精品解析：福建莆田第五中学2026-2027学年第一学期高一第一次月考数学试题

莆田五中2026—2027学年第一学期高一第一次月考（数学） 命题人：蒲朝云、谢超英 审核人：陈益周、严益水 2026.10.9 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 若不等式的解集是R，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”的一个必要不充分条件是 D. 古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知全集为，则和等价 B. 与是同一个集合 C. 真包含于 D. 若集合，则的真子集个数为8 11. 已知三元素集合，如果集合中的元素满足，就称为“三元复合集”．下列结论正确的有（ ） A. 集合是“三元复合集” B. 若，使得集合是“三元复合集”的只能是或 C. “”是“集合是三元复合集”的必要条件 D. “”是“集合是三元复合集”的必要条件 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，，若，则__________ 13. 已知，则______； 14. 已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 16. （1）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值； （2）已知，，求证：的充要条件是． 17. 已知集合，集合 （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题：，：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 已知关于的不等式的解集为，的解集为，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田五中2026—2027学年第一学期高一第一次月考（数学） 命题人：蒲朝云、谢超英 审核人：陈益周、严益水 2026.10.9 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 3. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 【答案】C 【解析】 【详解】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方项非负、分母非零的性质，分和两种情况，转化为简单分式不等式求解． 【详解】恒成立，仅当时为0， 不等式等价于， 当时，不等式成立； 当时，，不等式等价于，解得， 合并可得解集：或． 5. 若不等式的解集是R，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案 【详解】若，即，不等式为，解集为R，满足要求； 若，需满足，解得， 综上，的取值范围是 6. 设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】由题意， 因为，所以， 由， 得或， ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，，符合题意， 所以实数的所有可能取值为2和3，和为. 7. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”的一个必要不充分条件是 D. 古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由充分条件以及必要条件的定义，逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】对于A，由可得，即，解得， 由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，取，满足，此时， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由可得，解得， 因为区间是的真子集， 所以是的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“一屋不扫，何以扫天下”的含义为：如果不能扫好小小的屋子，怎么能扫天下， 即能扫天下可以推出能扫屋子，所以“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件，故D正确. 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合分别化简，结合补集的运算，即可得到结果. 【详解】因为 ， ， 所以，故. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求， 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知全集为，则和等价 B. 与是同一个集合 C. 真包含于 D. 若集合，则的真子集个数为8 【答案】AC 【解析】 【详解】表示中元素都在内，则与没有公共元素， 反之，若与没有公共元素，则中元素都在内，即，故A正确； 不含任何元素，而集合中有一个元素，故不是同一个集合，故B错误； ，分子是奇数，，分子是整数， 故是的一部分，故C正确； 集合，真子集个数为，故D错误． 11. 已知三元素集合，如果集合中的元素满足，就称为“三元复合集”．下列结论正确的有（ ） A. 集合是“三元复合集” B. 若，使得集合是“三元复合集”的只能是或 C. “”是“集合是三元复合集”的必要条件 D. “”是“集合是三元复合集”的必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先求得，进而结合“三元复合集”的定义判断即可；对于B，举特例即可判断；对于CD，设，且，，分析可得，，进而结合“三元复合集”的定义可得，进而判断即可. 【详解】对于选项A：由， 则， 又，则集合是“三元复合集”，故A正确； 对于选项B：当时，集合为， 由于，则集合为“三元复合集”，故B错误； 对于选项CD：设，且，， 则， 所以，， 若集合是三元复合集， 则，即，即， 所以“”不是“集合是三元复合集”的必要条件，故C错误； 又， 则， 而， 则， 即， 所以，则，即， 则“”是“集合是三元复合集”的必要条件，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，进而求得. 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 13. 已知，则______； 【答案】或 【解析】 【详解】两边同除以得， 令，则，即， 解得或1，所以或1 14. 已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 即不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 所以，即， 所以可化为， 因为， 所以， 解得或， 所以的解集为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； 【小问2详解】 当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 16. （1）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值； （2）已知，，求证：的充要条件是． 【答案】（1）； （2）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）由求出的范围，再利用韦达定理，结合列方程求出的值； （2）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由关于的一元二次方程有两个根， 得，即，解得， 则，， 整理得，解得或，又因为，则， （2）略 17. 已知集合，集合 （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题：，：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解集合，代入求出集合的补集，再与求交集； （2）分集合为空集和非空两种情况列不等式组求解； （3）将必要不充分条件转化为是的真子集，分两类情况求解取值范围即可. 【小问1详解】 由题可知：不等式，整理得：，因式分解得：， 解得，故， 当时，， 全集，故或， 故. 【小问2详解】 ，分两类讨论： ①当时，，解得，满足条件； ②当时，需满足或， 第一个不等式组解得且，无解； 第二个不等式组解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 命题是的必要不充分条件，即且，故 ， 分两类讨论：①当时，，解得，满足条件； ②当时，需满足，解得，即， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知关于的不等式的解集为，的解集为，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考查分式不等式求解，移项通分转化为整式不等式，注意分母不为 0，准确求出集合； （2）考查集合运算与子集关系，由得；对含参二次不等式因式分解，比较两根大小分类讨论，根据子集条件限定参数范围； （3）考查集合交集与整数限制问题，结合内整数，控制交集仅有一个整数，分类讨论列出不等式求解. 【小问1详解】 ，移项通分得，等价于解得. 【小问2详解】 因式分解得，对应方程的两根为. 由知. 当即时，，需，得； 当即时，，满足； 当即时，，空集是任意集合的子集. 综上实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，中的整数：. ①若，即，，集合内整数只能仅有，则，得； ②若，即，，集合内整数只能仅有，则，得； ③时，，交集为空，舍去. 综上实数的取值范围为. 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $