福建莆田市城厢区砺成中学2026-2027学年 八年级上学期第一次学情自测卷 数学试题

2026-2027学年砺成中学八年级上学期第一次月考考试卷 数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1．将一根长度为10（单位：m）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 2．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝75°，∠ACD＝135°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．50° C．45° D．40° 3．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 4．如图，Rt△ABC≌Rt△DBE，若∠A＝30°，则∠D的度数为（　　） A．60° B．45° C．35° D．30° 5．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝10，BC＝9，∠A＝60° B．AB＝6，BC＝5，∠A＝40° C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求点B的坐标（　　） A．（3，4） B．（2，3） C．（2，4） D．（1，4） 7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D为BC边上一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED＝70°，∠CDE＝15°，则∠BAD＝（　　） A．55° B．40° C．30° D．20° 8．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 10．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，已知∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充 _________________ ． 12．如图，∠ACE是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线交AC于点F，交∠ACE 的平分线于点D．若∠D＝35°，则∠A＝________ ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为_____ ． 14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．依据小明的方法，可求得AD的取值范围是___________ ． 15．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的面积为 _____ ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点D在边BC上，AE＝DE，EF⊥AB，AB＝10，CD＝2.5，则BD＝_____ ． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（本小题8分）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，求∠CBD的度数． 18．（本小题8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝63°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC，求∠C的度数． 19．（本小题8分）已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线．求证：AD＝A'D'． 20．（本小题8分）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 21．（本小题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，证明AB⊥DE． 22．（本小题10分）已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC，PD． 【发现问题】 如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是 __________ ． 【探究问题】 如图②，点C，D在射线OA，OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 23．（本小题10分）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE； 【拓展应用】 （2） 如图所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 24．（本小题12分）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠P＝________ °；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是___________ ； 【继续探索】 （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 25．（本小题14分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点． （1）如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°，求证：△ABE≌△ACF； （2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD； （3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF． ①∠AFB的度数是________ ； ②若AH为△ABF中BF边上的高，求证：BF＝CF+2AH． 2026-2027学年砺成中学八年级上学期第一次月考考试卷 参考答案 一．选择题 1—5．DADDC 6—10．DCDDB 10．【解答】解：作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q， ∵∠BAC的角平分线AD交BC于点D， ∴DP＝DQ， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△ABE＝S△DBE＝S△ABD， ∵点F为BE上一点，且BF＝2EF，S△DEF＝2， ∴S△DBF＝2S△DEF＝4， ∴S△DBE＝S△DBF+S△DEF＝4+2＝6， ∵S△ABD＝2S△DBE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD＝21﹣12＝9， ∵S△ABD＝AB•DP＝AB•DQ＝12，S△ACD＝AC•DQ＝9， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴AB：AC的值等于， 故选：B． 二．填空题 11．AC＝AD（答案不唯一） 12．70° 13．5 14．1＜AD＜7 15．5 16．【解答】解：∵∠C＝90°， ∴EC⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EC＝EF， 在Rt△AEF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△DEC（HL）， ∴AF＝DC＝2.5， ∵AB＝10， ∴BF＝AB﹣AF＝7.5， 在Rt△BCE和Rt△BFE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△BFE（HL）， ∴BC＝BF＝7.5， ∴BD＝BC﹣DC＝7.5﹣2.5＝5， 故答案为：5． 三．解答题 17．【解答】解：∵OC＝OD， ∴OD＝OC， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠C＝∠D， ∵∠CBD是△OBC的外角， ∴∠CBD＝∠C+∠O＝∠D+∠O， 又∵∠O＝50°，∠D＝35°， ∴∠CBD＝35°+50°＝85°． 18．【解答】解：设∠C＝x， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝x（等边对等角）， ∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝2x， ∵DA＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝2x， ∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝3x， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝3x＝63°（等边对等角）， 解得x＝21°， ∴∠C＝21°． 则∠C的度数为21°． 19．【解答】证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AB＝A′B′， ∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线． ∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′， ∴∠BAD＝∠B′A′D′， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（ASA）， ∴AD＝A'D'． 20．【解答】解：在△ABC中， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝35°． 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵在△ABD中∠BAD＝90°﹣∠B＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°． 21．【解答】解：（1）如图，AE为所作∠BAC的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由（1）知：∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ADE， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AB⊥DE． 22．【解答】解：[发现问题]PC＝PD， ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠PCO＝PDO＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴∠POC＝∠POD， 在△PCO和△PDO中 ， ∴△PCO≌△PDO（AAS）， ∴PC＝PD， 故答案为：PC＝PD； [探究问题] 点P点作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E， ∴∠PFC＝∠PED＝90°， ∵∠AOB＝90°，PC⊥PD， ∴∠PCF+∠PDO＝360°﹣∠CPD﹣∠COD＝180°， 又∠PDO+∠PDE＝180°， ∴∠PCF＝∠PDE， 由（1）知：PE＝PF， 在△PCF和△PDE中 ∴△PCF≌△PDE（AAS）， ∴PC＝PD． 23．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE； 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：如图，过点E作EM⊥HG于点M，过点D作DN⊥GH，交GH的延长线于点N， ∴∠EMH＝∠DNH＝90°． 与（1）同理可得△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC， ∴DN＝AG，EM＝AG， ∴DN＝EM＝AG＝12， ∵， ∴． 24．【解答】解：（1）如图①，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， ∴； 如图②，由题意可得：， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM， ∴2∠DCM＝∠ACD＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM）， 整理得，∠A＝2∠M； 故答案为：130；∠A＝2∠M； （2）由题意可得：， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A， ∴， ∴； （3）点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M． 由题意知， ，∠A＝2∠M， ∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①∠NBM＝2∠M，②∠NBM＝2∠N，③∠M＝2∠N，④∠N＝2∠M，四种情况求解： ①当∠NBM＝2∠M时，∠A＝2∠M＝∠NBM＝90°； ②当∠NBM＝2∠N时，2∠N＝90°，则∠A＝2（90°﹣∠N）＝90°； ③当∠M＝2∠N时，，解得，∠A＝120°； ④当∠N＝2∠M时，，解得，∠A＝60°； 综上所述，∠A的度数为60°或90°或120°． 25．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90° ∴∠BAE＝∠CAF 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）证明：∵∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠BDA＝90°， 由（1）得△ABE≌△ACF， ∴∠ABE＝∠ACF， ∴∠BDA+∠ACF＝90°， 又∵∠BDA＝∠CDF， ∴∠CDF+∠ACF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CF⊥BD； （3）①解：过点A作AF的垂线交BM于点E， ∵CF⊥BD， ∴∠BAC＝90°． ∴∠ABD+∠BDA＝90°， 同理∠ACF+∠CDF＝90°， ∵∠CDF＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ACF， 同（1）理得∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFB＝45°． 故答案为：45°； ②证明：过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G， ∵∠AHD＝∠HFG＝∠G＝90°， ∴四边形AHFG是矩形， ∵∠AFB＝45°， ∴AH＝HF， ∴四边形AHFG是正方形， ∴AG＝AH＝FG， ∵AB＝AC， ∴Rt△ABH≌Rt△ACG（HL）， ∴BH＝CG＝CF+FG， ∴BF＝BH+HF＝CF+FG+AH ＝CF+2AH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $