精品解析：吉林四平市梨树县第二中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

梨树二中2026-2027学年第一学期10月质量检测 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用正切和角公式求值即可. 【详解】. 故选：C 2. 在如图所示的方格纸中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在方格纸上作出，可得结论. 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知，而. 故选：B． 3. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，由，则， 由点为的中点，则， 则，， 则， 故与所成角的余弦值为． 故选：A. 4. 如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题图知，函数的最小正周期，所以，则， 由图可知，点附近函数单调递增， 代入，可得，则， 又，则，所以. 5. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 6. 设符号函数，已知函数，则（ ） A. 为的最小正周期 B. 图象的对称轴方程为 C. 在上单调递增 D. 函数在上有4个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据新函数的定义化简函数，作出函数的图象，即可利用图象，结合选择逐一判断. 【详解】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示：      根据图象可知为的最小正周期，故A错误； 由图象知图象的对称轴方程为，故B错误； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：D 7. 如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，结合球的性质作出截面，结合三角形内切圆性质求出的长，即可得解. 【详解】平面截球得到球面大圆，如图，是球大圆的外切三角形， 其中切圆于点，则有，， ，， ， ， ，，，， ，，， 为椭圆的一个焦点，，， . 故选：B. 8. 已知的解集为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造相应函数并借助导数解出不等式及，可得，，，再逐项判断即可得. 【详解】由可得， 设函数，则， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 则函数的极小值，又，， 所以由零点存在定理可得，存在使得， 则的解集为且， 令，易知为偶函数，且当时，， 单调递增，又，，故若，则， 由为偶函数可知当时，若，则， 故的解集为， 故原不等式的解集为且， 则，，， 选项A：因为，，，所以，A正确； 选项B：因为，，所以，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，，所以，D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造相应函数并借助导数解出不等式及，从而解出，，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 1是函数的极小值点 D. 3是函数的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 将列联表中的每一个数变成原来的2倍，则卡方变成原来的2倍 B. 两组数据相关系数r的绝对值越大，则对应的回归直线越陡 C. 若事件A，B满足，则 D. 若事件A，B满足，则事件A，B是对立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据卡方的计算公式可验证A是否成立；由相关系数的意义判断B；由条件概率公式判断C；由对立事件的定义判断D. 【详解】对A选项，，其中，将列联表中的每一个数变成原来的2倍后，，故A选项正确； 对B选项，两组数据相关系数r的绝对值越大，则对应数据越集中在回归直线附近，并不能说明回归直线越陡，故B选项错误； 对C选项，∵，∴，若，结论就错误.故C选项错误； 对D选项，∵，∴，又，∴事件A，B不是互斥事件，更不是对立事件，故D选项错误． 故选：BCD 11. 若过点可作曲线的n条切线，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 过，仅可作的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得，对进行分类讨论后结合导数求取方程的解的个数即可得切线条数. 【详解】设切点为，则， 切线方程为， 代入整理得， 令， ， 令得． 当时，，，所以在上单调递增， ，，所以在上单调递减， ，在两侧均有可能为负，同时极大值可能为正， 所以至多有2个零点，故A正确； 当时，和时，，所以在上单调递减， ，，所以在上单调递增， ，， 当时，，所以， 结合图象，值域为，所以，B正确； 若，则，即， 同理当时，，即，C错误； 若时，，单调递减； 结合图象，， 则当时，有1个零点，即，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：设出切点，借助导数的几何意义得到切线方程，则关于的方程的解的个数即为过点可作曲线的切线的条数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的反函数过定点_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到. 【详解】对于函数（且），令，即，所以， 即函数（且）恒过点， 所以函数（且）的反函数恒过点. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数，，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题写出函数，判断其奇偶性，将不等式等价转化，利用函数的奇偶性和单调性得到对数不等式，利用对数函数单调性解之即得. 【详解】由题意， 当时，，则，即函数是偶函数. 因时，函数单调递增， 则， 故得，即， 故，解得. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用分段函数的单调性和奇偶性解抽象不等式，属于较难题. 解决此类问题的思路在于，根据所给的函数判断其奇偶性和单调性，利用函数的这些性质将抽象不等式化成具体不等式求解即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【答案】数列中，由，得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】略 16. 已知，α是第三象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用平方关系、商数关系分别求出和； （2）应用差角的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由，α是第三象限角，则， 所以； 【小问2详解】 . 17. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 18. 已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）①3；②. 【解析】 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）①若、、，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标； ②由①有，令得，结合对勾函数、二次函数性质求最小值. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 设点、的横坐标为、. 由，消得 于是，故. 【小问2详解】 ①设，于是有，抛物线的准线方程为， 设、，过的直线的方程可设为， 由题意，两直线均与圆相切，故，整理得， 设直线、的斜率为、， 于是， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 故点的横坐标为3. ②由①，， 点到的距离，故的面积， 不妨令，于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 19. 已知函数，. （1）若过点，求； （2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围； （3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将自变量取值代入分段函数的相应区间，建立方程待定系数，再求函数值； （2）分段函数的单调性，通过函数各段单调性与两段间界点处值的大小分析，建立不等式求解参数范围即可； （3）根据题意，存在点对称问题转化方程有解问题，分类分析端点处函数值的符号，结合零点存在性定理寻找充分条件，然后结合基本初等函数的图象及不等式性质比较大小，证明必要性即可得参数范围. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以当时，， 则. 【小问2详解】 根据题意得， 由函数在上单调递增， 则有，解得， 故a的取值范围是. 【小问3详解】 由， 由题意函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称， 则方程在内有解. 当，则， 则， 令，， 其中， 当时，， 由零点存在性定理可知，在内存在零点， 即方程在内有解，满足题意； 当，，满足题意； 由上分析可知，当时，方程在内有解， 故在内有解， 即函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称. ①下面证明：当时，方程，即在内无解. 由，得，则； 令，， 由，且， 在同一直角坐标系中，作出两函数的大致图象， 由图象可知，当时，； 则， 故当时，方程在内无解； ②下面证明：当时，方程在内也无解. 当，则， 则， 设，， 由，得，则； 令，， 由，且， 同理，作出函数的图象， 由图象可知，当时，； 则. 故当时，方程在内无解. 综上所述，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则a的范围是. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在两点，一是将图象上存在关于原点对称的对点问题，转化为方程有解问题，但要注意分段讨论；二是结合指数函数、幂函数图象性质以及不等式的性质比较大小，分析判断组合函数值的符号，如当，时，由推证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梨树二中2026-2027学年第一学期10月质量检测 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 在如图所示的方格纸中，（ ） A. B. C. D. 3. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 6. 设符号函数，已知函数，则（ ） A. 为的最小正周期 B. 图象的对称轴方程为 C. 在上单调递增 D. 函数在上有4个零点 7. 如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的解集为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 1是函数的极小值点 D. 3是函数的极小值点 10. 下列说法错误的是（ ） A. 将列联表中的每一个数变成原来的2倍，则卡方变成原来的2倍 B. 两组数据相关系数r的绝对值越大，则对应的回归直线越陡 C. 若事件A，B满足，则 D. 若事件A，B满足，则事件A，B是对立事件 11. 若过点可作曲线的n条切线，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 过，仅可作的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的反函数过定点_________． 13. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 14. 设函数，，，若，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 16. 已知，α是第三象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 17. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 18. 已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 19. 已知函数，. （1）若过点，求； （2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围； （3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $