第二章一元二次方程单元质量检测题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度上学期九年级单元质量检测题（二） 北师大版九年级数学上册　第二章　一元二次方程 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（      ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（      ） A． B． C． D．或 4．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 5．下列一元二次方程没有实数根的是（      ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 7．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（      ） A． B． C． D． 8．金堂某学校有一块长，宽的矩形空地，该校计划把它修建为两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如下图所示）．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（      ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9． 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 10．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 11．一元二次方程的解为_________． 12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 三、解答题（共48分） 14．（12分）解方程： （1）； （2）； （3）． 15．已知关于x的一元二次方程． （1）若，则方程必有一个根为________． （2）若a，b满足，求一元二次方程的根． 16．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当△ABC是等腰三角形时，求的值． 17．图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，求、、的值． 图① 图② 18．某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． B卷（共20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19．若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 20．定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 21．当的值为 时，多项式有最大值 ． 二、解答题（共14分） 22．（6分）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．请根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△ABC是直角三角形，，的长为，若△ABC的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 23．（8分）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 九年级数学（二） 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年度期九年级数学质量检测题参考答案 （二） 一元二次方程 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C C C D A 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．；10．；11．，；12．11；3．16.  三、解答题（共48分） 14. 15．解：（1）； （2），，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 16．(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 17．解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． ∴；；． 18．解：（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． B卷（共20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19. 2029; 20．; 21．；7． 二、解答题（共14分） 22．（6分）解：（1）答案为：①． （2）方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 23．（8分）解：（1）一元二次方程的两根为，， ，； （2）当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3），， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 九年级数学（二） 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $