精品解析：云南省文山州砚山一中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

砚山一中2025年秋季学期高二年级10月月考 数学试卷 2025.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（第一章~第三章3.2双曲线）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线即，所以斜率为， 又，且，所以倾斜角. 故选：A 2. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可. 【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为， 则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0. 故选：B. 3. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得. 【详解】 如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点， 所以， 所以. 故选：C 4. 已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点，可得双曲线的方程. 【详解】由，可得，可设双曲线的方程为， 又双曲线经过点， 可得，即，所以双曲线的方程为， 故选：A. 5. 已知：与：，则两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】， 故，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1， 而，故两圆的位置关系是相交， 故选：A. 6. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】双曲线中，， 由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 7. 设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率和长轴长计算得到，，判断曲线为焦点在轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案. 【详解】椭圆的离心率为，，，故， 故椭圆的两个焦点为，， 曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 故曲线为焦点在轴上的双曲线， ，，，，故双曲线方程为. 故选：A 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案． 【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：， 又，， 两式相减，可得：，， ． ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为6， 故选：C． 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线离心率公式代入计算即可. 【详解】设圆锥曲线的离心率为， ①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有； ②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有. 综上，所求的离心率为或. 故选：AD. 10. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，. 对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，B错； 对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点， 将代入椭圆方程可得，故，C错； 对于D选项，，故，D对. 故选：AD. 11. 设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ） A. P可能为中点 B. 的最小值为3 C. 若，则的方程为 D. 的面积最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D. 【详解】圆，圆心，半径 对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确； 对于B，当直线时，最小，，， 则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误； 对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得， 则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线互相垂直的充要条件得到方程，解出即可. 【详解】由题意得：，解得：. 故答案为：2. 13. 已知，若与垂直，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直可得，即可求出. 【详解】因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 14. 若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________． 【答案】(1,2] 【解析】 【详解】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 双曲线（，）的离心率，且过点. （1）求a，b的值； （2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解； （2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为可得. 【小问1详解】 因为离心率，所以. 又因为点在双曲线C上，所以. 联立上述方程，解得，，即，. 【小问2详解】 设所求双曲线的方程为， 由双曲线经过点，得，即. 所以双曲线的方程为，其标准方程为. 16. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径. （2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意. 当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或. 17. 已知直线方程为，其中. （1）当m变化时，求点到直线的距离的最大值； （2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）4. 【解析】 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【小问1详解】 直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. 【小问2详解】 设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 18. 图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中.若，将沿折起，连接，如图2. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点E，连接， ， 为等边三角形，为等腰直角三角形， ，又，即， 又平面平面， 又平面平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点E，连接，根据等边三角形中线即为高线，及勾股定理可证得，，从而得到平面，进而证得面面垂直；（2）利用空间向量法或作角求角的几何方法进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （解法一）由（1）知平面，又平面平面，平面平面，，所以平面， 过点E作交于点H，则平面，所以两两垂直， 以点E为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 则有，， 设为平面的一个法向量， 则.即 令，则 易知，为平面的一个法向量，， 由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为. （解法二）过D作于F，又平面平面，平面平面，，所以平面， 平面，又平面是二面角的平面角， 又 在中，由余弦定理得， ∴二面角的余弦值为. 19. 设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点 （1）求点的轨迹方程. （2）求证：三点共线 （3）求证：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）； （2）设方程为， 令得点， 由消元得：， 显然恒成立， 由，且，得：， 代入直线方程得， 又因为，所以：， 所以直线为：， 令得点，， 联立方程， 消去得：， 所以，， ，， 因为有公共点，所以三点共线. （3）设以为直径的圆上点，则， 所以圆方程为， 即， 当时与无关， 所以以为直径的圆过定点. 【解析】 【分析】（1）设，化简即得点的轨迹方程； （2）设方程为，证明即得证； （3）先求出圆方程为，即得解. 【详解】（1）设，由题意， 由已知有 化简得 （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砚山一中2025年秋季学期高二年级10月月考 数学试卷 2025.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（第一章~第三章3.2双曲线）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：与：，则两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 6. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 7. 设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为 C. D. 11. 设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ） A. P可能为中点 B. 的最小值为3 C. 若，则的方程为 D. 的面积最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 13. 已知，若与垂直，则___________. 14. 若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 双曲线（，）的离心率，且过点. （1）求a，b的值； （2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 16. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 17. 已知直线方程为，其中. （1）当m变化时，求点到直线的距离的最大值； （2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 18. 图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中.若，将沿折起，连接，如图2. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，直线方程：，直线与直线分别相交于两点，交轨迹与点 （1）求点的轨迹方程. （2）求证：三点共线 （3）求证：以为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $