专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，掌握直接开平方、配方、公式、因式分解四种解法 · 会用根的判别式判断根的情况，能由根的情况求参数，灵活运用根与系数的关系 · 掌握反比例函数的概念、图象与性质，理解比例系数k的几何意义并解决综合问题 · 掌握圆的垂径定理、圆周角定理、点与圆及直线与圆的位置关系等基本性质 · 会计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积，能解决正多边形和圆的相关计算 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：形如(x+m)2=n（n≥0），两边开平方 配方法：化为(x+m)2=n的形式再开方；公式法用求根公式x= 因式分解法：把方程一边化为两个一次因式之积，分别为0求解 概念辨析例题：用因式分解法解方程 x2-5x+6=0 答案：x1=2，x2=3 解析：左边分解为(x-2)(x-3)=0，由x-2=0或x-3=0得两根 ☆ 2.根的判别式与根与系数的关系 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根 由根的情况求参数：根据Δ的符号列不等式，注意二次项系数不为0 韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1x2= 整体代入：求与两根有关的代数式时，用两根和与两根积整体代换 概念辨析例题：方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，求x1+x2与x1x2 答案：x1+x2=3，x1x2=-1 解析：由韦达定理，和=-=3，积==-1 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 反比例函数：y=（k≠0），自变量x≠0，图象为双曲线 k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在二、四象限，y随x增大而增大 k的几何意义：图象上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k| 求解析式：用待定系数法，已知一点坐标代入y=求k 概念辨析例题：反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，求k并判断图象所在象限 答案：k=-6，图象在第二、四象限 解析：代入得-3=，k=-6<0，故双曲线位于二、四象限 ☆ 4.圆的基本性质与有关计算 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，常与勾股定理联用 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为90° 位置关系：点与圆由点到圆心距离d与半径r比较；切线垂直于过切点的半径 弧长l=，扇形面积S==lR，圆锥侧面积=πRl 概念辨析例题：一个扇形的圆心角为120°，半径为6，求它的弧长与面积 答案：弧长l=4π，面积S=12π 解析：l==4π；S==12π 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 先化一般形式再选解法 根的判别式 Δ=b2-4ac 注意a≠0这一前提 根与系数关系 x1+x2=-，x1x2= 使用前先验Δ≥0 反比例函数 y=，图象为双曲线 在每个象限内讨论增减性 垂径与圆周角 垂径定理；圆周角=同弧圆心角一半 遇弦作弦心距构造直角三角形 弧长扇形圆锥 l=，S= 圆锥母线R与底面半径分清 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-10题） · 先把方程化为一般形式，认清二次项、一次项系数 · 优先用因式分解法，其次直接开平方，再考虑配方法或公式法 · 用公式法前先算Δ，确保有实根再代入求根公式 1．（2024·江苏南京·三模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）解下列一元二次方程 (1) (2) 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 9．（23-24九年级上·江苏常州·期末）（1）解方程： （2）计算． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【考点2】根的判别式（第11-13题） · 由Δ的符号判断根的情况，反之由根的情况列不等式 · 求参数时不要漏掉二次项系数a≠0的限制 · 含字母系数时展开化简Δ再判断 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 12．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【考点3】根与系数的关系（第14-21题） · 牢记x1+x2=-、x1x2= · 求两根代数式时先转化为和与积的组合，再整体代入 · 已知方程的解求参数，可把解代入或用韦达定理 14．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）若，是方程的两根，则 ______ 16．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为______． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 18．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 19．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 20．（25-26九年级上·江西新余·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程，求的值． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第22-24题） · 增长率问题：a(1+x)2=b；营销问题围绕利润列方程 · 数字问题、面积问题用未知数表示关键量 · 解出后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的倍．求九月份的销售额． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率． (1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格提高%．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值． (2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？ 【考点5】反比例函数的图象与性质（第25-28题） · 由k的符号判断双曲线所在象限及增减性 · 比较函数值大小要注意是否在同一象限内 · 用待定系数法，代入已知点坐标求k 25．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 26．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 27．（25-26九年级上·广东·期末）已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 28．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【考点6】反比例函数与一次函数及几何综合（第29-31题） · 两函数交点坐标同时满足两个解析式，联立求解 · 与几何图形结合时，用坐标表示线段长度和面积 · k的几何意义：矩形面积=|k|，是求k的常用突破口 29．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为______    30．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 31．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 【考点7】实际问题与反比例函数（第32-35题） · 从实际情境中建立反比例关系，注意自变量取值范围 · 读懂函数图象，从图象获取关键信息回答问题 · 结合物理等学科公式（如压强、电流）理解反比关系 32．（2024·广东河源·一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R的值是 _______． 33．（23-24九年级上·河北唐山·期末）今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题． (1)确定与的函数解析式，并求出首付款的数目． (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？ 34．（2025·吉林四平·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 35．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【考点8】圆的基本性质（第36-46题） · 遇弦作弦心距，利用垂径定理+勾股定理求线段 · 圆周角与圆心角相互转化，注意同弧、等弧 · 直径所对圆周角为90°，见直径常构造直角三角形 36．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 37．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（23-24九年级上·内蒙古·阶段检测）有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 40．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   41．（2025·安徽池州·一模）如图，在半圆中，为直径，点为半圆的三等分点，连接，相交于点，连接交于点．若，则（   ） A． B． C．1 D． 42．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 43．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 44．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是弦，，则_______． 45．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，的半径为10，圆心O到弦的距离为6，则的长为__________． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【考点9】与圆有关的位置关系（第47-51题） · 点与圆：比较d与r；切线问题连半径得垂直 · 三角形外接圆圆心为三边中垂线交点，内心为角平分线交点 · 正多边形计算构造半径、边心距、边长的直角三角形 47．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 48．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 49．（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 50．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为_______________. 【考点10】正多边形和圆、弧长扇形与圆锥（第52-60题） · 弧长用l=，扇形面积用S= · 圆锥侧面展开为扇形，母线为扇形半径，底面周长=扇形弧长 · 不规则图形面积用割补法转化为规则图形面积和差 52．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 53．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 54．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 55．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 56．（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 57．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是__________． 58．（2024·江苏南京·一模）如图，正八边形的半径为4，则它的面积是____． 59．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为________（结果保留π）．    60．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为_________． 💯 课后巩固 【作业1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）平面内，的直径为3，，则点P在（   ） A．内 B．上 C．外 D．以上都有可能 【作业5】．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【作业6】．（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【作业8】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知方程的两个根分别是和，则________． 【作业9】．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则_________ 【作业10】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知是方程的两个根，则的值是______． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，C是上的一点，于点D，，则的长为________． 【作业12】．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【作业13】．（25-26九年级上·福建福州·期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为________米． 【作业14】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【作业15】．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【作业16】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少？ (2)该停车场共有个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元？ 【作业17】．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【作业18】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 【作业19】．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【作业20】．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 复习建议 · 方程过关：四种解法按结构择优选择，判别式与韦达定理配套使用 · 应用过关：增长率、营销等问题找准等量关系并验根 · 反比例过关：图象、性质、k的几何意义三者融会贯通 · 圆性质过关：垂径定理与圆周角定理是计算与证明的核心 · 计算过关：弧长、扇形、圆锥公式记准，割补法求不规则面积 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，掌握直接开平方、配方、公式、因式分解四种解法 · 会用根的判别式判断根的情况，能由根的情况求参数，灵活运用根与系数的关系 · 掌握反比例函数的概念、图象与性质，理解比例系数k的几何意义并解决综合问题 · 掌握圆的垂径定理、圆周角定理、点与圆及直线与圆的位置关系等基本性质 · 会计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积，能解决正多边形和圆的相关计算 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：形如(x+m)2=n（n≥0），两边开平方 配方法：化为(x+m)2=n的形式再开方；公式法用求根公式x= 因式分解法：把方程一边化为两个一次因式之积，分别为0求解 概念辨析例题：用因式分解法解方程 x2-5x+6=0 答案：x1=2，x2=3 解析：左边分解为(x-2)(x-3)=0，由x-2=0或x-3=0得两根 ☆ 2.根的判别式与根与系数的关系 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根 由根的情况求参数：根据Δ的符号列不等式，注意二次项系数不为0 韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1x2= 整体代入：求与两根有关的代数式时，用两根和与两根积整体代换 概念辨析例题：方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，求x1+x2与x1x2 答案：x1+x2=3，x1x2=-1 解析：由韦达定理，和=-=3，积==-1 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 反比例函数：y=（k≠0），自变量x≠0，图象为双曲线 k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在二、四象限，y随x增大而增大 k的几何意义：图象上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k| 求解析式：用待定系数法，已知一点坐标代入y=求k 概念辨析例题：反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，求k并判断图象所在象限 答案：k=-6，图象在第二、四象限 解析：代入得-3=，k=-6<0，故双曲线位于二、四象限 ☆ 4.圆的基本性质与有关计算 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，常与勾股定理联用 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为90° 位置关系：点与圆由点到圆心距离d与半径r比较；切线垂直于过切点的半径 弧长l=，扇形面积S==lR，圆锥侧面积=πRl 概念辨析例题：一个扇形的圆心角为120°，半径为6，求它的弧长与面积 答案：弧长l=4π，面积S=12π 解析：l==4π；S==12π 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 先化一般形式再选解法 根的判别式 Δ=b2-4ac 注意a≠0这一前提 根与系数关系 x1+x2=-，x1x2= 使用前先验Δ≥0 反比例函数 y=，图象为双曲线 在每个象限内讨论增减性 垂径与圆周角 垂径定理；圆周角=同弧圆心角一半 遇弦作弦心距构造直角三角形 弧长扇形圆锥 l=，S= 圆锥母线R与底面半径分清 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-10题） · 先把方程化为一般形式，认清二次项、一次项系数 · 优先用因式分解法，其次直接开平方，再考虑配方法或公式法 · 用公式法前先算Δ，确保有实根再代入求根公式 1．（2024·江苏南京·三模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原方程转化为或，即可求解． 【详解】解：， 或 解得：或， 所以，原方程的解为，． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．熟练掌握定义是解本题的关键． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意；． 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴； （2）解：， 或， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） 或 解得，． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解答即可． （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）， 或， 解得：，． （2） 或 ，． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 9．（23-24九年级上·江苏常州·期末）（1）解方程： （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查的是解一元二次方程，实数的运算及特殊角的三角函数值， （1）利用因式分解法求解即可； （2）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） 解得：； （2）原式 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程的直接开方法和提公因式法，熟练掌握计算法则是解题关键． （1）先移项，然后两边开平方进而求解即可； （2）先移项，再运用提公因式法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴或， 解得； （2）解： ∴或， ∴或， 解得． 【考点2】根的判别式（第11-13题） · 由Δ的符号判断根的情况，反之由根的情况列不等式 · 求参数时不要漏掉二次项系数a≠0的限制 · 含字母系数时展开化简Δ再判断 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴ ，且． 故选：D． 12．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于0列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 13．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 【考点3】根与系数的关系（第14-21题） · 牢记x1+x2=-、x1x2= · 求两根代数式时先转化为和与积的组合，再整体代入 · 已知方程的解求参数，可把解代入或用韦达定理 14．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）若，是方程的两根，则 ______ 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据，是一元二次方程的两根时，，进行解答即可． 【详解】解：，是方程的两根， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为______． 【答案】2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查由一元二次方程的根求代数式的值．首先将代入方程，得出，然后转换所求代数式即可得解． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故答案为：2024． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 18．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 19．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式拆分后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·江西新余·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【详解】解：原式 ； ∵是方程的解， ∴，即， ∴原式． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，将变形为，再整体代入计算即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ， ． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第22-24题） · 增长率问题：a(1+x)2=b；营销问题围绕利润列方程 · 数字问题、面积问题用未知数表示关键量 · 解出后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的倍．求九月份的销售额． 【答案】九月份销售额20万元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，正确理解题意，列出方程解答即可． 【详解】解：设九月份销售额的下降率为，则十月份销售额的增长率为． 由题意可列方程． 解得，（不合题意，舍去）． ∴九月份销售额 ， 答：九月份销售额20万元． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率． (1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格提高%．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值． (2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？ 【答案】(1)20 (2)最多可以购买50盒新品种水蜜桃 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）根据总价产量×每颗价格以及新品种水蜜桃的总价将比旧品种的总价提高32%，列出方程，即可求解； （2）设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买盒旧品种水蜜桃，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：（不合题意，舍去）， 即m的值为20； （2）由（1）得新品水蜜桃的价格提高10%， 解：设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买盒旧品种水蜜桃，根据题意得：， 解得：， 答：最多可以购买50盒新品种水蜜桃． 【考点5】反比例函数的图象与性质（第25-28题） · 由k的符号判断双曲线所在象限及增减性 · 比较函数值大小要注意是否在同一象限内 · 用待定系数法，代入已知点坐标求k 25．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、中点坐标 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 26．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 27．（25-26九年级上·广东·期末）已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 28．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过得、，即，计算得，即可得； （2）由（1）得，，即反比例函数解析式为，把， 分别代入反比例函数解析式即可得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过 ∴、， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 即反比例函数解析式为， 当时，， 当时，， 即当时，随着的增大而减小， y的取值范围为：． 【考点6】反比例函数与一次函数及几何综合（第29-31题） · 两函数交点坐标同时满足两个解析式，联立求解 · 与几何图形结合时，用坐标表示线段长度和面积 · k的几何意义：矩形面积=|k|，是求k的常用突破口 29．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为______    【答案】或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，已两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点，设，借助于两点间距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 30．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 31．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)2； (3) (4)或 【知识点】一次函数与几何综合、求一元一次不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求出表达式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出表达式即可； （3）先求出直线与x轴交于点，再根据图得出结论即可； （4）求出，再求出，再列不等式解决即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点， ∴把代入， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 把及代入， 则， 解得：； （3）解：把代入，则， 解得：， ∴直线与x轴交于点， ∴根据图象可知，当时，x的取值范围为：； （4）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积不小于的面积， ∴， ∴或． 【考点7】实际问题与反比例函数（第32-35题） · 从实际情境中建立反比例关系，注意自变量取值范围 · 读懂函数图象，从图象获取关键信息回答问题 · 结合物理等学科公式（如压强、电流）理解反比关系 32．（2024·广东河源·一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R的值是 _______． 【答案】10 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数．利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：10． 33．（23-24九年级上·河北唐山·期末）今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题． (1)确定与的函数解析式，并求出首付款的数目． (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，首付款为5万元； (2)平均每月应付万元； (3)张先生至少要50个月才能结清余额． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了因变量的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为， 把代入关系式得， ∴， ∴y与x的函数关系式为， ∴（万元）． ∴首付款为5万元； （2）解：当时，（万元）， 答：平均每月应付万元； （3）解：当时，， 解得． 答：张先生至少要50个月才能结清余额． 34．（2025·吉林四平·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【答案】(1) (2)个月 【知识点】实际问题与反比例函数、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 35．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 【考点8】圆的基本性质（第36-46题） · 遇弦作弦心距，利用垂径定理+勾股定理求线段 · 圆周角与圆心角相互转化，注意同弧、等弧 · 直径所对圆周角为90°，见直径常构造直角三角形 36．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 37．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对应的圆心角相等，即可解答. 【详解】解： ，， . 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键. 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、圆心角概念辨析及简单运算、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 39．（23-24九年级上·内蒙古·阶段检测）有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误； ②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误； ③半圆是弧，原说法正确； ④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 40．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 41．（2025·安徽池州·一模）如图，在半圆中，为直径，点为半圆的三等分点，连接，相交于点，连接交于点．若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】如图所示，连接，根据是直径，点为半圆的三等分点，可得是等边三角形，，，，在中，，，由勾股定理得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵点为半圆的三等分点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了半圆或直径所对圆周角的直角，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的运用，理解三等分点的含义，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 42．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解： 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 43．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 44．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是弦，，则_______． 【答案】44 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据直径所对的圆周角是直角知，由直角三角形两锐角互余得的度数，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧是， ∴． 故答案为：44． 45．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，的半径为10，圆心O到弦的距离为6，则的长为__________． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接，作于点，利用垂径定理及勾股定理即可求解． 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】连接，作于点， ∵，， ∴， 在中，， 则， 故答案为：16． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1) 解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； (2) 证明：在和中， ， ， ． 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）略 （2）略 【考点9】与圆有关的位置关系（第47-51题） · 点与圆：比较d与r；切线问题连半径得垂直 · 三角形外接圆圆心为三边中垂线交点，内心为角平分线交点 · 正多边形计算构造半径、边心距、边长的直角三角形 47．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点A到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点A在圆上． 【详解】∵圆心O在坐标原点，点A的坐标为， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴点A在上． 故选：A． 48．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 49．（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 50．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、等边对等角、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 51．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为_______________. 【答案】28 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 【考点10】正多边形和圆、弧长扇形与圆锥（第52-60题） · 弧长用l=，扇形面积用S= · 圆锥侧面展开为扇形，母线为扇形半径，底面周长=扇形弧长 · 不规则图形面积用割补法转化为规则图形面积和差 52．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、正多边形的内角问题、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 53．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 【详解】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为2， ∴每一个三角形的面积为1， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴原正六边形纸片的面积为6． 故选B． 54．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求角度、用勾股定理解三角形、求圆锥底面半径、求弧长 【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中， ， ∵， 是等腰直角三角形， ，， ， 扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长， 圆锥的底面圆的半径为， ， 解得． 故选：A． 55．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 56．（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积等于扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 57．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键；利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的母线长， 则圆锥的侧面积； 故答案为． 58．（2024·江苏南京·一模）如图，正八边形的半径为4，则它的面积是____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，作，求出的面积，乘以8即可得出正八边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：； 故答案为：． 59．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为________（结果保留π）．    【答案】/ 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、求弧长 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，弧长的计算，三角形外角的性质等知识；连接，则得，则得，；由三角形外角的性质求得，最后由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图， 则， ； ， ， ， ； ； ， 由弧长公式得：．    故答案为：． 60．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为_________． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识．取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解． 【详解】解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，   ， ∵正六边形关于直线对称， ∴，也关于直线对称， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∴， 当共线时，， ∴的最小值为， ∵正六边形的边长为2， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，O为中点，Q为中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，   ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故答案为：2． 💯 课后巩固 【作业1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键对定义的理解； 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项. 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程. 选项A：含有两个未知数和，不符合①； 选项B：含有分式，不是整式方程，不符合③； 选项C：未知数的最高次数为，不符合②； 选项D：只含未知数，最高次数为，且为整式方程，符合定义； ∴ 故答案是：D. 【作业2】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 【作业3】．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 【作业4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）平面内，的直径为3，，则点P在（   ） A．内 B．上 C．外 D．以上都有可能 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先求出的半径，然后根据点与圆的位置关系即可解答 【详解】解：∵的直径为3， ∴的半径， ∵， ∴点P在外， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．若半径为r,点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【作业5】．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【作业6】．（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求扇形面积、求圆心角 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【作业7】．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【答案】64 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 【作业8】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知方程的两个根分别是和，则________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握关于x的一元二次方程有两根为和，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴． 故答案为：． 【作业9】．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则_________ 【答案】/ 【知识点】求反比例函数值 【分析】把点的坐标代入函数关系式即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ． 【作业10】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知是方程的两个根，则的值是______． 【答案】2020 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据根与系数的关系得到，再把原式变形为，再利用整体代入的方法计算即可，本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握其公式并巧妙运用整体代入的方法是解题的关键． 【详解】解：根据根与系数的关系得, ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，C是上的一点，于点D，，则的长为________． 【答案】4 【知识点】利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线，证明是的中位线是解此题的关键．根据垂径定理求出，求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【作业12】．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级上·福建福州·期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为________米． 【答案】2 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意可得，米，则米，在中，运用勾股定理可得米，然后根据即可得解． 【详解】解：根据题意可得，，米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴轮子的吃水深度米． 故答案为：2． 【作业14】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义列方程和不等式，进而即可求解． 【详解】解：根据题意， 可得， 解得． 【作业15】．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】(1) 证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． (2)． 【知识点】切线的性质定理、含30度角的直角三角形、圆周角定理、求扇形面积 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 【作业16】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少？ (2)该停车场共有个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元？ 【答案】(1)通道的宽是 (2)设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设通道的宽是，依题意，列式得，求解即可； （2）设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个，，求解后注意题干条件进行筛选，作答即可． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设通道的宽是， 由题意得：， 整理得 解得：，（不合题意舍去） 所以通道的宽是． （2）解：设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个， 由题意得：， 解得：， 因为要优惠大众，所以舍去． 所以设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元． 【作业17】．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 【作业18】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 【答案】(1) (2)不能，至少需要充电 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，以及反比例函数关系式的求解，解决本题的关键是正确求解出s与x的函数关系式． （1）设总路程s与平均耗电量x关系式为，将点代入求解即可； （2）分别求解出去场馆和返回家总耗电量，再由总电量求解即可． 【详解】（1）解：设总路程s与平均耗电量x关系式为， ∵将点代入函数关系式，可得， 解得， ∴s与x的函数关系式为； （2）解：不能，至少需要充电， 去场馆时的耗电量为：； ∵汽车总电量为， ∴剩余电量为， 返程时百公里平均耗电量是原来的1.25倍， ∴返程时百公里平均耗电量为：， 返程所需电量为：， ∵， ∴不充电不能回家，至少需要充电． 【作业19】．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【答案】． 【知识点】求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【作业20】．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1) 证明：连接，正八边形， ∴，    ，， ， ∴． (2) 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 复习建议 · 方程过关：四种解法按结构择优选择，判别式与韦达定理配套使用 · 应用过关：增长率、营销等问题找准等量关系并验根 · 反比例过关：图象、性质、k的几何意义三者融会贯通 · 圆性质过关：垂径定理与圆周角定理是计算与证明的核心 · 计算过关：弧长、扇形、圆锥公式记准，割补法求不规则面积 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $