精品解析：山东省济南市天桥区泺口实验学校2025-2026学年九年级上学期12月份数学考试试卷

九年级上学期12 月数学测试 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题．（每小题4分，共150分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：这个几何体从上面看，形状如图： 故选：D． 2. 下列三角函数中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断． 【详解】解：，，，， 故选：D． 3. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 5. 如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，理解矩形的对角线相等是解答关键. 根据矩形的对角线相等来求解. 【详解】解：根据题意可知 行李箱的正面可看成一个矩形．若， 所以. 故选：B. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解： 解得， 故选：C． 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，进而可得增减性，据此可判断A、C、D，求出时的函数值即可判断B． 【详解】解：A、∵二次项系数为， ∴开口向下，原说法错误，不符合题意； B、在中，当时，， ∴抛物线与轴交于点，原说法错误，不符合题意； C、由函数解析式可得对称轴为直线，原说法正确，符合题意； D、∵开口向下，对称轴为直线， ∴时，随增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9. 定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥．其中正确的是（） A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据图象的开口方向、对称轴，抛物线与轴的交点可判断①，根据图象的对称轴可判断②，根据图象有两个交点，可判断③，根据函数的对称性，可判断④，根据抛物线的最值和二次函数与一元二次方程的关系，可判断⑤，根据图象当时和即可判断⑥． 【详解】解：①抛物线开口向上，得； 抛物线的对称轴为，故； 抛物线交轴于负半轴，得，故；故①正确； ②抛物线的对称轴为，， ∴，故②错误； ③由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，则， ，故③错误； ④根据抛物线的对称轴方程可知：关于对称轴的对称点是； 当时，， ∴当时，也有，即，故④错误； ⑤二次函数的最小值为， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故⑤正确； ⑥由图知：当时， ∴， ∵， ∴， 即，故⑥正确； 故结论正确的有①⑤⑥． 故选：C． 11. 计算 结果是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 12. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 13. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 14. 方程的根为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． 通过移项和因式分解求解方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解： 移项得： 提取公因式： ∴ 或 ∴ 或 ∴解得 ，， 故选：D． 15. 镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶元降至每瓶元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率)，即可得出关于的一元二次方程， 【详解】解：设每次降价的百分率为， ∴第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， ∵最终售价为元， ∴，   故选：C． 二、填空题．（每小题4分，共32分） 16. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据，得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则， ∴， 故答案为：． 17. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， ∴在中，，， ∴． 故答案为：． 18. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为____________°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点G的坐标为． 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，点E是边上的一点，点F，G分别是的中点，延长，交于点H．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，可得，，可证，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ； 延长交于点， ∵， ∴， 又，， ， ，； 过点作于点， 四边形是矩形，； 点是的中点， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 21. 在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有____个球． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出带记号的小球在总数中所占比例与试验比例相等是解决问题的关键．设袋子中共有小球x个，利用带记号的小球在总数中所占比例得出与试验比例相等求出即可． 【详解】解：∵摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球， ∴从袋子中任意摸出1个球，是带记号的小球的概率约为， 则可以估计这个袋子中一共大约个球． 故答案为：． 22. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率. 画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：记“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”分别为A，B，C，D，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人选择软件相同的结果有4种， 故两人选择软件相同的概率是． 故答案为：． 23. 如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得， 则或． ， 舍去， ． 所以，羊圈的边长为是． 故答案为：20． 三、解答题 24. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 25. 如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． （1）求此时的长； （2）求此时的值．（参考数据：） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 对于（1），设，根据勾股定理得，求出x可得答案； 对于（2），作，设，根据勾股定理得，求出，可得，进而求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作，交于点G 在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴． 26. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． （1）求m，n的值； （2）写出不等式的解集为____________； （3）①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； （4）记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），． （2）或 （3）①，② （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可； （2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围． 【小问1详解】 解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得． 【小问2详解】 由（1）得：，则， 由图象可知：或， 【小问3详解】 ①把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为， ②点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上， 【小问4详解】 若一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 则无实数根，整理得：， ， 当时，，， ∵的函数图象开口向上， ∴的解集是． ∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 28. 已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． （1）求该二次函数的解析式． （2）在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， （3）存在，，， 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； 【小问3详解】 解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 29. 某数学小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究． 【特例探究】：如图 1，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； 【类比研究】：（2）如图 2， 为线段的延长线上一点，连接并延长至点，连接，，使得．请判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】：（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内有一点满足，连接并延长至点，使得，请直接写出线段的最小值． 【答案】 （1）证明：∵在中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵，， ∴，即， ∴， 如图，记的交点为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）通过角度的转换得到，即可证得，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）通过角度的转换得到，如图，记的交点为，证明，可得，，证明，可得，，即可判定三角形的形状； （3）以点A为圆心，为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点，通过构造相似三角形，得到点E在过点且与垂直的直线上运动．因为点B固定，再由垂线段最短，可得到最小值的情况即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、构造相似三角形、圆周角定理的应用，垂线段最短等知识点，善于运用相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】 （3）解：∵， ∴，而， ∴， ∴， 如图，以点A为圆心，为半径作，而，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点， ∴， ，则． ∵， ∴， ∴， ∴点E在过点且与垂直的直线上运动． 如图：过点B作，垂足为，即为最短的， ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期12 月数学测试 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题．（每小题4分，共150分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列三角函数中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定的长 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于点 C. 对称轴是直线 D. 时，随增大而增大 9. 定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥．其中正确的是（） A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥ 11. 计算 结果是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 12. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 13. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 14. 方程的根为（    ） A. B. C. D. 15. 镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶元降至每瓶元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题4分，共32分） 16. 已知，则的值是__________． 17. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为______． 18. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为____________°． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为___________． 20. 如图，在矩形中，点E是边上的一点，点F，G分别是的中点，延长，交于点H．若，则的长为______． 21. 在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有____个球． 22. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为___________． 23. 如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 三、解答题 24. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 25. 如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． （1）求此时的长； （2）求此时的值．（参考数据：） 26. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． （1）求m，n的值； （2）写出不等式的解集为____________； （3）①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； （4）记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 28. 已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． （1）求该二次函数的解析式． （2）在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29. 某数学小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究． 【特例探究】：如图 1，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； 【类比研究】：（2）如图 2， 为线段的延长线上一点，连接并延长至点，连接，，使得．请判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】：（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内有一点满足，连接并延长至点，使得，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $