第二章一元二次方程单元质量检测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 3．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 5．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数． 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 6．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 7．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 8．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10．春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉： 淇淇： 下面对两人所列方程描述正确的是（   ） A．嘉嘉设每束鲜花售价元 B．淇淇设每束鲜花降价元 C．嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“”和“”都表示降价后的销售量 D．每束鲜花售价元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量；由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量；解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，由此逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量； 由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量； 、由题意得为降价金额，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得为售价，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得表示降价后销售量，表示降价后销售量，所以该选项描述正确，符合题意； 、解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，所以该选项描述不正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是方程的一个根，则___________． 【答案】2023 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，展开所求式子后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴. 12．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 【答案】 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为万元，三月份的产值为，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：x值为． 13．某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 14．设方程的正根介于整数与之间，则________． 【答案】3 【分析】利用配方法解出的根后，利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则． 15．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 16．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【答案】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】把（1）、（2）的方程先分解因式，再根据“，则或”解出即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴， ． （2）解：， ， 或， ∴， ． 18．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 19．若关于x的一元二次方程有实数根． (1)求n的取值范围； (2)设方程的两个实数根为， ①填空： ______，______；（用含n的式子表示） ②是否存在实数n满足式子成立？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)① ，；②不存在 【分析】（）利用一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （）①根据根和系数的关系求解即可； ②根据（）所求的取值范围及一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次根的判别式及根和系数的关系，掌握一元二次根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且； （2）解：①由根和系数的关系可得，，； 故答案为：； ②不存在，理由如下： 由（）可知，当且时，方程为一元二次方程且有实数根， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∵不在的取值范围内， ∴不存在的值使得方程有两个根、且满足． 20．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 21．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 23．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 24．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二章一元二次方程单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.若方程(m-3列r+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则”的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.若一元二次方程2x2+bx+c=0满足2+b+C=0,则这个方程必有一个根是() A.x=-1 B.x=0 C.x=2 D.x=1 3.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 4.有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为 () A.10 B.11 C.12 D.15 5.若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为() A.11,13 B.17,19 C.-17,-19 D.17,19或-17，-19 6.k为实数，则关于x的一元二次方程x2-(k+Dx+k=0的根的情况是() A.必有实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.不能确定根的情况 7.若，5是一元二次方程×-2x-2026= 的两个实数根，则-+ 的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 x2+bx+c=0(a≠0) 8.已知关于的一元二次方程 ,下列说法中正确的个数有(） ①若b=0,则方程总有实数根：②若b2=4ac,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=C,则方程无实数根；④若b=a+c,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方 试卷第1页（共3页） 图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面 积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正数解为8-2×2=4.小 美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100。 则方程x2+12x+c=0的正数解是() 2x 2 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 10.春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束50元.根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可 售出30束.为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束.店主希 望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出 如下方程： 嘉嘉：(80-50-x30+2x)=1000 淇淇：0-50儿30+2(80-]=100 下面对两人所列方程描述正确的是() A.嘉嘉设每束鲜花售价x元 B.淇淇设每束鲜花降价y元 C.嘉嘉和洪淇所列方程中代数式。30+2x”和。30+280-刃，都表示降价后的销告量 D.每束鲜花售价75元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 二、填空题（每题3分，共18分） 1.若m是方程0-2x-202=0的一个根，则(m-- 12.某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元.设这两 个月产值的月平均增长率为x,则x的值为 13.某校建设校园农场.如图，该矩形农场长32m,宽20m,要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴 试卷第2页（共3页） 影部分)，余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m,若设道路的宽为xm,那么可列方程为 (化为一般形式). 32 14.设方程x2-2x-5=0的正根介于整数n与n+1之间，则n= 15.已知实数x满足(2--4(-2=0，则代数式2-x+1的值为 16.若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则m= 三、解答题（每题9分，共72分） 17.解方程： 0r2-3x=0 22x-3x+1=0 18.已知方程x2+5x-k=0 (I)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)若方程的一个根为k,求k的值， 19.若关于x的一元二次方程n-1)r+2r+n+3=0 实数根。 (1)求n的取值范围； X x2 (2)设方程的两个实数根为 ①填空： x+x2= ；(用含n的式子表示) ②是否存在实数n满足式子(：-1(3-)=10 立？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由. 20.经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感.按这样的传染速度， 试卷第3页（共3页） 若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 21.某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力.已知甲厂单独加工完成这批新 产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天：甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件.求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (②)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的， 以1天时间计算) 22.已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m-n=0有两个不相等的实数根， (1)求n的取值范围： (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的2倍，求m的值. 23.某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠， 现决定降价销售，己知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x《元)(0<x<20) 之间满足一次函数关 系，其图象如图所示 以千克 140------- 120 O1234x元 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 24.西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙.已知礼盒甲每件售 价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销售总额为6000元，且两款礼盒销售 量相等. ()上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样.调 整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 试卷第4页（共3页）