精品解析：黑龙江哈尔滨市第一六三中学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

哈163中学9年级学情监测一 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. （a2）3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. 2a×3a＝6a 3. 下列几个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　） A. 12m B. 3m C. 4m D. 12m 6. 2024年某农场水稻平均每公顷产，2026年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在小孔成像问题中，若小孔O到物体的距离是，到像的距离是，则物体的长是像的长的（　　） A. 4倍 B. 2倍 C. D. 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，交的延长线于点，若点是线段的中点，，的周长为，则线段的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（ ） A. B. C. 9 D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把1630000用科学记数法表示为________． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 13. 计算：________． 14. 在实数范围内因式分解：________． 15. 不等式组的解集是__________． 16. 分式方程的解是______． 17. 二次三项式的最小值为________． 18. 如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 19. 在中，，，，则线段的长为________． 20. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，连接，使得，并直接写出线段的长； 23. 选择适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 24. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学九年级共有800人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀． 25. 育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． （1）求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； （2）育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 26. 已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． （1）若是方程①的一个根，求m的值； （2）若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上取点C，连接，若，求的值； （3）在（2）的条件下，点D在线段上，点D绕点C顺时针旋转得到点E，连接交y轴于点F，，点G为线段中点，连接，若平分，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈163中学9年级学情监测一 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. （a2）3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. 2a×3a＝6a 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可． 【详解】A、错误，a2与a3不是同类项，不能合并； B、正确，（a2）3＝a6，符合积的乘方法则； C、错误，应为a6÷a2＝a4； D、错误，应为2a×3a＝6a2． 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数的幂的乘法与除法，幂的乘方，单项式的乘法，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 下列几个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使图形沿其折叠后重合． 【详解】解：A、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； C、该图形能找到2条对称轴，所以是轴对称图形； D、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是： ． 5. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　） A. 12m B. 3m C. 4m D. 12m 【答案】C 【解析】 【分析】先构造直角三角形，在直角三角形中运用三角函数解决问题即可． 【详解】在Rt△ABC中，cos∠A=cos30°=，则AB=m， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练运用三角函数是解题的关键． 6. 2024年某农场水稻平均每公顷产，2026年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定增长年限为2年，结合初始产量、年平均增长率与终产量的关系列方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， ∵2024年平均每公顷产， ∴2025年平均每公顷产量为， ∴2026年平均每公顷产量为， ∵2026年平均每公顷产， ∴． 7. 如图，在小孔成像问题中，若小孔O到物体的距离是，到像的距离是，则物体的长是像的长的（　　） A. 4倍 B. 2倍 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作，垂足为E，延长交于点F，根据题意可得，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点O作，垂足为E，延长交于点F， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体的长是像的长的2倍． 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，交的延长线于点，若点是线段的中点，，的周长为，则线段的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形周长求出，结合中点性质得，利用垂直平分线性质得，勾股定理求，最后利用相似三角形性质求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵垂直平分边， ∴，， ∵在中，有， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 10. 如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，此时，根据勾股定理可得；当时，，可得，根据相似三角形的性质可得，进而得出a的值． 【详解】解：如图所示，作，交于点M，作，交于点N， 由题意可知，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把1630000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示大于1的数的形式为，其中，为原数的整数位数减1． 【详解】解：. 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 14. 在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 15. 不等式组的解集是__________． 【答案】＜x≤4## 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：解得：x＞； 解得：x≤4； ∴不等式组的解集为：＜x≤4． 故答案为： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 16. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得 移项得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 17. 二次三项式的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次三项式配方，利用平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：对二次三项式配方得 ∵ 任意实数的平方都大于等于 ∴ ∴ 因此二次三项式的最小值为． 18. 如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 ##0.8 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 19. 在中，，，，则线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当点在延长线上时；过点作垂直于于点，在直角三角形中，利用角的正切值和勾股定理求解；②当点在上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：①当点在延长线上时，如图，过点作垂直于于点， 在中，， ， 设，， ， ， ， ，， ， 在中，， ； ②当点在上时， ， 在中，， ； 综上可知，线段的长为或． 20. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分， 故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接，， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ，， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ∴由勾股定理得，， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分， ， 又， ， 故④不正确； 综上，正确的是：①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，连接，使得，并直接写出线段的长； 【答案】（1） 如图1，线段所求； （2） 如图2，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点E，F，连接，交于点H，连接即可； （2）取格点E，F，连接交于点D，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设边上的高为， 而， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 又， ，即点与点重合， ∴． 23. 选择适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 24. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学九年级共有800人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀． 【答案】（1）一共抽取了名学生 （2） （3）估计该校九年级共有名学生的数学成绩可以达到优秀 【解析】 【分析】（1）从扇形统计图可知，成绩类别为良的学生占样本总人数的，根据“总人数对应类别人数该类别占比”，可得本次抽取学生的总人数； （2）成绩类别为“中”的人数为总人数减去其余三类的人数，据此绘制相应高度的长方形，补全条形统计图； （3）先计算样本中优秀学生的占比，再估计该校九年级学生优秀的人数． 【小问1详解】 解：（名）， 在这次调查中，一共抽取了名学生． 【小问2详解】 解：成绩类别为“中”的人数为（人），补全条形统计图略． 【小问3详解】 解：（名）， 估计该校九年级共有名学生的数学成绩可以达到优秀． 25. 育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． （1）求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； （2）育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 【答案】（1）每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元． （2）该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 【解析】 【分析】（1）根据两组购买费用的等量关系列二元一次方程组，求解两种羽毛球的单价； （2）根据总费用上限列一元一次不等式，求解A品牌羽毛球的最大购买量． 【小问1详解】 解：设每个A品牌羽毛球元，每个B品牌羽毛球元． 由题意得， 解得：， 答：每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元； 【小问2详解】 解：设购买A品牌羽毛球个，则购买B品牌羽毛球个． 由题意得， 解得：． ∵为正整数， ∴的最大值为50． 答：该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 26. 已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． （1）若是方程①的一个根，求m的值； （2）若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 【答案】（1） ； （2） 为不等于的实数； （3） 证明：∵两方程的唯一公共解为，方程①的非公共根为，方程②的非公共根为. ∴方程①中，得， 方程②中，得； ，是方程的两根， ，， 即，. 将代入得： ， 上式 假设，则， 即， 去分母得， ， 该方程无实数根，即不存在实数使得， ， ． 【解析】 【分析】（1）将代入方程①，解关于的一元一次方程即可； （2）联立两方程消去二次项，结合唯一公共解的条件与两方程有两个不等实根的要求，确定的取值范围； （3）利用根与系数的关系得到非公共根的表达式，结合新方程的根与系数关系化简待证式，通过判别式证明不等式． 【小问1详解】 解：是方程①的根， ， 即， 解得； 【小问2详解】 解：设两方程的公共解为，则： ①， ②， ①② 得：， 分两种情况： 当，即时，解得，即两方程有唯一公共解，符合题意； 当，即， 当时，方程①为，解得， 方程②为，解得， 此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 同理，可解得当时，此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 两方程均为一元二次方程且各有两个不相等的实数根， ，，即， ，即， 综上所述，为不等于的实数．  【小问3详解】 略 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上取点C，连接，若，求的值； （3）在（2）的条件下，点D在线段上，点D绕点C顺时针旋转得到点E，连接交y轴于点F，，点G为线段中点，连接，若平分，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点C的坐标为，根据，得到，据此建立方程求解即可； （3）过点D作轴于点H，设，则，证明是等腰直角三角形，得到，则；求出直线的解析式为；设，由旋转的性质可得，据此建立方程可推出，则；过点G作交直线于点T，则直线的解析式为，可求出；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线分别交x轴，y轴于点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点C的坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作轴于点H， 设，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设， 由旋转的性质可得， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D与点E不重合， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点G为线段中点， ∴； 如图所示，过点G作交直线于点T， 则直线的解析式为， 设， 把代入得， 解得， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴ ； ， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $