精品解析：福建莆田市城厢区砺成中学2026-2027学年 八年级上学期第一次学情自测卷 数学试题

2026-2027学年砺成中学八年级上学期第一次月考考试卷 数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A. 6，2，2 B. 5，3，2 C. 5，4，1 D. 4，3，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证各选项中最大边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴． 故选：A． 3. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键． 太阳能热水器的支架为三角形是利用了三角形的稳定性防止晃动． 【详解】解：太阳能热水器的支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：D． 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 5. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法． 能够确定唯一三角形的条件包括、、、等，而和不能保证唯一三角形． 【详解】解：选项A：已知， ， ，为两边和其中一边的对角， 不能保证唯一三角形． 选项B：已知， ， ，同样为， 不能保证唯一三角形． 选项C：已知， ， ，为两角和夹边， 能画出唯一． 选项D：已知， ， ，为三个角， 只能确定形状，不能确定大小，不能画出唯一三角形． 故选：C． 6. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴B点的坐标是． 故选：B． 7. 如图，在中，，点为边上一点，点在边上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，利用三角形的外角的性质求出，再利用角的和与差求． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ． 故选：C． 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 9. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 10. 如图，在中，，的角平分线交于点D，点E为的中点，连接，点F为上一点，且．若，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， ∴． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 12. 如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义， 先根据三角形外角的性质得，，再根据角平分线的定义得，然后将两个式子联立可得，最后代入数值可得答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，则的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，设点到的距离为，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：点到的距离为， ∵平分交于点D，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：5． 14. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 15. 如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的面积为 __ ． 【答案】5 【解析】 【分析】过点D作交于点E，交于点F，可得，再证明，可得，结合由勾股定理进一步即可求解． 【详解】解∶如图，过点D作交于点E，交于点F， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 16. 如图，在中，，平分，点D在边上，，则_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】证明，可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 如图，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用全等三角形的性质及三角形外角的性质进行计算．先证，利用全等三角形对应角相等的性质及三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：在 和 中，  ， ， ，   ，  ， ． 18. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，进而求出，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 19. 已知：如图，，，分别是和的角平分线．求证：． 【答案】证明：， ， ，分别是和的角平分线， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据，得到，由，分别是和的角平分线，推出，证明，即可得出结论． 【详解】略． 20. 已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=70°，又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠BAC=35°，再利用AD是BC边上的高求出∠BAD的度数，之后进一步求解即可． 【详解】解：∵∠B＝65°，∠C＝45°， ∴∠BAC=70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE=∠BAC=35°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°－∠B=25°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关概念． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 22. 已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）如图①，当时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 （2）如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）60 【解析】 【分析】（1）根据垂线的定义得到，证明，则可利用证明； （2）过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N，同理可得，，则可证明，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N， ∴． 与（1）同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． （1）如图①，在中，平分，平分，若，则________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________ ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1）130； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； 如图②，根据角平分线的定义可得 ，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，即可求解； （3）分：①，②，③，④，四种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，由题意可得：， ∵， ∴， 整理得：； 故答案为：130；； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分：①，②，③，④，四种情况： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 25. 在中，，，点D为上一动点． （1）如图1，点E、点F均是射线上的点并且满足，，求证：； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接． ①的度数是______； ②若为中边上的高，求证：． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， 由（1）得， ， ， 又， ， ， ． （3）①； ②证明：过点A作，交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可； （3）①过点A作的垂线交于点E，证明，得出，则是等腰直角三角形，得出； ②过点A作，交的延长线于点G，证明，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：过点A作的垂线交于点E， ， ∴， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年砺成中学八年级上学期第一次月考考试卷 数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A. 6，2，2 B. 5，3，2 C. 5，4，1 D. 4，3，3 2. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 三角形具有稳定性 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点为边上一点，点在边上，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 10. 如图，在中，，的角平分线交于点D，点E为的中点，连接，点F为上一点，且．若，则（） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 12. 如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，则的面积为_____． 14. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 15. 如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的面积为 __ ． 16. 如图，在中，，平分，点D在边上，，则_____ ． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 如图，，求的度数． 18. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，求的度数． 19. 已知：如图，，，分别是和的角平分线．求证：． 20. 已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 22. 已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）如图①，当时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 23. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 （2）如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 24. 【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． （1）如图①，在中，平分，平分，若，则________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________ ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 25. 在中，，，点D为上一动点． （1）如图1，点E、点F均是射线上的点并且满足，，求证：； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接． ①的度数是______； ②若为中边上的高，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $