精品解析：云南文山州砚山县第一中学2026-2027学年高二上学期9月综合训练数学试卷

2026年秋季学期高二9月综合训练 数学试卷 2026.9 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一、二册占50%，选择性必修第一册（第一章~第二章2.1直线的倾斜角与斜率）占50%. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义，合并两个集合的所有元素并去除重复元素即可求得结果. 【详解】已知 ，可得 . 2. 若函数是指数函数，则（ ） A. 或 B. C. D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 4. 如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】G是的中点，所以. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】原不等式等价于 . ∵ 二次函数 的二次项系数大于0，图象开口向上, ∴解集为 . 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，结合正弦函数的值域即可求得的值域. 【详解】由题意得 ， 因为，所以， ，故的值域为. 7. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，则，由与互相垂直， 得， 所以. 故选：D 8. 已知四面体中，分别为的中点，则异面直线所成的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点,,所以或其补角是异面直线所成的夹角，然后计算出、、后在三角形中，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】如图所示：连，取的中点，连、，则， 所以或其补角是异面直线所成的夹角， 因为，为的中点， 所以，又，所以， 同理， 所以，， 在三角形中，， 所以， 所以异面直线所成的夹角为. 故选：C 【点睛】本题考查了求异面直线所成的夹角，考查了余弦定理，解题关键是通过作平行线，转化为两条相交直线所成的锐角或直角，属于基础题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列命题中正确的为（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应点在第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据复数的相关定义，逐个判断即可. 【详解】复数，则.故正确； ，故正确； 的虚部为1，故错误； 在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故正确. 命题中正确的个数为3. 故选： 【点睛】本题考查了复数的相关定义和计算，属于基础题. 10. 函数的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. -4 【答案】ABC 【解析】 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求. 11. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为3，则 与不垂直，故A错误； ，故B正确； ，故C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从，，，四个字母中随机抽取一个字母，则“抽到字母”的概率是________. 【答案】## 【解析】 【详解】∵ 从四个字母中随机抽取一个字母，共有4种等可能的结果，其中抽到字母的结果有1种. ∴ “抽到字母”的概率为. 13. 已知平面向量、满足，且，，则向量与的夹角为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设平面向量与的夹角为，利用平面向量数量积的运算性质以及定义求出的值，结合的取值范围可求得的值. 【详解】设平面向量与的夹角为，则， ，，因此，. 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出、的坐标，利用条结合垂直关系的向量表示列方程得到两个参数之间的关系式，写出长度的平方关于参数的表达式，结合参数的取值范围，利用二次函数的性质求取值范围. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为和分别为和的中点，所以， 因为和分别为线段和上的动点（不包括端点）， 设，， 则， 因为，所以，即，即， 则，可得， 当时，，当时，， 所以线段长度的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16. 某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表： 产品类型 甲 乙 丙 丁 产品件数 100 50 200 150 使用满意率 0.9 0.7 0.8 0.5 使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值. （1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数. 【答案】（1）；（2）1000件. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求得产品总件数和丙类产品中获得用户满意评价的产品件数，根据古典概型求得概率；（2）首先确定甲类产品中不能获得用户满意评价的件数占比，根据用样本估计总体的方法可求得结果. 【详解】（1）由题意知，样本中公司的产品总件数为： 丙类产品中获得用户满意评价的产品件数为： 所求概率为： （2）在样本件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是： 则不能获得用户满意评价的件数占比为： 该公司的甲类产品共销售了件 这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：件 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、用样本估计总体的问题，属于基础题. 17. 已知在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求证：； （2）求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，再结合基本不等式可得； （2）求出的范围，根据正弦三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得：， 将代入得：， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此：， 又，且在上单调递减，，故. 【小问2详解】 由（1）知，则， 当时，即时，取得最大值， 因此：，即函数的最大值为. 18. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【小问1详解】 设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 19. 已知正三棱柱中， ，点为的中点，点在线段上. （Ⅰ）当时，求证 ； （Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形， 又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为 ，平面的一个法向量为． 试题解析：（Ⅰ）证明：连接， 因为为正三棱柱，所以为正三角形， 又因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 所以在中，， 在中，，所以，即. 又， 所以丄平面，面，所以. （Ⅱ）假设存在点满足条件，设. 取的中点，连接，则丄平面， 所以， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 同理，平面的一个法向量为， 则，取， ∴. ∴，解得， 故存在点,当时，二面角等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二9月综合训练 数学试卷 2026.9 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一、二册占50%，选择性必修第一册（第一章~第二章2.1直线的倾斜角与斜率）占50%. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是指数函数，则（ ） A. 或 B. C. D. ，且 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知四面体中，分别为的中点，则异面直线所成的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列命题中正确的为（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应点在第一象限 10. 函数的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. -4 11. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从，，，四个字母中随机抽取一个字母，则“抽到字母”的概率是________. 13. 已知平面向量、满足，且，，则向量与的夹角为____________． 14. 如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表： 产品类型 甲 乙 丙 丁 产品件数 100 50 200 150 使用满意率 0.9 0.7 0.8 0.5 使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值. （1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数. 17. 已知在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求证：； （2）求函数的最大值. 18. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 19. 已知正三棱柱中， ，点为的中点，点在线段上. （Ⅰ）当时，求证 ； （Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $