15.2.2画轴对称的图形 （第2课时） 教学设计 2026-2027学年数学人教版（2024）八年级上册

15.2.2 画轴对称的图形（第2课时）（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课题 15.2.2 画轴对称的图形 课时 第2课时 教材 人教版（2024）八年级数学上册第十五章 课型 新授课 授课教师 ＿＿＿＿＿＿ 授课班级 ＿＿＿＿＿＿ 一、教材分析 上一课时教学生用尺规“画”出轴对称图形，靠的是手上的功夫：画垂线、截长度、连点。这节课要换个法子——用坐标来画。同一个问题，从“尺规”走到“坐标”，这是初中几何很要紧的一步。 为什么这一步重要？因为学生一到八年级，头脑里就该有两套描述图形的语言：一套是图形语言，一套是坐标语言。同一件事用两种语言说，能互相印证，思路就宽了。本节要探究的规律本身不长——关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变相反数；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数——可它背后的意义不小：它把前面学过的“对称轴垂直平分对称点连线”翻译成了数的关系。 教材走的路子是“先猜后证、先特殊后一般”：从两个圆脸的坐标入手，再让一个正方形图案做两次坐标变换，然后列表格找规律，最后用规律去解例题。特别值得一提的是例3，它把“平移”和“轴对称”放在一起对比（横坐标加2是平移，横坐标乘-1是轴对称），让学生看清“坐标加”和“坐标乘”这两类变化的区别。这种对比在代数里也会用到，属于为数不多的“跨章节埋线”。 二、学情分析 这一节课有个特别之处：它把几何和代数搅在了一起。我这两届学生的共同毛病是“两套语言各说各的”——学几何的时候忘了坐标，学坐标的时候忘了图形。你让他求关于x轴对称的点的坐标，他按规则能算；可你要他在坐标系里把图形画出来，他又不会用刚学的规律去定点了。 具体到这节内容，我预判两处容易出问题。第一处是符号。横坐标变相反数，学生写的时候容易把“-2”写成“2”或者把“(-1,-2)”写成“(1,2)”，一小步不留神就错。第二处更麻烦：关于y轴对称，学生老要问“到底是变横坐标还是变纵坐标”。这个不记清楚，做题就来回翻公式，浪费时间。我的办法是让他们记住一句话——关于哪条轴对称，哪个坐标反过来；或者说，翻一翻，看看点往哪边去了。 另外，咱们学生动手画图的习惯还不好，坐标系画歪、格子数错是常事。所以这节课我准备让他们每人拿方格纸，先把图画出来，再对着图找坐标。 三、教学目标 1．能在平面直角坐标系里说出已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称：横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变、横坐标互为相反数”这两条规律。 2．能用这两条规律作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。 3．在探究规律的过程中，体会图形的变换与点的坐标变化之间的联系，逐步养成数形结合看问题的习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：在平面直角坐标系中掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，并能据此作出关于x轴、y轴对称的图形。 教学难点：能作出一个图形关于x轴、y轴对称的图形。 五、教学准备 多媒体课件，每人一张方格纸、一支铅笔、一把直尺；教师准备圆脸图案的透明胶片两张。 六、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 【教师活动】 我不从“坐标”这个词讲起，先给一张图。屏幕上是一左一右两个圆脸，一模一样，只是方向反着。 我先问第一个问题：这两个圆脸有什么关系？学生看得出来——它们关于中间的竖线对称。接着我往下引：看图靠眼睛，这回咱们试试用坐标。已知右边圆脸右眼的坐标是(4,3)，左眼是(2,3)；嘴角两个端点，右端点是(4,1)，左端点是(2,1)。那左边圆脸上，左眼、右眼和嘴角两个端点，坐标各是多少？ 这下学生没法只靠眼睛了，得动脑筋。我把问题留在黑板上，带着他们往下走。 【学生活动】 观察两个圆脸的对称关系，试着自己猜一猜左边各个点的坐标，把想法写在草稿纸上。 （二）探究坐标规律（约14分钟） 1．先用对称的性质算一算 【教师活动】 我跟学生说：别忙着翻书，就用上节课那条性质——对应点的连线被对称轴垂直平分。再把刚才那张圆脸图调出来，照着看一眼。 我们把右脸里的左眼记作A，右眼记作B，那么A(2,3)，B(4,3)；嘴角两端点记作D(2,1)，C(4,1)。 A和A1关于y轴对称，也就是说，A1到y轴的距离和A到y轴的距离一样，A1到x轴的距离也和A一样。再看A1落在哪个象限——第二象限，所以A1的坐标是(-2,3)。同理，B1、C1、D1的坐标分别是(-4,3)、(-4,1)、(-2,1)。 【学生活动】 跟着老师用“到两坐标轴的距离相等”这个说法，一个一个求出左边各点的坐标，体会“对称”在坐标里是怎么体现的。 2．用一个图案试一试 【教师活动】 一个圆脸太小了，换个大一点儿的。屏幕上给出四个点：(2,2)、(4,2)、(4,4)、(2,4)、(2,2)，把它们按顺序用线段连起来，就成了一个正方形。我记作A(2,2)，B(4,2)，C(4,4)，D(2,4)。 然后做两次变换，让学生看： (1)纵坐标不变，横坐标分别乘-1，得到A1(-2,2)，B1(-4,2)，C1(-4,4)，D1(-2,4)。把新点连起来，和原图比一比，学生发现——它是关于y轴对称的。 (2)横坐标不变，纵坐标分别乘-1，得到A2(2,-2)，B2(4,-2)，C2(4,-4)，D2(2,-4)。连起来一看，跟原图是关于x轴对称的。 【学生活动】 在方格纸上描点、连线，把两次变换后的图形画出来，和原图比对，说出它们是关于哪条轴对称。 3．列表格，找规律 【教师活动】 看出规律的感觉有了，就得让它站得住。我给出一组点：A(2,-3)，B(-1,2)，C(-6,-5)，D(½,1)，E(4,0)。 我请学生先在坐标系里把这五个点描出来。 然后让他们分别作出它们关于x轴的对称点，把坐标填进表格。学生一边描一边算，规律就冒出来了。 已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(½,1) E(4,0) 关于x轴的对称点 A'(2,3) B'(-1,-2) C'(-6,5) D'(½,-1) E'(4,0) 我追问：看看每对坐标，什么变了，什么没变？学生答：横坐标一样，纵坐标变成相反数。我再让他们随便再找几对关于x轴对称的点验证一下，确认规律成立，才把它写下来： 关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 接着用同样的办法作关于y轴的对称点，填表： 已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(½,1) E(4,0) 关于y轴的对称点 A″(-2,-3) B″(1,2) C″(6,-5) D″(-½,1) E″(-4,0) 学生一看：纵坐标一样，横坐标变成相反数。规律也就齐了： 关于y轴对称的每一对对称点的坐标：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 【易错提醒】 两条规律长得像，学生最爱记混。我在黑板上把它们并排写成两行，再教一句好记的话：关于谁对称，谁的坐标不变。关于x轴对称，x坐标不变；关于y轴对称，y坐标不变。怕他们记不住，我还让他们自己在方格纸上找个点试一次，验证这句话对不对。 【学生活动】 描点、填表、找规律，说出两条规律并举例验证；同桌之间互相抽问“点(3,-2)关于x轴对称的坐标是什么”，答错的当天再练几遍。 【设计意图】 规律不是老师写出来让学生抄的，是学生对着表格自己看出来的。看出来之后还让他们再举几个例子验证，学生才信得过。 （三）典例精讲（约12分钟） 例1 在直角坐标系内，已知P(-4a,7)，Q(8,b+2)，根据条件，求出a、b的值。 (1)P、Q关于x轴对称。 (2)P、Q关于y轴对称。 分析：(1)P、Q关于x轴对称，就照关于x轴的规律办——横坐标照旧，纵坐标取相反数。(2)P、Q关于y轴对称，那就纵坐标照旧，横坐标取相反数。 解：(1)根据题意可得-4a=8，-7=b+2，解得a=-2，b=-9。 (2)根据题意可得4a=8，7=b+2，解得a=2，b=5。 【讲解思路】 这道题把规律用回了字母。学生一看到字母就发怵，我就提醒他们：别管字母，先照着规律把等号列出来。关于x轴对称，横坐标相同，那就是-4a等于8；纵坐标互为相反数，那就是7的相反数等于b+2。式子一列，剩下的就是解方程，是老本行了。这里还有个细节要提醒：纵坐标互为相反数，不是“b+2等于-7”这么直接，得先算清是谁的相反数，学生最容易在这里负号搞错。 【学生活动】 独立列式、求解，再与同桌对照；请一名学生上台把两个小问的式子分别列出来，讲清列式的依据。 例2 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,5)，B(-4,3)，C(-1,1)。 (1)作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1。 (2)作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标。 解：(1) (2) 点C2的坐标是(-1,-1)。 【易错提醒】 这道题故意把“平移”和“轴对称”摆在一起，就是要让学生尝到甜头、也吃到苦头。第(1)问横坐标加5，图形往右挪，形状没变；第(2)问关于x轴对称，纵坐标变相反数，图形翻过去。学生常犯的错是把两种变换混为一种，一看到坐标变了就以为是对称。我提醒他们：加一个数，是“挪”；乘-1，才是“翻”。这句话在例3里还要再用一次。 【学生活动】 先在方格纸上描出A、B、C三点，再分别作出两种变换后的图形；做完和同桌对一对三点的坐标算得对不对。 例3 将下图中的点(2,1)，(5,1)，(2,5)做如下变化： (1)纵坐标不变，横坐标分别加2。 (2)横坐标不变，纵坐标分别加1。 (3)纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍。 (4)横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍。 (5)纵坐标不变，横坐标分别乘-1。 (6)横坐标不变，纵坐标分别乘-1。 (7)纵坐标、横坐标都分别乘-1。 观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？ 分析：一步一步算——先求出每次变化后三个顶点的坐标，在坐标系里描出来，连成新三角形，再拿它跟原来那个三角形比一比。 解：(1)纵坐标不变，横坐标分别加2得三个点依次为(4,1)，(7,1)，(4,5)。将各点用线段依次连接起来，所得图形如图(1)所示，与原图形相比三角形的形状、大小不变，整个三角形向右平移了2个单位长度。 (2)横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为(2,2)，(5,2)，(2,6)。将各点用线段依次连接起来，所得图形如图(2)所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形向上平移了1个单位长度。 (3)纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为(4,1)，(10,1)，(4,5)。将各点用线段依次连接起来，所得图形如图(3)所示，与原图形相比，整个三角形被横向拉长为原来的2倍。 (4)横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为(2,2)，(5,2)，(2,10)。将各点依次用线段连接起来，所得图形如图(4)所示，与原图形相比，整个三角形被纵向拉长2倍。 (5)纵坐标不变，横坐标分别乘-1，得三个点坐标为(-2,1)，(-5,1)，(-2,5)。将各点依次用线段连接起来，如图(5)所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称。 (6)横坐标不变，纵坐标分别乘-1，得三个点坐标为(2,-1)，(5,-1)，(2,-5)。将各点用线段连接起来，如图(6)所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称。 (7)横纵坐标都分别乘-1，得三个点坐标为(-2,-1)，(-5,-1)，(-2,-5)。将各点用线段依次连接起来，如图(7)所示，与原图形相比，整个三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称。 【讲解思路】 例3是本节的重头戏，我舍得花时间。七种变化，我让学生一组一组自己算、自己画，画完再一起比。等七张图摆齐了，我带着他们横着一看，规律就出来了——凡是“加”的，图形只是挪地方，形状大小不变；凡是“乘2”的，图形被拉长；凡是“乘-1”的，图形翻过去变成轴对称。有一句话我必须讲透：坐标变，图形不一定就对称；得看它是加还是乘、乘的是几。这道题做透，学生后面遇到“坐标变化判断图形变换”的题就不慌了。 【学生活动】 分七组，每组负责一种变化，算坐标、画图形，再把七张图贴到黑板上一起观察；每组的代表说一句“我们这一组的变化让图形变成了什么样”。 【设计意图】 一份题目掰成七种情形，一个人做七遍太累；全班分工做一遍，再把结果摆在一起看，规律是“看”出来的，比老师讲一遍效率高得多。 （四）当堂检测（约9分钟） 1．点M(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．(-2,-1)　　B．(2,1)　　C．(2,-1)　　D．(1,-2) 2．下面各组点关于y轴对称的是（　　） A．(0,10)与(0,-10)　　B．(-3,-2)与(3,-2) C．(-3,-2)与(3,2)　　D．(-3,-2)与(-3,2) 3．已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称，则(a+b)²⁰²⁵的值为（　　） A．-1　　B．0 C．1　　D．(-3)²⁰²⁵ 4．将△ABC的三个顶点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，则所得图形（　　） A．与原图形关于x轴对称 B．与原图形关于y轴对称 C．与原图形既不关于x轴对称，也不关于y轴对称 D．向x轴的负方向平移了一个单位 5．如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向下平移两个单位长度得到△A'B'C'，则与点A'关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．(0,-1)　　B．(1,1)　　C．(2,-1)　　D．(1,-1) 6．若|a-4|+(b-3)²=0，则A(a,b)关于y轴对称点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为(-1,4)。将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 8．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为(-4,5)，(-1,3)。 (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系。 (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'。 (3)写出点B'的坐标。 **【参考答案与解析】 1．A　解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，(-2,1)的对称点是(-2,-1)。 2．B　解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，(-3,-2)与(3,-2)符合；A、D两组是关于x轴对称，C两组横、纵坐标都互为相反数。 3．A　解析：关于x轴对称，横坐标相等、纵坐标互为相反数：a-1=2，得a=3；5=-(b-1)，得b=-4。a+b=-1，(-1)²⁰²⁵=-1。 4．B　解析：三个顶点的横坐标都乘-1、纵坐标不变，各点纵坐标不变、横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于y轴对称。 5．D　解析：A(1,3)向下平移2个单位得A′(1,1)，A′关于x轴对称的点是(1,-1)。 6．(-4,3)　解析：由|a-4|+(b-3)²=0得a=4、b=3，所以A(4,3)；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号，得(-4,3)。 7．(3,1)　解析：由图可知C(-3,1)，沿y轴翻折后纵坐标不变、横坐标互为相反数，所以C′(3,1)。 8．(1)由A(-4,5)知：从A向右数4格、向下数5格就是原点，据此画出x轴、y轴（可用C(-1,3)检验）。 (2)写出A(-4,5)、B(-2,2)、C(-1,3)关于y轴的对称点A′(4,5)、B′(2,2)、C′(1,3)，描点后顺次连接。（图略） (3)B′(2,2)。 【处理方式】** 第1～4题当堂笔答，快问快答，错的当场说清是记混了规律还是算错了符号；第5、6题让中等的学生上黑板写；第7、8题要求先建坐标系再画图，我巡视时重点看两样——坐标系建得对不对、对称点的位置有没有描偏。 （五）课堂小结（约3分钟） 下课前我让学生把今天的规律说成两句话。学生说，我在黑板上接成两行：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数。接完我再补一句：要是忘了哪条是哪条，就在方格纸上随便点一个点，翻过去看一眼，比死记强。 七、板书设计 课题：15.2.2 画轴对称的图形（第2课时） 左侧（两条规律）—— (1)关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 (2)关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 一句话记：关于谁对称，谁的坐标不变。 中间（例题与板演）—— 例题板演　学生板演 右侧（方法）—— 利用坐标规律，先求出特殊点的对称点坐标，再描点、连线，即可作出轴对称的图形。 八、作业布置 1．教科书P75练习第1，2，3题。 2．在方格纸上画一个你喜欢的简单图形，写出它各个顶点的坐标，再分别作出它关于x轴和y轴对称的图形，把新图形各顶点的坐标写在旁边，看看规律对不对得上。 九、教学反思 这节课的例3，是我这两年上得最省劲的一次。七种变化分给七组，每组只做一件事，做得又快又认真。等七张图画完贴到黑板上，不用我开口，学生自己就在那儿比划：“这个挪了地方”“这个翻过去了”。原来要讲大半节的内容，十分钟不到就归纳清楚了。看来有些“对比型”的教学内容，拆开来分工做，比一个人从头做到尾强。 问题出在符号上。当堂检测第3题，点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称，求(a+b)²⁰²⁵的值。这道题有两个坎——先求a、b，再算2025次方。结果班上有三四个学生在第二步犯了糊涂，忘了2025是奇数，(-1)²⁰²⁵还是-1。这个跟本节内容关系不大，是计算的老毛病，看来平时还得穿插着练。 还有一个让我没想到的地方：第7题“沿y轴翻折”，居然有学生不知道“翻折”就是“轴对称”。我原以为这个词学生早就熟了，看来教学语言和题目语言之间还有沟。下次备课时，凡是要用到“翻折”“折过去”这类说法的地方，我提前把词给学生说清楚。 至于例1那种含字母的题，学生畏难情绪比我想的重。虽然我在黑板上讲了“别管字母，先按规律列式”，可他们自己动手时还是慢。这块我准备在课后作业里再放两道同类的小题，让他们多碰几次，把胆量练出来。 学科网（北京）股份有限公司 $