP与这个反比例函数的图象还有另一个交点Q，求点Q的坐标。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·九年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共82题）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册 苏科版（2024年版）九年级数学上册　期中复习　第1章 一元二次方程　第2章 反比例函数 含 12 个考点例题　/　共 82 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 27）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能把一元二次方程化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）并读出各项系数；会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解方程，能按方程特点选最简便的方法。 2．会用Δ=b²-4ac判断根的情况并由根的情况求字母范围；会用x1+x2=，x1x2=求x1²+x2²，1/x1+1/x2等对称式的值，并回代检验Δ≥0。 3．会列一元二次方程解决平均增长（降低）率、长方形面积、销售利润、动点这四类问题，并按实际意义取舍根。 4．能由一对对应值求反比例函数y=的表达式，由k的符号判断双曲线所在象限和每个象限内的增减性；会用|k|求矩形、三角形面积，会求双曲线与直线的交点，会用反比例函数解决路程、工程、压强类实际问题。 学习重难点 重点：一元二次方程的四种解法与根的判别式、根与系数的关系；增长率、面积、利润、动点四类应用题的等量关系；反比例函数的图象与性质、k的几何意义、与一次函数的交点。 难点：含字母系数的方程要先看二次项系数是否为0；用韦达定理前必须保证Δ≥0；两边有公因式时不能约去；增减性只在每一个象限内成立，两点分属两支时先看函数值的正负；由面积求k要结合象限确定符号。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　一元二次方程的概念与一般形式 2 知识点 02　直接开平方法与配方法 3 知识点 03　公式法与根的判别式 3 知识点 04　因式分解法 3 知识点 05　根与系数的关系（韦达定理） 4 知识点 06　用一元二次方程解决问题 4 知识点 07　反比例函数的概念 4 知识点 08　反比例函数的图象：双曲线 5 知识点 09　反比例函数的增减性 5 知识点 10　k的几何意义 6 知识点 11　反比例函数与一次函数的交点 6 知识点 12　用反比例函数解决实际问题 7 考点 1　直接开平方法与一元二次方程的概念 7 考点 2　配方降次与完全平方式求最值 8 考点 3　求根公式解方程与判别式定范围 9 考点 4　因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 10 考点 5　根与系数的关系（韦达定理） 10 考点 6　增长率与面积问题 11 考点 7　销售利润与动点问题 12 考点 8　反比例函数的概念与图象所在象限 13 考点 9　k的几何意义与图形面积 14 考点 10　反比例函数的增减性与比较大小 15 考点 11　反比例函数与一次函数的综合 16 考点 12　用反比例函数解决实际问题 18 易错专练 19 课后作业（一）基础巩固 19 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 参考答案与解析 22 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　一元二次方程的概念与一般形式 只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。任何一个一元二次方程经过去括号、移项、合并同类项，都能化成一般形式+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中，bx，c分别叫作二次项、一次项和常数项，a，b分别叫作二次项系数、一次项系数。判断时要先整理再看：例如(3x+2)(x-1)=+7整理后是-x-9=0，二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-9。小提示：系数连同前面的符号一起读；“a≠0”是一元二次方程的身份条件，含字母系数时必须单独写出。 +bx+c=0（a≠0） 整理顺序：去括号、移项、合并同类项 知识点　02　直接开平方法与配方法 根据平方根的意义，方程=p（p≥0）的根是x=±；形如=k的方程，当k≥0时，x=-h±，当k<0时方程没有实数根。把一元二次方程变形成=n的形式再开平方的方法叫作配方法，步骤是：二次项系数化为1，常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，最后开平方。例如+12x-13=0，移项得+12x=13，两边加36得=49，所以x1=1，x2=-13。小提示：两边要同时加，漏加右边是配方中最常见的错误。 =k（k≥0）⇒x=-h± +px+= 知识点　03　公式法与根的判别式 一元二次方程+bx+c=0（a≠0），当-4ac≥0时，它的根是x=，这个式子叫作求根公式，把a，b，c的值直接代入求根公式求根的方法称为公式法。式子-4ac叫作根的判别式，用“Δ”表示：Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时没有实数根。例如-5x-4=0中Δ=25+48=73>0，方程有两个不相等的实数根。小提示：先化成一般形式再读a，b，c，符号一并带入。 x=（-4ac≥0） Δ=-4ac 知识点　04　因式分解法 当一元二次方程的一边是0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，就把它转化成两个一元一次方程，这种解法叫作因式分解法。常用的分解方式是提公因式和乘法公式（平方差、完全平方）。例如-9x=0可化为x(x-9)=0，得x1=0，x2=9。小提示：方程两边含有相同的含未知数的因式时，不能直接约去，要移项后提公因式，否则会丢根。 A·B=0⇒A=0或B=0 -=(a+b)(a-b) 知识点　05　根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，这一关系也称为韦达定理。它可以在不解方程的情况下求出与两根有关的对称式的值，如x1²+x2²=-2x1x2。例如+2x-8=0的两个根是2和-4：=-2恰好等于2+(-4)，=-8恰好等于2×(-4)。小提示：使用前提是方程有实数根，含字母时求出字母后必须回代检验Δ≥0。 x1+x2= x1x2= 知识点　06　用一元二次方程解决问题 列一元二次方程解应用题的一般步骤是：审题、设未知数、找等量关系列方程、解方程、检验并作答。常见模型有三类：①平均增长（降低）率：原量为a，平均每次增长率为x，两次后的量b=（降低时为）；②面积问题：抓住“图形面积＝长×宽”，剪去、平移后的部分用含x的式子表示；③利润问题：总利润＝单件利润×销售量，售价变化引起销量变化。例如某厂产量两年内由100万件增加到121万件，设年平均增长率为x，则=121，=1.21，1+x=±1.1，得x=10%或x=-2.1，增长率不能为-210%，x=-2.1舍去。小提示：解出的两个根都要检验，负的增长率、超过墙长的边长、不在运动时间内的时间都要舍去。 b= 总利润=单件利润×销售量 知识点　07　反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x和y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么称y是x的反比例函数，它也可以写成y=（k≠0）的形式，其中k是常数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。确定反比例函数只需要一对对应值：例如已知当x=3时y=4，则k=3×4=12，函数表达式为y=。判断两个量是否成反比例，就看它们的乘积是否是一个不为0的定值，例如面积为45的矩形，长x与宽y满足xy=45。小提示：y=中分母是x的一次单项式，y=以及分母是x的平方的式子都不是反比例函数。 y=（k≠0） k=xy 知识点　08　反比例函数的图象：双曲线 反比例函数y=（k≠0）的图象由两支曲线组成，称为双曲线。两支曲线关于原点成中心对称；k>0时两支分别位于第一、三象限，k<0时两支分别位于第二、四象限。双曲线与两条坐标轴都没有公共点，两支曲线无限接近坐标轴但永不相交。画图用列表、描点、连线，自变量取值要关于0对称地选取，连线用平滑曲线。小提示：若点(a，b)在双曲线上，则点(-a，-b)一定也在这条双曲线上；|k|越大，双曲线离原点越远。 k>0：第一、三象限 k<0：第二、四象限 知识点　09　反比例函数的增减性 在每一个象限内，y的变化趋势由k的符号决定：k>0时y随x的增大而减小，k<0时y随x的增大而增大。增减性只在同一象限（同一支）内成立，两个点分别在两支上时，要先看函数值的符号。比较函数值大小有三种方法：代入求值、利用增减性、看图象的高低。例如点A(-1，y1)，B(2，y2)在y=上，y1=3>0，y2=-1.5<0，所以y1>y2。小提示：不能说“反比例函数y随x的增大而减小”，必须加上“在每一个象限内”。 k>0：每支下降 k<0：每支上升 知识点　10　k的几何意义 过双曲线y=上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，则矩形PMON的面积等于|k|；连接OP，则△OPM的面积等于|k|/2。这两个面积与点P的位置无关，是不变的。由面积反求k时先得|k|，再由双曲线所在的象限确定k的符号。例如点P(2.5，4)在y=上，矩形PMON的面积为2.5×4=10，△OPM的面积为5。反过来，只要知道这样的矩形或三角形的面积，就能求出|k|。小提示：面积为正，k可正可负，别漏掉看象限。 S矩形PMON=|k| S△OPM=|k|/2 知识点　11　反比例函数与一次函数的交点 求双曲线y=与直线y=ax+b的交点，就是解由两个表达式组成的方程组：由=ax+b去分母得+bx-k=0，它的实数根就是交点的横坐标。判别式可以判断交点个数，根与系数的关系可以处理两交点横坐标的和与积。比较两个函数值的大小时，看同一个x对应的两图象谁在上方，分界点是交点横坐标和0（双曲线在x=0处断开）。例如y=x+2与y=的交点是A(1，3)和B(-3，-1)，由图可知，当x<-3或0<x<1时，双曲线在直线上方。 =ax+b⇒+bx-k=0 直线在双曲线上方⇔一次函数值较大 知识点　12　用反比例函数解决实际问题 当一个量保持不变、另外两个量的乘积等于它时，这两个量成反比例关系，如：路程一定时，时间t与速度v满足t=；压力一定时，压强p与受力面积S满足p=；工作总量一定时，工作时间与工作效率成反比例。解题步骤：先确定变量，由已知一组数据求k，再写出表达式并注明自变量取值范围，最后代入求值或利用增减性求范围。例如压力为600N时，p=，受力面积越大，压强越小。小提示：实际问题中自变量通常取正数，图象只画第一象限的一支。 t= p= 【题型1】直接开平方法与一元二次方程的概念 方程一边是含未知数的式子的平方、另一边是常数时，最快的办法是直接开平方：先把平方前的系数除掉，再看右边的正负，右边为正就写出“正、负”两个值。 例1　两个方程的一边都是某个式子的平方，用直接开平方法求出它们的实数根：(1) =49；(2) =18。 【分析】两个方程的一边都是含x的式子的平方，另一边是非负数，可以先把平方项的系数化成1，再直接开平方降次。 【解答】(1) 两边都除以4，得=。 开平方，得2x-3=或2x-3=。 解得x1=，x2=。 (2) 开平方，得5-x=或5-x=。 解得x1=5+，x2=5-。 【方法小结】形如=k的方程，先把系数a除掉，再看右边是否非负：非负就开平方得到两个一元一次方程，负数就没有实数根。开平方时“±”两个都要写。 题型1　变式：直接开平方法与一元二次方程的概念 三道变式依次练：开平方后按大小取根、由一个已知根反推另一个根、把双曲线上的点代入后得到可直接开平方的方程。 变式1　用直接开平方法解方程=16，求得的两个实数根里数值较大的那个是（　　）。 A． B．3 C． D． 变式2　已知方程=p的一个实数根是，那么p=________，这个方程的另一个实数根是________。 变式3　已知点A(a，2a)在双曲线y=上，并且点A在第三象限。求a的值和点A的坐标。 【题型2】配方降次与完全平方式求最值 配方法的核心是“二次项系数为1时，两边同加一次项系数一半的平方”。系数不是1的方程先整体除以二次项系数，再按移项、配方、开方三步走。 例1　先把方程写成=n的样子，再开平方求根：(1) -14x+40=0；(2) +6x-1=0。 【分析】(1) 二次项系数是1，移项后两边加上一次项系数一半的平方即可；(2) 二次项系数是2，先两边都除以2。 【解答】(1) 移项，得-14x=-40。 两边都加上，得-14x+49=9，即=9。 开平方，得x-7=±3，所以x1=10，x2=4。 (2) 两边都除以2，得+3x-=0，移项得+3x=。 两边都加上，得=。 开平方，得x+=±，所以x1=，x2=。 【方法小结】配方的关键一步是“两边同加一次项系数一半的平方”，前提是二次项系数为1；系数不为1时先除，不要只除左边的部分项。 题型2　变式：配方降次与完全平方式求最值 变式把配方用在三个地方：只求配方后右边的常数、用配方求代数式的最小值、解由双曲线上的点得到的方程。 变式1　把+10x-4=0的常数项移到右边，再在两边加上同一个数，使左边成为，这时右边的数是（　　）。 A．21 B．29 C．104 D．4 变式2　用配方法可知，代数式-6x+14的最小值是________，此时x=________。 变式3　已知双曲线y=经过点(n+6，n)。用配方法求n的值。 【题型3】求根公式解方程与判别式定范围 求根公式是解一元二次方程的通法，代入前一定先化成一般形式并算出b²-4ac；判别式的正负决定根的个数，反过来也能由根的情况求字母的范围。 例1　(1) 代入求根公式，求+2x-2=0的实数根；(2) 若-(2m-1)x++1=0（x为未知数）有两个不等的实根，求m的范围。 【分析】(1) 先确定a，b，c，算出-4ac再代入求根公式；(2) “两个不相等的实数根”⇔Δ>0，列出关于m的不等式。 【解答】(1) a=5，b=2，c=-2，-4ac=4+40=44>0。 x===，所以x1=，x2=。 (2) Δ=-+1)=-4m+1--4=-4m-3。 由题意-4m-3>0，解得m<。 【方法小结】公式法三步：化一般形式、算Δ、代公式；判别式题把“根的情况”翻译成Δ的符号，再解关于字母的不等式。 题型3　变式：求根公式解方程与判别式定范围 变式从三个角度用判别式：直接计算它的值、把“两个式子的值总不相等”转化为方程无实数根、由双曲线与直线的公共点个数列不等式。 变式1　对一元二次方程-3x-6=0计算-4ac，结果是（　　）。 A．-39 B．39 C．57 D．33 变式2　若对任意实数x，代数式-2x+m的值与2x-1的值都不相等，则m的取值范围是________。 变式3　若双曲线y=（k≠0）与直线y=x-5有两个公共点，求k的取值范围。 【题型4】因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 一边为0、另一边能分解成两个一次因式的积，就能一步降次。教材中的分解手段是提取公因式和平方差、完全平方公式；两边含相同因式时要移项提取，不能约去。 例1　(1) -=0与(2) x(x-5)=4(x-5)这两个方程都能化成“两个一次式的积等于0”的形式，求它们的实数根。 【分析】(1) 左边是两个式子的平方差，用平方差公式分解；(2) 两边都含因式(x-5)，移项后提公因式，不能两边同时约去x-5。 【解答】(1) 原方程可变形为(4x+1+3x)(4x+1-3x)=0，即(7x+1)(x+1)=0。 所以7x+1=0或x+1=0，得x1=-1，x2=。 (2) 移项，得x(x-5)-4(x-5)=0，提公因式得(x-5)(x-4)=0。 所以x-5=0或x-4=0，得x1=5，x2=4。 【方法小结】因式分解法先让一边为0，再把另一边分解成两个一次因式的积；两边有公因式时一律“移项—提取”，约去公因式会丢根。 题型4　变式：因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 三道变式分别是：左边为完全平方式的方程、先移项再提公因式的方程、由两点同在一条双曲线上得到的方程（注意k≠0的取舍）。 变式1　方程-+5=0的根是x1=x2=（　　）。 A． B．5 C． D． 变式2　把方程=7-x的右边移到左边后提取公因式，可求得它的两个根为________。 变式3　双曲线y=同时经过点A(a，a)和点B(2，5a)。求a和k的值。 【题型5】根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理把两根之和、两根之积直接写成系数的式子，求与两根有关的对称式时不必解方程；用之前先确认Δ≥0。 例1　设-7x+4=0的两根为s，t，借助s+t与s t的值，求：(1) s²+t²；(2) (2s-1)(2t-1)。 【分析】先由Δ确认方程有实数根，再写出两根之和与两根之积，把所求式子变形成只含和与积的式子。 【解答】Δ=49-32=17>0，方程有两个不相等的实数根，s+t=，s t=2。 (1) s²+t²=-2s t=-4=。 (2) (2s-1)(2t-1)=4s t-2(s+t)+1=8-7+1=2。 【方法小结】对称式的通法是“配成和与积”：平方和用完全平方公式转化，两个一次式的积先展开再整体代入。 题型5　变式：根与系数的关系（韦达定理） 变式练三类问题：整体代入求代数式的值、由一个根求另一个根和常数项、由交点横坐标的平方和反求双曲线的k。 变式1　已知a，b是一元二次方程-9x-3=0的两个实数根，则代数式2(a+b)+4ab的值为（　　）。 A． B． C． D．6 变式2　x=是方程-11x+c=0的一个根。用两根之和先求出另一个根________，再用两根之积求出常数c=________。 变式3　双曲线y=与直线y=-x+7相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1²+x2²=25。求k的值及两个交点的坐标。 【题型6】增长率与面积问题 增长率问题抓住“基数×＝末量”，面积问题抓住“剩余部分仍是规则图形”。解出的根要回到实际情境检验，负的增长率、超出范围的长度都要舍去。 例1　某县新能源汽车充电桩2023年底有400个，2025年底增加到529个。(1) 这两年里，充电桩数量平均每年增长的百分率是多少？(2) 2024年底该县有充电桩多少个？ 【分析】两年增长两次，末量＝初量×；第(2)问是2023年底的量增长一次。 【解答】(1) 设年平均增长率为x，根据题意得=529。 两边都除以400，得=1.3225，开平方得1+x=±1.15。 所以x1=0.15=15%，x2=-2.15（增长率不能为负，舍去）。 (2) 400×(1+15%)=460（个）。 答：平均每年增长15%，2024年底有充电桩460个。 【方法小结】增长率方程一般用直接开平方法解，得到的负根要结合实际舍去；中间某一年的量只乘一次(1+x)。 题型6　变式：增长率与面积问题 三道变式是：列出两次降价的方程、矩形展板四周贴边条后的面积、双曲线上一点与坐标轴围成矩形的周长。 变式1　某品牌扫地机器人在“双十一”前后连续两次下调价格，每台标价由2500元变为2116元，且两次下调的百分率相同。若把这个百分率记作x，能正确反映这一变化的方程是（　　）。 A．2500(1-2x)=2116 B．=2116 C．=2500 D．2500(1-=2116 变式2　学校宣传栏里有一块长40dm、宽25dm的矩形展板，沿展板四周贴一圈宽度都是x dm的彩色边条，边条以内留作展示区。若展示区的面积是450dm²，则x=________。 变式3　点P在双曲线y=（x>0）上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，矩形PMON的周长是20。求点P的坐标。 【题型7】销售利润与动点问题 利润问题先写“单件利润”和“销量”两个含未知数的式子再相乘；两个根都合理时，按“让利顾客”“销量更大”这类附加条件取舍。 例1　一家果汁店的鲜榨橙汁每杯成本7元。当每杯卖15元时，一天能卖出50杯；每杯每便宜0.5元，一天就能多卖出10杯。店长打算降价促销，并希望每天从橙汁上赚到520元，同时尽可能让顾客得到实惠。每杯橙汁应卖多少元？ 【分析】利润＝每杯利润×日销量。设每杯降价x元，每杯利润是(15-7-x)元；降价x元相当于下调了2x个0.5元，日销量增加20x杯。 【解答】设每杯降价x元，根据题意得(8-x)(50+20x)=520。 整理得-110x+120=0，即-11x+12=0。 用公式法：Δ=121-96=25，x=，所以x1=4，x2=1.5。 要让顾客得到实惠，降价越多越好，取x=4，售价为15-4=11（元）。 答：每杯橙汁应卖11元。 【方法小结】利润题先写“单件利润”和“销量”两个含x的式子再相乘；两个根都合题意时，按“让利顾客”“减少库存”等附加条件取舍。 题型7　变式：销售利润与动点问题 变式包括：直角三角形边上两个动点围成的三角形面积、由售价与日销量的关系求售价、坐标系中随时间变化的线段长度。 变式1　如图，△ABC中∠ABC=90°，边AB长12cm，边BC长18cm。点P以每秒1cm的速度由B向A移动；同一时刻点Q以每秒2cm的速度由C向B移动，Q到达B时两点一起停下。当△PBQ的面积为20cm²时，两点已经移动了几秒？ 变式2　某水果店购进一种水果的成本为每千克6元，经测算，售价为每千克x元（6<x<24）时，日销量为(240-10x)kg。要使日利润达到720元且日销量尽可能大，售价应定为每千克________元。 变式3　点P从坐标原点O开始沿x轴向右匀速移动，每秒移动1个单位长度。过点P作x轴的垂线，分别交双曲线y=（x>0）于点Q，交直线y=x于点R。当运动时间为t s（t>0）时，线段QR的长为2。求t的值。 【题型8】反比例函数的概念与图象所在象限 反比例函数由一对对应值确定；k的符号决定双曲线在哪两个象限。含字母的k先由象限得到不等式，再由已知点列方程，求出的值要回代检验。 例1　对反比例函数y=来说，自变量取任何正数，得到的函数值都大于0。(1) 求m的取值范围；(2) 点(m，m+1)恰好落在这个函数的图象上，确定m以及函数的表达式。 【分析】x>0时y>0，说明图象有一支在第一象限，两支分别在第一、三象限，即k>0；点在图象上⇔点的坐标满足xy=k，由此得到关于m的一元二次方程，解出后检验(1)中的范围。 【解答】(1) 由题意3-m>0，解得m<3。 (2) 由k=xy，得3-m=m(m+1)，整理得+2m-3=0。 配方得=4，所以m1=1，m2=-3，两个值都满足m<3。 当m=1时，k=3-1=2，函数表达式为y=；当m=-3时，k=3+3=6，函数表达式为y=。 【方法小结】“象限定符号，点定数值”：先用象限写出k的不等式，再用点的坐标列方程，解出的字母必须回到不等式里检验。 题型8　变式：反比例函数的概念与图象所在象限 三道变式是：从四个等式中认出反比例函数、由一点求k并判断象限、由一对对应值列出关于字母的一元二次方程。 变式1　下面每个等式都含有变量x和y，只有一个等式里y是x的反比例函数，这个等式是（　　）。 A．y= B．y= C．xy= D．x+y=4 变式2　反比例函数y=的图象经过点(1.5，-6)，则k=________，它的图象位于第________象限。 变式3　已知y=是反比例函数，并且当x=4时，y=6。求m的值与这个函数的表达式。 【题型9】k的几何意义与图形面积 双曲线上任一点向两轴作垂线，围成的矩形面积是|k|，与原点连成的直角三角形面积是|k|的一半；由面积求k时，符号要看双曲线所在的象限。 例1　如图，点A在反比例函数y=的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，△AOB的面积为3.5，图象的一支在第二象限。(1) 求k的值；(2) 若点A的纵坐标为2，求点A的坐标。 【分析】△AOB的面积等于|k|/2，先得|k|，再由图象所在象限定k的符号。 【解答】(1) 设A(a，b)，则OB=|a|，AB=|b|，△AOB的面积为|a|·|b|÷2=|k|÷2=3.5，所以|k|=7。 图象在第二、四象限，k<0，所以k=-7。 (2) 把y=2代入y=，得2=，解得x=-3.5，所以A(-3.5，2)。 【方法小结】先由面积得|k|，再看象限定符号，两步都不能少；反过来，已知k求面积时直接取|k|或|k|/2。 题型9　变式：k的几何意义与图形面积 变式把面积关系放进三种图形：顶点在坐标轴上的三角形、给出三角形面积求点的坐标、两条双曲线之间的三角形。 变式1　如图，点A在双曲线y=上，AC⊥y轴于点C，点B是x轴上任意一点，连接AB，BC，则△ABC的面积是（　　）。 A．16 B．8 C．32 D．4 变式2　点P(m，m+3)在双曲线y=（k>0）位于第一象限的一支上，过点P作PA⊥x轴于点A，△POA的面积为5，则m=________。 变式3　如图，点P在双曲线y=（x>0）上，PA⊥x轴于点A，PA交双曲线y=（x>0）于点C，连接OP，OC。(1) 求△POC的面积；(2) 若点P的横坐标为1.5，求PC的长。 【题型10】反比例函数的增减性与比较大小 比较函数值或求取值范围，先看两点是否在同一象限：同一象限内用增减性，不在同一象限时先看函数值的正负。求范围时算出端点处的函数值，再由增减性定方向。 例1　某反比例函数y=在x=4时的函数值为-2.5，它的图象如图所示。(1) 当1≤x≤5时，求y的取值范围；(2) 当x>0且y<-5时，求x的取值范围。 【分析】先求k，再用“k<0时每个象限内y随x的增大而增大”，端点处的函数值就是范围的边界。 【解答】k=4×(-2.5)=-10，函数表达式为y=。 (1) 当x=1时y=-10，当x=5时y=-2。k<0，在第四象限内y随x的增大而增大，所以-10≤y≤-2。 (2) 当y=-5时，=-5，解得x=2。在第四象限内y随x的增大而增大，y<-5对应的是x<2的部分，又x>0，所以0<x<2。 【方法小结】求取值范围：算出端点值，再由增减性决定方向；注意x=0处图象断开，范围不能跨过0。 题型10　变式：反比例函数的增减性与比较大小 三道变式分别是：三个点的函数值排序、两点分居y轴两侧时比较大小、先由判别式求出k再比较函数值。 变式1　点(-5，a)，(-3，b)，(6，c)都在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　）。 A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 变式2　若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y=的图象上，且x1<0<x2，则y1________y2（填“>”“<”或“=”）。 变式3　已知关于x的一元二次方程-4x+m=0有两个相等的实数根，点(-2，y1)，(3，y2)在反比例函数y=的图象上。求m的值，并比较y1与y2的大小。 【题型11】反比例函数与一次函数的综合 直线与双曲线的交点坐标就是两个表达式组成的方程组的解，消去y后得到一元二次方程；求三角形面积时，常用直线与坐标轴的交点把图形分成两个底在坐标轴上的三角形。 例1　如图，直线y=2x-2经过双曲线y=上的点A(2，a)，并与双曲线在第三象限相交于点B。(1) 求k的值及点B的坐标；(2) 求△AOB的面积。 【分析】点A同时在两个图象上，先用直线求a，再求k；联立两个表达式得到一元二次方程，另一个根就是点B的横坐标。△AOB的面积用直线与y轴的交点把它分成两块。 【解答】(1) 把x=2代入y=2x-2，得a=2，所以A(2，2)，k=2×2=4。 联立=2x-2，整理得-x-2=0，配方得=，x1=2，x2=-1。 当x=-1时，y=2×(-1)-2=-4，所以B(-1，-4)。 (2) 直线y=2x-2与y轴交于点C(0，-2)，OC=2。 △AOB的面积＝△AOC的面积＋△BOC的面积＝2×2÷2+2×1÷2=3。 【方法小结】交点坐标＝方程组的解；求“斜三角形”面积时，用坐标轴上的交点把它分成两个底在坐标轴上的三角形。 题型11　变式：反比例函数与一次函数的综合 变式练三种综合方式：由图象比较两个函数值的大小、利用中心对称写出另一个交点、用两交点横坐标之和求直线的表达式。 变式1　如图，直线y=-x+9与双曲线y=交于(2，7)，(7，2)两点，则使-x+9>成立的x的取值范围是（　　）。 A．x<0或2<x<7 B．2<x<7 C．x>7 D．0<x<2或x>7 变式2　过原点的直线y=mx与双曲线y=有两个交点，其中一个是A(-4，3)，则k=________，另一个交点B的坐标为________。 变式3　直线y=x+b与双曲线y=的两个交点的横坐标分别是x1，x2，且x1+x2=-1。求b的值及两个交点的坐标。 【题型12】用反比例函数解决实际问题 实际问题中找“保持不变的量”：两个变量的积等于它，就建立反比例函数模型。求“至少”“至多”时先求临界值，再用增减性判断不等号的方向。 例1　给一个储油罐注满油，所需时间t（单位：h）与每小时注油量v（单位：m³/h）之间的函数图象如图所示，图象经过点(8，30)。(1) 求t关于v的函数表达式；(2) 若要求在6h内（含6h）注满，每小时注油量至少为多少？ 【分析】储油罐的容积不变，t与v的乘积是定值，t是v的反比例函数。 【解答】(1) 设t=，把v=8，t=30代入，得k=8×30=240，所以t=（v>0）。 (2) 当t=6时，v=240÷6=40。 k>0，在第一象限内t随v的增大而减小，要使t≤6，需v≥40。 答：每小时注油量至少为40m³。 【方法小结】“至少”“至多”类问题，先求出临界值，再由增减性判断不等号的方向。 题型12　变式：用反比例函数解决实际问题 三道变式来自菱形面积、啮合齿轮的转速、护栏工程提前完工三个情境，最后一题要解分式方程并检验。 变式1　一个菱形的面积为24cm²，它的两条对角线长分别为x cm和y cm，则y关于x的函数表达式是y=________。 变式2　两个互相啮合的齿轮，转速n（单位：转/min）与齿数z成反比例。一个齿轮有40个齿时转速为90转/min，与它啮合的另一个齿轮有24个齿，则后者的转速为（　　）。 A．54转/min B．106转/min C．150转/min D．225转/min 变式3　某道路改造工程要安装1200m长的护栏，原计划每天安装x m，完成任务需要t天。(1) 用含x的式子表示天数t；(2) 实际施工时每天比原计划多安装20m，结果提前5天完成，求原计划每天安装多少米。 　易错专练 下面7题对应期中卷上最常见的失分点：含字母系数时忽略方程的次数、构成三角形的边长漏分类、用韦达定理前不验判别式、跨象限用增减性、由面积求k漏符号、两边约去含未知数的因式、忽略二次项系数不为0。每题先看错误示例，再对照错因与正解。 1．等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是关于x的方程-12x+m=0的两个根，则m的值是（　　）。 A．35 B．36 C．35或36 D．30 2．若-14x+48=0的两根分别等于直角三角形中两条边的长度，则第三条边长________。 3．方程-2mx++m-6=0（m为常数）的两个实数根分别平方后相加，结果是124。求m。 4．在函数y=中，x=-3对应的函数值记为y1，x=7对应的函数值记为y2，那么y1________y2（填“>”或“<”）。 5．点P在反比例函数y=的图象上，PQ⊥x轴于点Q，△POQ的面积为6.5，且该函数图象的一支位于第二象限，则k=________。 6．解方程：x(x-3)=x。 7．方程(2m-6)+x+-9=0是关于x的一元二次方程，把x=0代入后等式成立，则m=________。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖两章必会的基本功：一般形式与系数、反比例函数求值、判别式、增减性、开平方与配方、公式法、韦达定理的直接应用，以及由一点求反比例函数的表达式。 1．方程3x(x-2)=5-整理成+bx+c=0（a>0）的形式后，b的值是（　　）。 A．-6 B．6 C．-5 D．4 2．点(-2，m)落在双曲线y=上，m的值等于（　　）。 A．-13 B．52 C．-52 D．13 3．对于方程-+1=0，它的根的判别式与根的情况分别是（　　）。 A．Δ=24，有两个不相等的实数根 B．Δ=-24，没有实数根 C．Δ=0，有两个相等的实数根 D．Δ=0，没有实数根 4．若双曲线y=的每一支都是从左往右下降的，则k可以取下面的（　　）。 A．1 B．2 C．3 D．5 5．对方程=16两边开平方，得到的两个根是________。 6．把x=-2代入方程+5x+c=0的左边，左边的值恰好为0，由此求得c=________，方程的另一个根是________。 7．一个反比例函数图象上某点的横坐标是-4、纵坐标是-5.5，这个函数的表达式是________；当x=11时，y=________。 8．设x1，x2是方程+9x-2=0的两个根，则1/x1+1/x2=________。 9．两个方程各用一种指定的方法求出实数根：(1) -8x+6=0（配方法）；(2) +3x-4=0（公式法）。 10．反比例函数的图象过点(3，-9)。(1) 写出它的表达式；(2) 当自变量x满足-9≤x≤-3时，函数值y在什么范围内变化？ 　课后作业（二）能力进阶 下面10题需要把知识点串起来用：对称式求值、双曲线上两点的坐标、判别式为0、增长率、增减性定字母范围、体积模型、选择解法、含字母方程的证明与求值、直线与双曲线围成的三角形面积，以及带附加条件的利润问题。 11．方程-6x-4=0的两根记为α，β，则α²β+αβ²的值是（　　）。 A．24 B．-24 C．2 D．44 12．纵坐标为7的点A(a，7)和横坐标为5的点B(5，b)都落在双曲线y=上，a+b等于（　　）。 A．12 B．2 C．-12 D．35 13．方程-4x+3k+1=0的判别式的值为0，k的值是________，方程的两个相等实根都是________。 14．某网店5月份的销售额为50万元，7月份的销售额为56.18万元，则这两个月销售额的月平均增长率是________。 15．反比例函数y=的图象上有两点(1，y1)，(3，y2)，且y1<y2，则m的取值范围是________。 16．一个长方体水箱的容积为6m³，它的底面积S（单位：m²）与高h（单位：m）之间的函数表达式为h=________；当S=2.4时，h=________。 17．根据方程的特点选择解法：(1) =3(5-2x)；(2) x(x+4)=3。 18．方程+(1-2m)x+-m=0中，m是常数。(1) 写出Δ关于m的式子并化简，据此证明无论m为何值方程均有两个相异实根；(2) 若这个方程的一个根恰好是另一个根的2倍，求m的值。 19．如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于C，D两点，与双曲线y=（x>0）交于A，B两点（点A在点B的左侧）。(1) 求A，B两点的坐标；(2) 求△AOB的面积。 20．一家书店以每本25元的成本进了一批练字帖。定价每本35元时，每月能卖出600本；定价每上调1元，月销量相应少20本。书店希望这种练字帖每月获利7500元，并且月销量不少于400本，定价应为每本多少元？ 　课后作业（三）拓展延伸 下面7题综合程度更高：含字母方程的根与系数、矩形中的双曲线、交点坐标满足的平方关系、靠墙围栏、三年累计增长、双曲线上两点与原点围成的三角形、由方程的根确定反比例函数。 21．已知关于x的方程-2(k+1)x++2=0有两个实数根x1，x2，且(x1-1)(x2-1)=8，求k的值。 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=12，OC=4。OB的中点D在反比例函数y=（x>0）的图象上，这个图象还与边AB相交于点E、与边BC相交于点F。(1) 求k的值及E，F两点的坐标；(2) 求△OEF的面积。 23．直线y=x+3与双曲线y=相交，其中一个交点为A(m，n)，且+=29。求k的值。 24．如图，用长32m的篱笆围一个矩形鸡舍，鸡舍一面靠墙（墙长12m），中间用一道与墙垂直的篱笆隔成两间。若鸡舍的总面积为64m²，求鸡舍垂直于墙的一边的长。 25．某社区图书室第一年购书2000册，以后每年购书量的增长率相同，三年共购书6620册。求每年购书量的平均增长率。 26．反比例函数y=的图象上有两点A(2，12)，B(8，3)，O为坐标原点。(1) 求直线AB的函数表达式；(2) 求△AOB的面积。 27．方程-11x+28=0的两个根分别是点P的横坐标和纵坐标（横坐标小于纵坐标），反比例函数y=的图象经过点P。(1) 求k的值；(2) 直线OP与这个反比例函数的图象还有另一个交点Q，求点Q的坐标。 　参考答案与解析 　题型1　变式：直接开平方法与一元二次方程的概念 变式1　【答案】A 【解析】两边都除以9，得=，开平方得x+1=±，所以x1=，x2=，较大的根是，选A。 B：两边没有先除以9，由x+1=4得，按此错法真算得3；C：移项时符号出错，写成x=1+，按此错法真算得；D：开平方后忘了把1移到右边，按此错法真算得。 变式2　【答案】12； 【解析】把x=代入=p，得p==12。 由平方根的意义，方程=12的两个根互为相反数，所以另一个根是。 变式3　【答案】a=-3，A(-3，-6) 【解析】把点A(a，2a)的坐标代入y=，得2a=，去分母得=18，即=9。 直接开平方，得a=3或a=-3。 点A在第三象限，横坐标小于0，所以a=-3，2a=-6。 答：a=-3，点A的坐标为(-3，-6)。 　题型2　变式：配方降次与完全平方式求最值 变式1　【答案】B 【解析】移项，得+10x=4；两边都加上=25，得=29，所以右边的数是29，选B。 A：移项时常数项没有变号，右边写成-4再加25，按此错法真算得21；C：两边加的是一次项系数的平方100，按此错法真算得104；D：左边加了25而右边忘了加，按此错法真算得4。 变式2　【答案】5；3 【解析】-6x+14=-6x+9+5=+5。 因为≥0，所以+5≥5，当x=3时取等号，最小值是5。 变式3　【答案】n1=-3+，n2=-3- 【解析】把点(n+6，n)代入y=，得n=，去分母得n(n+6)=5，即+6n=5。 两边都加上，得=14。 开平方，得n+3=±，所以n1=-3+，n2=-3-。 检验：两个值都使n+6≠0，都符合题意。 　题型3　变式：求根公式解方程与判别式定范围 变式1　【答案】C 【解析】a=2，b=-3，c=-6，Δ=-4ac=-4×2×(-6)=9+48=57，选C。 A：把-4ac中c的符号带错，算成9-48，按此错法真算得-39；B：把算成-9，按此错法真算得39；D：4ac漏乘a=2，算成9+24，按此错法真算得33。 变式2　【答案】m>3 【解析】两个代数式的值相等时，-2x+m=2x-1，即-4x+m+1=0。 “值总不相等”说明这个方程没有实数根，所以Δ=16-4(m+1)<0，解得m>3。 变式3　【答案】k>且k≠0 【解析】联立y=与y=x-5，得=x-5，去分母整理得-5x-k=0。 两图象有两个公共点，说明这个方程有两个不相等的实数根（且都不为0），所以Δ=25+4k>0，解得k>。 又k≠0（k=0时方程的一个根是0，且y=不是反比例函数），所以k>且k≠0。 　题型4　变式：因式分解法：提取公因式与套用乘法公式 变式1　【答案】D 【解析】左边是完全平方式，原方程可化为=0，所以x1=x2=，选D。 A：配成=0，符号写反，按此错法真算得；B：把常数项5当成根，按此错法真算得5；C：只看了一次项系数的绝对值，按此错法真算得。 变式2　【答案】x1=7，x2=6 【解析】移项，得+(x-7)=0，提公因式得(x-7)(x-7+1)=0，即(x-7)(x-6)=0。 所以x1=7，x2=6。 变式3　【答案】a=10，k=100 【解析】两点都在y=上，所以k=a·a=2×5a，即=10a。 移项并提公因式，得a(a-10)=0，所以a=0或a=10。 当a=0时，k=0，不符合反比例函数中k≠0的要求，舍去；所以a=10，k=10×10=100。 　题型5　变式：根与系数的关系（韦达定理） 变式1　【答案】A 【解析】Δ=81+48>0，a+b=，ab=。 2(a+b)+4ab=-3=，选A。 B：把两根之和算成，代入得2×+4×，按此错法真算得；C：把两根之积算成，代入得2×+4×，按此错法真算得；D：求和与积时都没有除以4，代入得2×9+4×(-3)，按此错法真算得6。 变式2　【答案】3；6 【解析】设另一个根为t，由两根之和得+t=，所以t=3。 由两根之积得×3=，所以c=6。 变式3　【答案】k=12，交点为(3，4)和(4，3) 【解析】联立得=-x+7，整理得-7x+k=0，x1，x2是它的两个根，所以x1+x2=7，x1x2=k。 x1²+x2²=-2x1x2=49-2k=25，解得k=12。 检验：此时Δ=49-48=1>0，方程为-7x+12=0，用公式法得x=，即x=3或x=4。 对应的y=-x+7分别为4和3，两个交点的坐标是(3，4)和(4，3)。 　题型6　变式：增长率与面积问题 变式1　【答案】B 【解析】第一次下调后是2500(1-x)元，第二次在此基础上再下调，是元，所以=2116，选B。解得x=8%。 A：把两次下调看成一次降了2x；C：把下调后的价格当成起点，方向反了；D：把错写成1-。 变式2　【答案】5 【解析】展示区仍是矩形，长为(40-2x)dm，宽为(25-2x)dm，所以(40-2x)(25-2x)=450。 整理得-65x+275=0，Δ=4225-2200=2025，x=，所以x1=27.5，x2=5。 展示区的宽25-2x>0，所以x<12.5，x=27.5舍去，x=5。 变式3　【答案】P(3，7)或P(7，3) 【解析】设点P的横坐标为x（x>0），则纵坐标为。 矩形PMON的周长为2(x+=20，即x+=10，去分母得-10x+21=0。 用公式法：Δ=100-84=16，x=，所以x=7或x=3。 当x=3时=7；当x=7时=3。所以点P的坐标为(3，7)或(7，3)。 　题型7　变式：销售利润与动点问题 变式1　【答案】4s或5s 【解析】设移动了t s，则BP=t cm，CQ=2t cm，BQ=(18-2t)cm，其中0≤t≤9。 由∠ABC=90°得△PBQ的面积为BP·BQ÷2，所以t(18-2t)÷2=20，即-9t+20=0。 Δ=81-80=1，t=，所以t1=4，t2=5。 两个值都在0≤t≤9内，都符合题意。 答：两点移动了4s或5s。 变式2　【答案】12 【解析】根据题意得(x-6)(240-10x)=720，整理得-30x+216=0。 Δ=900-864=36，x=，所以x1=18，x2=12。 售价越低日销量越大，所以售价定为每千克12元。 变式3　【答案】t=3或t=5 【解析】t s时点P的横坐标是t，所以Q(t，，R(t，t)，QR=|t-。 情况一：t-=2，去分母得-2t-15=0，Δ=4+60=64，t=，取正值t=5。 情况二：-t=2，去分母得+2t-15=0，Δ=4+60=64，t=，取正值t=3。 所以t=3或t=5。 　题型8　变式：反比例函数的概念与图象所在象限 变式1　【答案】C 【解析】xy=可以写成y=，其中k=≠0，所以y是x的反比例函数，选C。 A：是正比例函数y=；B：分母是x-1，y与x-1成反比例，不是y与x成反比例；D：变形为y=4-x，是一次函数。 变式2　【答案】-9；二、四 【解析】k=xy=1.5×(-6)=-9。 k<0，所以图象的两支分别位于第二、四象限。 变式3　【答案】m=4或m=-6，y= 【解析】把x=4，y=6代入，得+2m=4×6=24，即+2m-24=0。 配方得=25，所以m+1=±5，m1=4，m2=-6。 两个值都使+2m=24≠0，都符合要求，函数表达式为y=。 　题型9　变式：k的几何意义与图形面积 变式1　【答案】B 【解析】△ABC以AC为底，底边AC上的高等于点C到x轴的距离OC。 所以△ABC的面积＝AC·OC÷2，而AC·OC等于点A的横、纵坐标之积的绝对值，即|k|=16，所以面积为8，选B。 A：把△ABC的面积当成矩形的面积|k|，按此错法真算得16；C：把|k|又乘了2，按此错法真算得32；D：把|k|除以了4，按此错法真算得4。 变式2　【答案】2 【解析】△POA的面积为|k|/2=5，k>0，所以k=10。 于是m(m+3)=10，即+3m-10=0，Δ=9+40=49，m=，得m=2或m=-5。 点P在第一象限，m>0，所以m=2。 变式3　【答案】(1) 2.5；(2) 【解析】(1) △POA的面积为9÷2=4.5，△COA的面积为4÷2=2。 △POC的面积＝△POA的面积－△COA的面积＝4.5-2=2.5。 (2) 当x=1.5时，点P的纵坐标为9÷1.5=6，点C的纵坐标为4÷1.5=。 PC=6-=。 　题型10　变式：反比例函数的增减性与比较大小 变式1　【答案】D 【解析】代入得a=30÷(-5)=-6，b=30÷(-3)=-10，c=30÷6=5。 所以b<a<c，选D。也可以用性质：c>0，a<0，b<0；k>0时第三象限内y随x的增大而减小，-5<-3，所以a>b。 A：以为第三象限内y随x增大而增大，把a，b的顺序排反；B：把k>0当成了k<0来判断；C：只看横坐标绝对值的大小来排。 变式2　【答案】> 【解析】k=-5<0，图象在第二、四象限。x1<0，点A在第二象限，y1>0；x2>0，点B在第四象限，y2<0。 所以y1>y2。 变式3　【答案】m=4，y1>y2 【解析】方程有两个相等的实数根，所以Δ=16-4m=0，得m=4。 此时反比例函数为y=，y1=-1÷(-2)=，y2=-1÷3=。 >，所以y1>y2。 　题型11　变式：反比例函数与一次函数的综合 变式1　【答案】A 【解析】直线在双曲线上方的部分对应的x满足-x+9>。 由图象，在第一象限内2<x<7时直线在上方；当x<0时，<0，而直线对应的y=-x+9>0，直线也在上方。所以x<0或2<x<7，选A。 B：漏掉了第三象限：x<0时双曲线在x轴下方，直线在它上方；C：误以为交点(7，2)右边的部分满足条件，实际那里直线在双曲线下方；D：把直线与双曲线的上下位置看反了。 变式2　【答案】-12；(4，-3) 【解析】k=(-4)×3=-12。 双曲线与过原点的直线都关于原点成中心对称，所以两个交点关于原点对称，B(4，-3)。 变式3　【答案】b=1，交点为(4，5)和(-5，-4) 【解析】联立=x+b，整理得+bx-20=0，x1，x2是它的两个根。 由根与系数的关系，x1+x2=-b=-1，所以b=1。 此时方程为+x-20=0，Δ=1+80=81，x=，所以x=4或x=-5。 对应y=x+1分别为5和-4，两个交点的坐标是(4，5)和(-5，-4)。 　题型12　变式：用反比例函数解决实际问题 变式1　【答案】（x>0） 【解析】菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，所以xy÷2=24，即xy=48，y=（x>0）。 变式2　【答案】C 【解析】k=nz=90×40=3600，所以n=。 当z=24时，n=3600÷24=150，选C。 A：误当成正比例，按90×24÷40，按此错法真算得54转/min；B：以为转速增加量等于齿数的减少量，按90+16，按此错法真算得106转/min；D：用齿数之差去除，按90×40÷16，按此错法真算得225转/min。 变式3　【答案】(1) t=（x>0）；(2) 60m 【解析】(1) 护栏总长一定，t=（x>0）。 (2) 实际每天安装(x+20)m，用时天，由题意得-=5。 去分母，得1200(x+20)-1200x=5x(x+20)，整理得+20x-4800=0。 配方得=4900，x+10=±70，所以x1=60，x2=-80。 检验：x=60时x(x+20)≠0，是原方程的解，且符合实际；x=-80不合题意，舍去。 答：原计划每天安装60m。 　易错专练 1．【答案】C 【解析】【错解】把5当作腰，代入得25-60+m=0，m=35。（错误示例） 【错因】题目没有说明5是腰还是底，只讨论了一种情形，漏掉了5为底、另两边相等的情形。 【正解】若5为腰，则5是方程的根，25-60+m=0，m=35，此时另一根为7，三边为5，5，7，能构成三角形；若5为底，则两根相等，Δ=144-4m=0，m=36，此时两根都是6，三边为5，6，6，能构成三角形。所以m=35或36，选C。 A、B：各只考虑了一种情形；D：把两根之和12与另一个量混淆后乱凑。 2．【答案】10或 【解析】【错解】解得两根为6和8，第三边为=10。（错误示例） 【错因】默认6和8都是直角边，漏掉了8是斜边的情况。 【正解】-14x+48=0，Δ=196-192=4，x=，得x1=8，x2=6。 当6，8都是直角边时，第三边为=10；当8是斜边时，第三边为==。所以第三边长为10或。 3．【答案】m=-7 【解析】【错解】x1+x2=2m，x1x2=+m-6，由-2x1x2=124得-2m-112=0，所以m=8或m=-7。（错误示例） 【错因】用根与系数的关系前没有保证方程有实数根，漏了Δ≥0的检验。 【正解】Δ=-+m-6)=-4m+24≥0，得m≤6。 由-2m-112=0，即-m-56=0，Δ=1+224=225，m=，得m=8或m=-7。m=8不满足m≤6，舍去，所以m=-7。 4．【答案】> 【解析】【错解】k<0时y随x的增大而增大，-3<7，所以y1<y2。（错误示例） 【错因】增减性只在每一个象限内成立，这两个点分别在第二、四象限，不能直接用增减性比较。 【正解】y1=-21÷(-3)=7，y2=-21÷7=-3，所以y1>y2。 5．【答案】-13 【解析】【错解】△POQ的面积是，所以k=2×6.5=13。（错误示例） 【错因】面积只能确定|k|，没有结合图象所在的象限确定k的符号。 【正解】|k|/2=6.5，|k|=13；图象有一支在第二象限，k<0，所以k=-13。 6．【答案】x1=0，x2=4 【解析】【错解】两边同时除以x，得x-3=1，所以x=4。（错误示例） 【错因】x可能等于0，两边同除以含未知数的式子会丢掉x=0这个根。 【正解】移项，得x(x-3)-x=0，提公因式得x(x-4)=0，所以x1=0，x2=4。 7．【答案】-3 【解析】【错解】把x=0代入得-9=0，所以m=3或m=-3。（错误示例） 【错因】忽略了一元二次方程的二次项系数不能为0，m=3时二次项系数2m-6=0。 【正解】由-9=0得m=±3，又2m-6≠0，所以m=-3。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】去括号得-6x=5-，移项合并得-6x-5=0，一次项系数是-6，选A。 B：把一次项系数的符号丢了，按此错法真算得6；C：把常数项当成一次项系数，按此错法真算得-5；D：把二次项系数当成一次项系数，按此错法真算得4。 2．【答案】D 【解析】m=-26÷(-2)=13，选D。 A：代入时把x=-2的负号丢了，按此错法真算得-13；B：把除法算成了乘法，按此错法真算得52；C：既算成乘法又丢了负号，按此错法真算得-52。 3．【答案】C 【解析】a=3，b=，c=1，Δ=-4×3×1=12-12=0，方程有两个相等的实数根，选C。 A：把-4ac算成+4ac，得12+12=24；B：把算成-12，得-12-12=-24；D：Δ=0时方程有两个相等的实数根，不是没有实数根。 4．【答案】D 【解析】由题意k-3>0，得k>3，四个选项中只有5满足，选D。 A：1-3<0，y随x的增大而增大；B：2-3<0，y随x的增大而增大；C：k-3=0，不是反比例函数。 5．【答案】x1=3，x2=-5 【解析】开平方得x+1=±4，所以x1=3，x2=-5。 6．【答案】6；-3 【解析】由4-10+c=0，得c=6。 此时方程为+5x+6=0，由两根之和为-5，得另一个根为-5-(-2)=-3。 7．【答案】y=；2 【解析】k=(-4)×(-5.5)=22，所以y=。 当x=11时，y=22÷11=2。 8．【答案】 【解析】Δ=81+8>0，x1+x2=-9，x1x2=-2。 1/x1+1/x2==(-9)÷(-2)=。 9．【答案】(1) x1=4+，x2=4-；(2) x1=，x2= 【解析】(1) 移项得-8x=-6，两边加16得=10，所以x1=4+，x2=4-。 (2) a=2，b=3，c=-4，-4ac=9+32=41>0，x=，所以x1=，x2=。 10．【答案】(1) y=；(2) 3≤y≤9 【解析】(1) 设y=，k=3×(-9)=-27，所以y=。 (2) 当x=-9时，y=-27÷(-9)=3；当x=-3时，y=-27÷(-3)=9。 k<0，在第二象限内y随x的增大而增大，所以3≤y≤9。 　课后作业（二）能力进阶 11．【答案】B 【解析】α+β=6，αβ=-4，α²β+αβ²=αβ(α+β)=-4×6=-24，选B。 A：把两根之积的符号取成正，按此错法真算得24；C：把积与和相乘算成相加，按此错法真算得2；D：算成了α²+β²，按此错法真算得44。 12．【答案】C 【解析】a=-35÷7=-5，b=-35÷5=-7，a+b=-12，选C。 A：代入时把k的负号丢了，按此错法真算得12；B：把b的符号算错，按此错法真算得2；D：把a+b算成了a·b，按此错法真算得35。 13．【答案】1；2 【解析】Δ=16-4(3k+1)=12-12k=0，解得k=1。 此时方程为-4x+4=0，即=0，两个相等的实根都是2。 14．【答案】6% 【解析】设月平均增长率为x，则=56.18，=1.1236，1+x=±1.06。 x1=0.06=6%，x2=-2.06（舍去）。 15．【答案】m> 【解析】两点的横坐标都是正数，在同一个象限内；1<3且y1<y2，说明在这个象限内y随x的增大而增大，所以1-2m<0，解得m>。 16．【答案】（S>0）；2.5 【解析】容积＝底面积×高，所以S h=6，h=（S>0）。 当S=2.4时，h=6÷2.4=2.5。 17．【答案】(1) x1=，x2=1；(2) x1=-2+，x2=-2- 【解析】(1) 移项得+3(2x-5)=0，提公因式得(2x-5)(2x-5+3)=0，即(2x-5)(2x-2)=0，所以x1=，x2=1。 (2) 去括号得+4x=3，两边加4得=7，所以x1=-2+，x2=-2-。 18．【答案】(1) 证明见解析；(2) m=2或m=-1 【解析】(1) Δ=--m)=1-4m+-+4m=1>0，所以方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由求根公式，x=，两根为m和m-1。 若m=2(m-1)，则m=2，此时两根为2和1；若m-1=2m，则m=-1，此时两根为-1和-2。 所以m=2或m=-1。 19．【答案】(1) A(1，7)，B(7，1)；(2) 24 【解析】(1) 联立=-x+8，整理得-8x+7=0，配方得=9，x1=1，x2=7，所以A(1，7)，B(7，1)。 (2) C(8，0)，D(0，8)，△COD的面积为8×8÷2=32。 △AOD的面积为8×1÷2=4，△BOC的面积为8×1÷2=4，所以△AOB的面积＝32-4-4=24。 20．【答案】40元 【解析】设定价上调x元，每本利润为(10+x)元，月销量为(600-20x)本。 由题意得(10+x)(600-20x)=7500，整理得-20x+75=0。 Δ=400-300=100，x=，所以x1=15，x2=5。 x=15时月销量为300本，少于400本，不合要求；x=5时月销量为500本，符合要求。 答：定价应为每本40元。 　课后作业（三）拓展延伸 21．【答案】k=1+ 【解析】方程有两个实数根，Δ=-+2)=8k-4≥0，所以k≥。 x1+x2=2(k+1)，x1x2=+2。 (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+2-2k-2+1=-2k+1=8，即=8。 所以k=1+或k=1-。1-<，舍去，所以k=1+。 22．【答案】(1) k=12，E(12，1)，F(3，4)；(2) 22.5 【解析】(1) B(12，4)，D是OB的中点，D(6，2)，所以k=6×2=12。 点E在AB上，横坐标为12，纵坐标为12÷12=1，E(12，1)；点F在BC上，纵坐标为4，横坐标为12÷4=3，F(3，4)。 (2) △OEF的面积＝矩形面积－△OAE的面积－△OCF的面积－△BEF的面积。 =12×4-12×1÷2-4×3÷2-(12-3)×(4-1)÷2=48-6-6-13.5=22.5。 23．【答案】k=10 【解析】点A在直线上，n=m+3，代入+=29，得+=29，整理得+3m-10=0。 Δ=9+40=49，m=，所以m=2或m=-5。 当m=2时n=5，k=mn=10；当m=-5时n=-2，k=mn=10。所以k=10。 24．【答案】8m 【解析】设垂直于墙的一边长为x m，三道垂直于墙的篱笆共3x m，平行于墙的一边长为(32-3x)m。 由题意得x(32-3x)=64，整理得-32x+64=0。 Δ=1024-768=256，x=，所以x1=8，x2=。 当x=8时，32-3x=8≤12，符合题意；当x=时，32-3x=24>12，超过墙长，舍去。 答：鸡舍垂直于墙的一边长为8m。 25．【答案】10% 【解析】设平均增长率为x，第二年购书2000(1+x)册，第三年购书册。 由题意得2000+2000(1+x)+=6620。 设1+x=y，整理得+y-2.31=0，Δ=1+9.24=10.24，y=，所以y1=1.1，y2=-2.1（舍去）。 1+x=1.1，x=0.1=10%。 答：每年购书量的平均增长率为10%。 26．【答案】(1) y=-1.5x+15；(2) 45 【解析】(1) 设直线AB为y=ax+b，则2a+b=12，8a+b=3，解得a=-1.5，b=15，所以y=-1.5x+15。 (2) 过A，B分别作x轴的垂线，垂足为M(2，0)，N(8，0)。△AOM与△BON的面积都等于24÷2=12。 △AOB的面积＝△AOM的面积＋梯形AMNB的面积－△BON的面积＝梯形AMNB的面积＝(12+3)×(8-2)÷2=45。 27．【答案】(1) k=28；(2) Q(-4，-7) 【解析】(1) Δ=121-112=9，x=，两根为4和7，所以P(4，7)，k=4×7=28。 (2) 双曲线与过原点的直线都关于原点成中心对称，两个交点关于原点对称，所以Q(-4，-7)。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $