精品解析：山东济南市天桥区泺口实验学校2026-2027学年九年级上学期9月数学阶段性素养大赛

2026 年九年级数学阶段性素养大赛 本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、单选题．（每小题4分，满分48分） 1. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A选项中，因为1：12：3，所以A中的四条线段不是成比例线段； B选项中，因为1：23：4，所以B中的四条线段不是成比例线段； C选项中，因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段； D选项中，因为2：33：4，所以D中的四条线段不是成比例线段. 故选C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d，我们就说线段a、b、c、d是成比例线段”是解答本题的关键. 2. 如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 3. 如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． 4. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 5. 如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，代入数值即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于二次函数顶点式为，所以可以根据的取值直接确定顶点坐标． 【详解】解：在二次函数顶点式中，顶点坐标为， 在函数中，对应，，顶点坐标为． 7. 爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是先求出所有可能的出牌组合情况，再找出爸爸出的牌面数字比小军大的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】根据题意，列表如下： 小军 爸爸 由表格可知共有9种等可能的结果，其中爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的结果有，，共种，故所求概率为． 8. 如图，在中，，是上的一点，且，于点，若的面积为25，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为25， ∴， ∴的面积为9． 9. 如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的对应边成比例，得出，据此代入数值求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 11. 如图，在矩形中，连接，点分别在上，，若把的面积平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，根据题意求出的面积，再根据面积求出的长度，再根据求出线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵把的面积平分， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 则， 在中，． 12. 如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 16.8 【答案】B 【解析】 【分析】分段讨论点的位置，分别构建与的函数关系式求解． 【详解】解：在中，， 点运动总时间为秒，点到达点时间为秒 当时，点在上，， 过点作于点，则， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴当时，取最大值，最大值为 当时，点在上，过点作于点，同理可得 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内随的增大而减小 ∴当时，，即 综上所述，的最大值为10． 二、填空题．（每小题4分，共28分） 13. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 14. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是______（请填上编号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】∵①中的三角形的三边分别是：2，，； ②中的三角形的三边分别是：3，，； ③中的三角形的三边分别是：2，2，2； ④中的三角形的三边分别是：3，，4； ∵①与③中的三角形的三边的比为：1： ∴①与③相似． 故答案为①③． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 15. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 17. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 18. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 【答案】（-1，-3） 【解析】 【分析】将抛物线的一般式转化为顶点式，再根据顶点式即可求出结论． 【详解】解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3 ∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为：（-1，-3）． 【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握将抛物线的一般式转化为顶点式是解决此题的关键． 19. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 【答案】25 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 三、解答题．（共74分） 20. 解方程(组) （1）解方程组：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ①+②得 解得 将代入①得 所以原方程组的解为 【小问2详解】 解： 因式分解，得 ∴或 解得： 21. 如图，点D，E是中边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）DE= 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，据此可证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 22. 2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 23. 已知一个形如的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 3 2 … （1）______． （2）该二次函数的表达式______． （3）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象． （4）当，则y的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 作图如下． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）由抛物线为，可得对称轴是y轴，从而当时的函数值与当时的函数值相等，又当时，，进而可得当时，，即可得解； （2）依据题意，根据表格数据可得图象过，，则，从而可得，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由二次函数为，从而可以作图得解； （4）依据题意，由，从而当时，y取最大值为3；当时，；当时，，进而结合图象，可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线为， 对称轴是y轴． 当时的函数值与当时的函数值相等． 当时，， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据表格数据可得图象过，， ， ， 该二次函数的表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由题意，， 当时，y取最大值为3； 当时，；当时，； 结合图象，可得当时， ， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）的面积为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 25. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； 【小问3详解】 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 26. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】问题背景：； 迁移应用：①；； ②； 创新应用：． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查相似三角形的应用，解答本题的关键在于利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质，本题即可求证． （2）①特别主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解；②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可． （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】解：【问题背景】如图，， , 又， ． 故答案为：． 【迁移应用】如图，在中， , ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；． 如图，连接， ， ， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； 【创新应用】如图，过点作，过点作，连接， ， ， ， 又 ， ， ， ， 即，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年九年级数学阶段性素养大赛 本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、单选题．（每小题4分，满分48分） 1. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 2. 如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 4. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 以上都不对 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是上的一点，且，于点，若的面积为25，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 20 9. 如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，连接，点分别在上，，若把的面积平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 16.8 二、填空题．（每小题4分，共28分） 13. 若，则的值是______． 14. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是______（请填上编号）． 15. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 16. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 17. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 18. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 19. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 三、解答题．（共74分） 20. 解方程(组) （1）解方程组：． （2）解方程：． 21. 如图，点D，E是中边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 23. 已知一个形如的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 3 2 … （1）______． （2）该二次函数的表达式______． （3）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象． （4）当，则y的取值范围______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）的面积为________． 25. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 26. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $