精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考 数学试卷 出题人：李宁波 审题人：康乐 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ） A. 10 B. 4.05 C. D. 8. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间内有两个极值点 D. 将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 18. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）（i）证明：为单调递增函数； （ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考 数学试卷 出题人：李宁波 审题人：康乐 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，，进而可求. 【详解】由，则， 因为，则，所以. 故选：C. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 5. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7. 科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ） A. 10 B. 4.05 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则列式计算得解. 【详解】依题意，，，两式相减，得， 因此，. 故选：D 8. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为，不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间内有两个极值点 D. 将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性求出函数，再逐项分析判断. 【详解】由的图象关于直线对称，得， 而，则，函数， 对于A，由，得的图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，而函数在上单调递减， 因此函数在区间上单调递减，B正确； 对于C，由，得，而函数在内只有一个极值点， 因此函数在区间内只有一个极值点，C错误； 对于D，， 将该函数图象向下平移1个单位长度即可得的图象，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象，可判定A正确；根据，由对数式的运算，可判定B错误；由关于直线对称，得到，结合二次函数的性质可得的范围，可判定C正确；由，结合不等式的性质可判定D错误. 【详解】作出函数，如图所示， 结合图象，要使有四个不等的实根，则，所以A正确； 由图可知，则， 因为，可得，即， 所以，所以B错误； 由图可得，令，则， 因为关于直线对称，所以，所以， 则， 又因为，可得，所以，所以C正确； 当时，，令，可得， 所以，结合图象知，同增同减， 所以，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 14. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由“局部奇函数”的定义可知，存在，使得，结合基本不等式可求出实数的最小值. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【小问1详解】 由题意可知：，则，，， 所以 【小问2详解】 由题意可知， ∴， ， ∴. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 18. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. 【小问3详解】 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）（i）证明：为单调递增函数； （ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）（i）证明：任取实数，且， 则 ， ， 又 ，即， 为单调递增函数. （ii）. 【解析】 【分析】（1）方法一：通过奇函数的性质求出再验证其为奇函数即可； 方法二：利用奇函数的定义求出即可； （2）（i）利用函数单调性的定义进行证明即可； （ii）方法一：将原不等式进行换元与化简，转化为对恒成立，结合一元二次不等式恒成立的求解方法进行计算即可； 方法二：将原不等式进行换元与化简，转化为对恒成立，进而参变分离转化为求函数最值问题即可. 【小问1详解】 方法一： 为定义在上的奇函数， ，即， ， ，显然有 为奇函数符合题意， 实数的值为1. 方法二： 为定义在上的奇函数， ， ，此时为奇函数，符合题设 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 令，则，且， 只需不等式恒成立， 即不等式恒成立， ， 为单调递增函数， ，即， 方法一： 不等式（*）即， 欲使不等式成立，则， 解得实数的取值范围为. 方法二： ①若，欲使不等式（*）成立，可为任意非零实数； ②若，则不等式等价于， 欲使恒成立，只需即可，， 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $